- •1.Понятие множества. Операции производимые над множествами.
- •2. Числа. Числовые множества. Числовая ось. Окрестности точки.
- •3. Отображения между множествами. Функции и их опредиления.
- •4. Элементарные функции. Их свойства и графики.
- •5. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
- •6. Непрерывность функции в точке. Предел функции в точке.
- •7. Производная функции. Геометрический и физический её смысл.
- •Определение производной функции через предел
- •1) Физический смысл производной.
- •2) Геометрический смысл производной.
- •8. Производные от элементарных функций. Таблица производных.
- •9. Дифференциал функций и его применение для приближённых вычислений..
- •10. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия его существования.
- •11. Точки перегиба функций, выпуклость и вогнутость функции.
- •12. Типовое исследование непрерывных и дифференцируемых функций.
- •13. Функции многих переменных и их непрерывность.
- •14. Производные и дифференциалы функций многих переменных.
- •15. Первообразная и непосредственный интеграл от функции.
- •Непосредственное интегрирование
- •16. Методы вычисления непосредственных интегралов.
- •18. Производные высших порядков. Методы их вычисления.
- •17. Определённый интеграл и способы его вычисления.
- •Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной
- •19. Ряды Маклорана и Тейлора дифференцируемых функций.
- •20. Общее понятие о линейных векторных пространствах. Их определение.
- •21. Базисы в лвп. Их преобразования. Координатное представление векторов.
- •22. Основные операции производимые над векторами.
- •23. Линейные отображение в лвп. Предоставление линейных преобразований матрицами..
- •24. Определение матриц. Основные операции, осуществляемые над матрицами.
- •25. Системы векторов. Ранг системы векторов. Ранг матрицы.
- •Ранг матрицы
- •26. Определители матриц. Правила и методы их вычисления.
- •27. Системы линейных уравнений и методы их решений.
7. Производная функции. Геометрический и физический её смысл.
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h) если существует.
Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,
Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0
Дифференцируемость
Производная функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление
при
1) Физический смысл производной.
Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .
2) Геометрический смысл производной.
Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой .
Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.
Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой.
Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная
Рассмотрим кривую y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)). Пусть в точке он имеет невертикальную касательную . Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точку и имеющую угловой коэффициент k).
По определению углового коэффициента , где – угол наклона прямой к оси .
Пусть – угол наклона секущей к оси , где . Так как – касательная, то при
⇒ ⇒ .
Следовательно,
.
Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде
Замечание. Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке , называется нормалью к кривой в точке . Так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением , то уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке будет иметь вид
, если .
Если же , то касательная к кривой y = f(x) в точке будет иметь вид , а нормаль