6. Непрерывность функции в точке. Предел функции в точке.

Пусть f:E® R, a -точка области определения.

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " U(f(a)) $ U(a) (f(U(a))М U(f(a))).

Дадим определение непрерывной функции в точке на "языке e–d " (ср. с определением предела по Коши.)

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " e > 0 $ d(e)>0: " x удовлетворяющих условию |x-a|< d, выполнено неравенство |f(x)-f(a)|< e

Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a)М U(f(a)), " U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E.

Из определения непрерывной функции следует, что

f:E® R непрерывна в aО E, где a- предельная точка EЫ lim_{x® a}f(x) = f(a)

Последнее равенство можно переписать в следующей форме lim_{x® a}f(x) = f(lim_{x® a}x),

которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода.

Приведем еще одно определение непрерывной функции.

Функция называется непрерывной в точке a, если выполнено условие

lim_{D x® 0}D y = 0, где D y = f(a+D x)-f(a).

Функция f(x) = sin x непрерывна на R. Действительно,

|sin x-sin a| = 2|cos((x+a)/2)sin ((x-a)/2)|Ј 2|sin((x-a)/2)|Ј |x-a|/2 = |x-a|<e, как только |x-a|<d =e.

Непрерывность функции в точке.

Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

y

f(x₀)+

f(x₀)

f(x₀)-

0 x₀- x₀ x₀+ x

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство .

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + (x)

где (х) – бесконечно малая при хх₀.

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.