- •1.Понятие множества. Операции производимые над множествами.
- •2. Числа. Числовые множества. Числовая ось. Окрестности точки.
- •3. Отображения между множествами. Функции и их опредиления.
- •4. Элементарные функции. Их свойства и графики.
- •5. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
- •6. Непрерывность функции в точке. Предел функции в точке.
- •7. Производная функции. Геометрический и физический её смысл.
- •Определение производной функции через предел
- •1) Физический смысл производной.
- •2) Геометрический смысл производной.
- •8. Производные от элементарных функций. Таблица производных.
- •9. Дифференциал функций и его применение для приближённых вычислений..
- •10. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия его существования.
- •11. Точки перегиба функций, выпуклость и вогнутость функции.
- •12. Типовое исследование непрерывных и дифференцируемых функций.
- •13. Функции многих переменных и их непрерывность.
- •14. Производные и дифференциалы функций многих переменных.
- •15. Первообразная и непосредственный интеграл от функции.
- •Непосредственное интегрирование
- •16. Методы вычисления непосредственных интегралов.
- •18. Производные высших порядков. Методы их вычисления.
- •17. Определённый интеграл и способы его вычисления.
- •Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной
- •19. Ряды Маклорана и Тейлора дифференцируемых функций.
- •20. Общее понятие о линейных векторных пространствах. Их определение.
- •21. Базисы в лвп. Их преобразования. Координатное представление векторов.
- •22. Основные операции производимые над векторами.
- •23. Линейные отображение в лвп. Предоставление линейных преобразований матрицами..
- •24. Определение матриц. Основные операции, осуществляемые над матрицами.
- •25. Системы векторов. Ранг системы векторов. Ранг матрицы.
- •Ранг матрицы
- •26. Определители матриц. Правила и методы их вычисления.
- •27. Системы линейных уравнений и методы их решений.
12. Типовое исследование непрерывных и дифференцируемых функций.
Исследование функций проводится по схеме (иногда говорят об исследовании по полной схеме):
находится область определения;
находятся нули функции и промежутки, на которых функция положительна и на которых она отрицательна; изучается характер поведения функции в граничных точках области определения, в частности при x ®+Ґ и x ®-Ґ, если область определения не ограничена;
определяются асимптоты;
исследуется, является ли функция четной или нечетной;
исследуется, является ли функция периодической;
исследуется, является ли функция ограниченной, определяя при этом по возможности множество значений функции;
*) находятся точки экстремумов и промежутки возрастания и убывания функции;
*) находятся промежутки выпуклости функции.
Заметим, что иногда бывает важным построить график функции отправляясь от графика той или иной элементарной функции с помощью определенных правил преобразования графиков функции или используя правила построения графиков сложных функции.
Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x0, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).
Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.
Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x0, то она в этой точке непрерывна.
Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.
Доказательство. Если , то
,
где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0. Но тогда
Δy=f '(x0) Δx+αΔx=> Δy→0 при Δx→0, т.е f(x) – f(x0)→0 при x→x0, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x0. Что и требовалось доказать.
Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).
Р ассмотрим на рисунке точки а, b, c.
В точке a при Δx→0 отношение не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δx→0–0 и Δx→0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к1 и к2. Такой тип точек называют угловыми точками.
В точке b при Δx→0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" cвертикальной касательной.
В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – "точка возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.
П римеры.
Рассмотрим функцию y=|x|.Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к. .
Покажем, что она не имеет производной в этой точке.
f(0+Δx) = f(Δx) = |Δx|. Следовательно, Δy = f(Δx) – f(0) = |Δx|
Но тогда при Δx< 0 (т.е. при Δx стремящемся к 0 слева)
А при Δx > 0
Т.о., отношение при Δx→ 0 справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x| в точке x= 0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x= 0 данная "кривая" не имеет определенной касательной (в этой точке их две).
Ф ункция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при x= 0.
Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке x= 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол p/2, т.е. совпадает с осью Oy.