коУТВЕРЖДЕНЫ на заседании кафедры

декабрь 2012г.

Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов 1 курса экономического факультета анх

1. Множества и операции над ними.

2. Декартово произведение множеств, бинарные отношения.

3. Отображения и их свойства.

4. Множество действительных чисел. Аксиома отделимости.

5. Верхние и нижние грани. Стягивающиеся отрезки.

6. Предельные точки.

7. Приближённые вычисления.

8. Предел последовательности, предел функции. Бесконечно малые. Арифметические свойства предела.

9. Предельный переход в неравенствах. Вычисление .

10. Предел монотонной ограниченной функции.

11. Число .

12. Критерий Коши существования предела последовательности, предела функции.

13. Непрерывность, точки разрыва. Свойства непрерывных функций.

14. Непрерывность элементарных функций.

15. Символы . Вычисление пределов

.

16. Промежуточные значения непрерывной на отрезке функции.

17. Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

18. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

19. Производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства. Предельные величины.

20. Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала.

21. Производные и дифференциалы высших порядков.

22. Эластичность и её свойства.

23. Теоремы Ферма, Ролля. Необходимые условия экстремума.

24. Теоремы Лагранжа и Коши. Критерий постоянства функции.

25. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

26. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

27. Разложения функций .

28. Правила Лопиталя.

29. Монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции.

30. Выпуклость графика функции.

30. Функции спроса Торнквиста. Функция полезности. Закон убывающей предельной полезности.

31. Пространство . Открытые, замкнутые, компактные множества.

32. Функции и отображения, их пределы и непрерывность. Функции Кобба-Дугласа.

33. Дифференцируемость функции многих переменных, Частные производные.

34. Достаточные условия дифференцируемости.

35. Дифференциал. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

36. Касательная плоскость.

37. Производная по направлению, Градиент.

38. Матрица Якоби отображения и её свойства. Свойства якобиана.

39. Производные высших порядков. Свойства производственной функции.

40. Дифференциалы высших порядков. Гессиан.

41. Формулы Тейлора для функции нескольких переменных.

42. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия.

43. Достаточные условия существования экстремума.

Лектор В.Г. Чирский

Вопрос 1: множества и операции над ними

Понятие множества

Понятия множества и его элемента относятся к числу первичных, неопределяемых понятий математики. К таким же понятиям относятся точки, прямая линия и др. Создатель теории множеств Георг Кантор в 1872 году описал понятие множества, как « объединения в одно целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью».

Мы будем говорить, что определено некоторое множество объектов, если указан признак, который позволяет относительно каждого предмета сказать, принадлежит ли этот предмет множеству , или нет.

Элементы множеств в дальнейшем будем записывать строчными латинскими буквами, сами множества – прописными. Обозначение используется, как краткая запись утверждения:есть элемент множества, или:принадлежит. Аналогично, обозначениеиспользуется, как краткая запись утверждения:не является элементом множества, или:не принадлежит. Множество, не имеющее элементов, называетсяпустым и обозначается .

Укажем ряд способов задания множеств. Во-первых, можно просто перечислить все элементы множества, если этих элементов – конечное число, т.е. если множество конечное. Например, множество, состоящее из двух чисел, 0 и 1. В этом случае используется обозначение {0,1}. Для произвольного конечного множества, например, состоящего из различных элементов , используется обозначение. Подчеркнём, что в этом обозначении множества элементыдолжны быть различными, однако они могут быть перечислены в произвольном порядке, например, и -различные обозначения одного и того же множества.

Можно также указать свойство, которому удовлетворяют элементы рассматриваемого множества. Например, множество действительных чисел, больших 5. Обозначим его .

Некоторые множества определяются с помощью указания способа последовательного построения его элементов. Например, .

Новые множества можно получать и в результате операций над заданными множествами.

Наиболее часто у нас будут рассматриваться множество R действительных чисел, множество N натуральных чисел, множество Z целых чисел, множество Q рациональных чисел.

Подмножества

Важный способ задания множества – выделение его, как части некоторого основного множества. Основное множество образуется всеми элементами какого-нибудь определённого типа. Например, множество целых чисел, множество простых чисел и т.п.

В качестве примера рассмотрим основное множество целых чисел и выберем в нём те числа, которые делятся на 2, т.е. чётные числа. Мы получили множество чётных чисел, которое является подмножеством основного множества целых чисел.

В общем случае, если все элементы множества являются также элементами множества, то мы говорим, чтоестьподмножество , иливключено в, и обозначаем это так:.

Если оказалось, что одновременно и, то эти множества называютсяравными, что обозначается . Проще говоря, равные множества состоят из одних и тех же элементов.

Из того, что иследует, что(т.е. отношение включения множеств являетсятранзитивным. Понятие отношения и его свойства будут подробнее описаны в билете 2).

Операции над множествами

Пусть задано некоторое основное множество и его подмножестваи.

Определение 1.1.Объединение этих множеств определяется, как подмножество множества , состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множестви.

Определение 1.2.Пересечение этих множеств определяется, как подмножество множества , состоящее из элементов, одновременно входящих как в множество, так и в множество.

Определение 1.3Дополнение множества определяется, как подмножество множества, не содержащее элементов множества.

Перечислим некоторые свойства операций над множествами.

В качестве примера докажем свойство . Для этого заметим, что условиеравносильно тому, что. Это, в свою очередь, равносильно тому, чтои, т.е.. Свойство доказано.

Это утверждение, вместе с утверждением , называюттеоремами де Моргана. Доказательства остальных свойств ещё проще и мы их опускаем.

Подмножества основного множества вместе с введёнными выше операциями, дают пример так называемойбулевой алгебры.