- •Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов 1 курса экономического факультета анх
- •Вопрос 1: множества и операции над ними
- •Вопрос 2 : декартово произведение множеств, бинарные отношения
- •Вопрос 3: отображения и их свойства
- •Вопрос 4: множество действительных чисел. Аксиома отделимости
- •§1. Натуральные числа
- •§ 1΄. Аксиомы Пеано
- •§ 2. Целые числа
- •§ 3. Рациональные числа
- •§4. Действительные числа
- •Вопрос 5:верхняя и нижняя грани
- •2. Стягивающиеся отрезки
- •Вопрос 6. Предельные точки
- •Вопрос 7. Приближённые вычисления
- •Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела
- •Вопрос 9. Предельный переход в неравенствах. Вычисление
- •Вопрос 10: предел монотонной ограниченной функции
- •Вопрос 11: число e
- •Вопрос 12: критерий коши существования предела последовательности, предела функции
- •Вопрос 13: непрерывность. Точки разрыва.Свойства непрерывных функций
- •1. Непрерывна в точке ;
- •2. Существует такая , что.
- •Вопрос 14: непрерывность элементарных функций
- •Вопрос 15: символы ,. Вычисление ,,
- •Вопрос 16: промежуточные значения непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 17: ограниченность непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 18: равномерная непрерывность
- •Вопрос 19: производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства
- •1. Дифференцируемость функции
- •2.Производная
- •3. Касательная к графику функции
- •4. Правила дифференцирования
- •4. Производная обратной функции
- •6. Производная сложной функции
- •7. Производная функции, заданной параметрически
- •Вопрос 20: дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.Понятие дифференциала числовой функции
- •4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
- •Вопрос 21:производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Последовательные производные
- •2. Примеры
- •3. Линейное свойство производных высших порядков
- •Вопрос 22.
- •Вопрос 23: теоремы ферма, ролля. Необходимые условия экстремума
- •Вопрос 24:теоремы лагранжа, коши.Критерий постоянства функции
- •Вопрос 25: формула тейлора с остаточным членом в форме лагранжа
- •Вопрос 26. Формула тейлора с остаточным членом в форме пеано
- •Вопрос 28: правила лопиталя
- •1. Неопределённость типа
- •Вопрос 29: монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции
- •Вопрос 30. Функции спроса торнквиста. Функция полезности. Выпуклость графикафункции.
- •2.Производственные функции.
- •5. Выпуклость графика функции.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно
- •1.Выпуклость непрерывной функции
- •2. Выпуклость дифференцируемой функции
- •3. Выпуклость дважды дифференцируемой функции
- •4.Точки перегиба
- •31. Пространство , множества в нем.
- •Вопрос32.Функции и отображения. Предел, непрерывность.
- •Функции Кобба-Дугласа.
- •Вопрос 33. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные
- •Вопрос 34.
- •Вопрос 35.
- •Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Вопрос 36. Касательная плоскость
- •Вопрос 37. Производная по направлению, градиент.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно Матрица Якоби и ее свойства.
- •Вопрос 39. Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Второй дифференциал функции.
- •Вопрос 41. Формулы Тейлора.
- •Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Метод наименьших квадратов.
Вопрос 25: формула тейлора с остаточным членом в форме лагранжа
Формула Тейлора представляет собой один из основных инструментов математического анализа. Её смысл состоит в том, что функция представляется в виде, где– многочлен Тейлора,– остаточный член формулы Тейлора. В зависимости от видаона используется в различных целях: при вычислениях значений функций с заданной точностью, при исследовании асимптотического поведения функций и т.д.
Теорема 25.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа) Пусть ,, …,непрерывны в окрестноститочкии пусть всуществует. Тогда для любогосуществует точка, лежащая междуитакая, что
(1)
Примечание. В этом представлении функции величинаназываетсяостаточным членом в форме Лагранжа.
Можно выписать более общую форму Шлёмильха и Роша (Schlömilch–Roche) остаточного члена:
, (2)
где – число, удовлетворяющее неравенствам, такое, что, а– любое число. Например, остаточный член в форме Лагранжа получится, еслив этой общей форме (2). Иногда бывает удобеностаточный член в форме Коши, получаемый из (2) при :
.
Однако наиболее часто используется остаточный член в форме Лагранжа и мы докажем формулу Тейлора именно в таком виде.
◄Рассмотрим вспомогательную функцию
(3)
Поскольку эта функция получится вычитанием измногочлена от, а многочлен непрерывен и имеет непрерывные производные любого порядка, для функциисохраняются свойства функции, т.е.,, …,непрерывны висуществует в.
Пусть . Для определённости, пусть. Выберем числотак, чтобы выполнялось равенство. Это возможно, поскольку при подстановкевместов (3), это равенство примет вид линейного относительно уравнения с коэффициентом при, равным.
Теперь для применения следствия теоремы 23.2(Ролля) осталось только доказать, что выполняются равенства .
Для этого сначала вычислим -ю производную,, от функциив точке.
По формуле для производной степенной функции последовательно получаем:
, , … ,, если. В точкеэта величина обращается в 0.
Если , то.
Если же , то дальнейшее дифференцирование даст тождественный ноль. (Степень многочленаравна, т.е. он имеет вид,-кратное дифференцирование прикаждого слагаемого, входящего в этот многочлен, даёт тождественный ноль)
Итак, все производные порядка ,, функцииравны 0 в точке, а.
Равенство справедливо по выбору. Для любогоимеем, согласно доказанному выше
Все условия следствия теоремы 23.2 (Ролля ) выполнены, поэтому существует точка , такая, что. Но, значит,т.е.
(4)
Вспоминаем, что и подставляемвместов формулу (3), учитывая (4):, что означает:
, (5)
Случай, когда вполне аналогичен и приводит к такому же равенству (5). ◄
Замечание 1. Часто вместо пишут, гдеи наоборот, каждому такомусоответствует числомеждуи.
Замечание 2. Часто вместо точки пишут просто, а вместопишути формула Тейлора приобретает вид:
, (6)
Замечание 3. В случае, когда – независимая переменная, или линейная функция от независимой переменной,, и. Обозначим. При этом формула Тейлора записывается так:
(7)
Замечание 4. Особенно часто формула Тейлора используется, когда . Тогдаи
(8)
Эту формулу часто называют также формулой Маклорена (Mac-Laurin).