Вопрос 15: символы ,. Вычисление ,,

Пусть ,определены в.

Определение 15.1. ,, если существует,– б. м. притакая, что.

Определение 15.2. ,, если существует, – ограниченная в, такая, что.

Примеры.

1. при , т.к., а;но

2. , при ∞, т.к., ипри∞.

Вообще, если и, тои еслии∞ то.

Из свойств бесконечно малых величин следуют такие свойства символов , :

Теорема 15.1.Если ,, то,; все соотношения выписаны при.

Доказательство. Действительно, ,,– б. м. прии, а.В фигурных скобках стоят бесконечно малые при.

Теорема 15.2., т.е.

если , топри.

Доказательство. Действительно, если , а, т. е.,, где,– б. м. при, то, где– б. м. при, что и означает справедливость доказываемого равенства . Для большей ясности повторим, что равенство следует понимать так: если, топри.

Теорема 15.3.,,

Доказательство.Эти свойства сразу следуют из того, что произведение бесконечно малой величины на ограниченную есть бесконечно малая величина.

Символы ,удобны при вычислении пределов.

Перейдём к вычислению пределов ,,, которые далее будут использованы при вычислении производных. Вновь подчеркнём, что при ответе на этот билет при их вычислении нельзя пользоваться правилами Лопиталя или формулой Тейлора. Разумеется, они дадут верный ответ, но их применение требует знания производных функций, стоящих в числителях этих дробей. А для вычисления этих производных, как отмечено выше, требуется знать эти самые пределы. Поэтому получится не доказательство, а порочный логический круг.

Теорема 15.4. =1,=,=.

Доказательство. 1. В теореме 11.2 мы установили, что . Рассмотрим левую часть этого равенства и преобразуем её так:. По непрерывности показательной функции (а именно: непрерывность функции означает, что ) получаем , т. е.

2.Далее рассмотрим предел и сделаем в нём замену переменной(это – монотонная замена и теорема о пределе сложной функции будет верна). Прии, и наоборот, притакже.

Поэтому , по доказанному выше.

Для имеем

3. Рассмотрим . Обозначим, т. е.. Тогда ,и припеременная, и наоборот, припеременная. Наш предел примет вид. Это преобразование законное, т. к. прии, поэтому. Далее используем доказанное в первом пункте равенство. Таким образом, искомый предел равен.

Запишем найденные предельные соотношения с помощью символа . означает, что ,при или, , .

Равенство означает, что,.

Аналогично, ,.

(Кстати, означает, что при ).

Вопрос 16: промежуточные значения непрерывной на отрезке функции

Определение 16.1. Пусть функция определена на некотором множестве. Если она непрерывна в каждой точке этого множества, то говорят, что онанепрерывна на множестве .Иными словами, функциянепрерывна на множестве, если для любого числаи любогосуществует такое число, что для всех, удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство.

Теорема 16.1.(Больцано, Коши) Пусть функция непрерывна на отрезкеи принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует хотя бы одна точкатакая, что.

Пусть, для определённости, . Обозначими рассмотрим точку. Если оказалось, что, то теорема верна при. Если же, то либои в этом случае положим, либои в этом случае положим. В обоих случаях получен отрезок, длина которого равна половине длины отрезкаи на концах которого функция принимает значения разных знаков.

Разделим этот отрезок пополам точкой . Если, то теорема верна при. Если же, то либои в этом случае положим, либои в этом случае положим. Снова обоих случаях получен отрезок, длина которого равна половине длины отрезкаи на концах которого функция принимает значения разных знаков.

Продолжим процесс деления отрезков пополам. При этом возникают две возможности. Либо на каком- то шаге получаем, для , и. Тогда теорема справедлива. Либо для всехвыполняются неравенства. Тогда получается бесконечная система стягивающихся отрезков. Действительно, по построению каждый следующий отрезок вложен в предыдущий, а длина отрезка, равная, стремится к нулю при. Эти отрезки имеют общую точку, которую будем обозначать. Докажем, что .

Действительно, с одной стороны, , поэтому, по теореме о предельном переходе в неравенствах,, так как функцияпо условию непрерывна на отрезкеи. С другой стороны,, так как. Полученные неравенства доказывают, что .

Следствие. Пусть функция непрерывна на отрезке,и пусть(). Тогда для любого числа , удовлетворяющего неравенствам(), существует точка такая, что.

 Рассмотрим функцию . Она непрерывна на отрезке как разность непрерывной по условию функции и постоянной функции. , поэтому существует точкатакая, что, т.е.. 