Вопрос 10: предел монотонной ограниченной функции

Эта информация относится ко всем вопросам. Ее следует знать, но не следует рассказывать именно в 10 билете.  Ниже приводятся определения бесконечных пределов.

.

.

.

.

.

 Определение 10.1Последовательность называетсянеубывающей , если для всех n выполняется неравенство . Она называетсявозрастающей, если выполняется неравенство. Последовательностьназываетсяневозрастающей , если для всех n выполняется неравенство . Она называетсяубывающей, если выполняется неравенство.Общее название всех таких последовательностей –монотонные последовательности.

Определение 10.1′Функция , определенная на промежуткеназывается:неубывающей(возрастающей) на Х, если для всех из неравенстваследует неравенство(). Она называетсяневозрастающей(убывающей) на Х, если из следует(). Общее название для этих случаев –монотонные на Х функции.

Теорема 10.1 (К. Вейерштрасс)

1. Если последовательность не убывает и ограничена сверху, то существует.

2. Если последовательность не возрастает и ограничена снизу, то существует.

Доказательство. Проведем доказательство первого случая. Второй случай совершенно аналогичен. По условию, множество значений, которые принимает последовательность , ограничено сверху. По теореме 5.1 существует его точная верхняя грань A. Докажем, что . Для этого возьмем произвольное. По определению А, любое меньшее число, в частности число , уже не является верхней гранью множества значений, принимаемых последовательностью . Значит, при некотором , или . Кроме того,, т.к.А – верхняя грань множества значений .

Итак, . Но при , поэтому. Таким образом, для любого существует N такое, что для всех выполняется неравенство . Поэтому .

Теорема 10.2 (К. Вейерштрасс)

1. Если не убывает наи ограничена сверху на, то существует.

2. Если не убывает наи ограничена снизу на, то существует.

3. Если не возрастает наи ограничена сверху, то существует.

4. Если не возрастает наи ограничена снизу, то существует.

Доказательство. Оно вполне аналогично теореме 10.1. Для полноты изложения докажем, например, случай 2. Поскольку множество значений, принимаемых на интервале ограничено снизу, существует . Докажем, что . Пусть . По определению точной нижней грани множества, числоуже не является нижней гранью множества значений на , поэтому существует такое число с, что . Но тогда для всехимеем, откуда . Значит, для всякого найдено число(равное числу), такое, что для всехx таких, что , выполняется неравенство , т.е. .

Следствие. Если- монотонная нафункция, то для любогосуществуюти.

Доказательство. Достаточно применить теорему 10.2 к интервалам и.

Вопрос 11: число e

Теорема 11.1 Существует предел последовательности .

Доказательство. Сначала докажем лемму

Лемма 11.1. (неравенство Бернулли):

Если , то .

Доказательство. Используем метод математической индукции. При имеем: . Предположим, что при неравенство верно: . Тогда при имеем: . Неравенство доказано.

Чтобы доказать существование предела , рассмотрим последовательность. Для членов этой последовательности:

Применим неравенство Бернулли, обозначив , при этом очевидно, что . 1. Таким образом, . Так как , то , поэтому рассматриваемая последовательность убывает и ограничена снизу. Значит, существует предел . Так как , то и . Следовательно, . Таким образом, . 

Теорема 11.2 Имеет место равенство

.

Доказательство. ( НА ЭКЗАМЕНЕ НЕОБЯЗАТЕЛЬНО ЕГО ЗНАТЬ. ПРИВЕДЕНО ДЛЯ ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ МАТЕМАТИКОЙ)

1. Докажем сначала, что .

Обозначим за n целую часть отношения . . Тогда справедливо неравенство: . Перепишем его в виде . Тогда . При этом , . В полученном неравенстве левая и правая части стремятся к e, т.к. .

Таким образом, по теореме “о зажатой переменной” 9.3. получаем, что .

2. Докажем теперь, что .

Обозначим . Получаем, что . Выражение при . Обозначив получаем, что . Тогда . Полученное выражение стремится к e при , т.к. . Теорема доказана.