Вопрос 6. Предельные точки

 Определение 6.1. Окрестностью точки a называется любой интервал, содержащий точку a. Чаще всего рассматривают симметричную окрестность радиуса , . Проколотой окрестностью точки a называется окрестность точки a, из которой исключена сама точка a, т.е. .

Определение 6.2. a - предельная точка множества A, если в любой проколотой окрестности точки a есть точки из множества A: .

В определении не сказано, что . В приведенных ниже примерах встретятся ситуации, и когда предельная точкаа множества А принадлежит самому множеству А, и когда она не принадлежит множеству А.

Пример 1. Пусть. Любая точка с, не принадлежащая этому отрезку, не является предельной точкой (см. рис.1).

[( ) ( ] )

a b

(рис. 2)

x

Для любой можно указать окрестность точки с, не пересекающуюся с.

 

Любая окрестность любой точки имеет непустое пересечение ссм. рис.2

Итак, множеством предельных точек отрезка является сам отрезок. Он содержит все свои предельные точки.

Определение 6.3. Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым.

Пример 2.Пусть . Как и выше, если , то с не является предельной точкой А.

Но любая окрестность любой точки имеет непустое пересечение с ,

Поэтому множеством предельных точек интервала является отрезок . В этом случае концыa, b этого отрезка – предельные точки , не принадлежащие.

Теорема 6.1.Если A - бесконечное ограниченное множество, то существует предельная точка множества A.

(Примечание к формулировке теоремы: множество A ограниченное -это означает, что ; бесконечное –т.е. содержит бесконечно много точек.)

Доказательство. Рассмотрим отрезок . Разделим его на 2 части. Хотя бы в одну из половин отрезка входит бесконечное множество точекA. Возьмем полученный отрезок и тоже разделим его на 2 части. Хотя бы один из полученных отрезков тоже содержит бесконечное множество точек из A. Продолжим процесс деления отрезков. В итоге имеем систему стягивающихся отрезков. По теоремам (5.3, 5.4) эта система имеет единую для всех отрезков точку с. Утверждаем, что точка c - предельная точка множества A. Выберем произвольную окрестность и в ней окрестность . После этого возьмем n такое, чтобы длина отрезка, равная , оказалась меньше, т.е..

Так как, очевидно, (см. рис. 5), и так как содержит, по построению, бесконечноемножество точек из A, проколотая окрестность , также содержит бесконечное множество точек из А. Итак, доказано, что произвольная окрестность содержит точки из А. Следовательно, с – предельная точка множества А.

В дополнение сформулируем и докажем еще одно важное свойство предельных точек.

Теорема 6.2. Если a – предельная точка А, то в любой проколотой окрестности точки а, содержится бесконечное множество точек из А.

Доказательство. Рассмотрим произвольную окрестность и в ней также произвольную . Обозначаем . В существует точка , по определению предельной точки. Пусть. В существует точка . Точкане может совпасть с, т.к.. Далее полагаем. В существует точка , причем , т.к.и т.д.

В итоге получаем бесконечное множество точек из А, входящих в , что и утверждалось.

Следствие. Конечное множество не имеет предельных точек.