Вопрос 3: отображения и их свойства

Определение 3.1.Назовём бинарное отношение функциональным, если для каждого сечениесодержит не более одного элемента.

Определение 3.2.Если отношение , симметричное к отношению, также является функциональным, то отношениеназываетсявзаимно однозначным.

Определение 3.3.Если для каждого сечениесодержит ровно один элемент, то функциональное отношениевсюду определено.

С функциональным отношением непосредственно связано понятие отображения.

Определение 3.4.Отображение, обозначим его, сопоставляет каждому элементу, называемомуаргументом отображения, для которого сечение - непустое множество, единственный элементподмножествамножества. Этот элементназываетсяобразом элемента при отображении.

Множество тех элементов , для которых существует, называетсяобластью определения отображения .

Определение 3.5.Если отображение определено на всём множестве, то говорят, что заданоотображение в .

Определение 3.6.Множество образов элементов при отображенииназываетсяобразом отображения. Если , тообраз определяется, как множество образов элементов.

Определение 3.7.Если образ совпадает со всем множеством , то говорят, что заданоотображение на, или что -сюръективное отображение, или сюръекция. (При этом требование всюду определённости не является обязательным).

Определение 3.8.Если , тообозначаетпрообраз множества , т.е. множество тех элементов, для которых.

Отметим очевидные свойства образа и прообраза:

.

Определение 3.9.Если отношение является взаимно однозначным, то отображение, соответствующее, называетсяобратным к и обозначается. Если при этом отношениевсюду определено, тоназываетсяинъективным отображением, или инъекцией. Если, кроме того, отображение ещё и сюръективно, то оно называется биективным или биекцией.

Отметим, что выше мы использовали обозначение прообразаи в случаях, когда обратное котображениене существует. Если же обратное отображение существует, то прообразможно рассматривать, как образ множествапри отображении.

Наиболее часто встречающимся функциональным отношением является обычная функция , определённая на некотором подмножествечисловой прямой, значения которой образуют множество. Действительно, эту функциональную зависимость можно трактовать, как задание подмножества в множестве, в которое входят те пары, для которых выполнено равенство. Изображение этого множества пар на плоскости носит название графика функции.

Вопрос 4: множество действительных чисел. Аксиома отделимости

Предварительные сведения о натуральных, целых, рациональных числах. На экзамене содержание параграфов 1,2,3 следует знать, но можно не рассказывать. (Содержание параграфа 1΄ можно и не знать, сведения об аксиоматике Пеано приведены исключительно для общего развития).

§1. Натуральные числа

Натуральное число можно также отнести к тем понятиям, которые интуитивно ясны каждому человеку и, разумеется, свойства этих чисел известны из курса средней школы. В этом параграфе мы напомним эти свойства

Сложение натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность, или сочетательный закон).

2. (коммутативность, или переместительный закон).

Для натуральных чисел естественно вводится отношение порядкаменьше или равно, обозначаемое , и для любых чиселвыполняется либо соотношение, либо.

Отношение порядка обладает такими свойствами:

1. Если одновременно и, то.

2. Если и, то.

3. Если , то для всехвыполняется:.

Умножение натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность, или сочетательный закон).

2. (коммутативность, или переместительный закон).

3. Если , то для всех натуральныхвыполняется:.

4. (дистрибутивность умножения относительно сложения, или распределительный закон).

Множество натуральных чисел обозначается N.

Мы не будем подробно останавливаться на позиционных системах счисления, как средствах для изображения чисел. В школе, да и в большинстве вычислений, используется привычная десятичная система счисления. Отметим, однако, что в ряде задач более удобны, например, двоичная или троичная системы. Также в качестве примера изобразим число 100 в двоичной системе:1100100 ( так как 100=1 64+ 132+016+ 08+14+02+01).