- •Основные теоремы о пределах.
- •Непрерывность функции в точке и на интервале.
- •Непрерывность функции в точке.
- •Производная и дифференциал.
- •Поиск экстремума функции двух переменных.
- •Определенный интеграл, основные теоремы.
- •Понятие о дифференциальном уравнении: его порядке, общем и частном решении.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными.
- •Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения линейного уравнения.
- •Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Признак Даламбера.
- •Признаки сходимости
Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Признак Даламбера.
Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).
Рассматриваются числовые ряды двух видов
вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;
Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда представляют собой либо вещественные, либо комплексные числа.комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;
Признаки сходимости
Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.
Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге и равномерно по на любом компактном подмножестве этого круга.
Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех , таких что . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при ряд сходится абсолютно (и равномерно по на компактных подмножествах круга ), а при — расходится. Это значение называется радиусом сходимости ряда, а круг — кругом сходимости.
Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:
(По поводу определения верхнего предела см. статью «Частичный предел последовательности».)
Пусть и — два степенных ряда с радиусами сходимости и . Тогда
Если у ряда свободный член нулевой, тогда
Вопрос о сходимости ряда в точках границы круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:
Признак Д’Аламбера: Если при и выполнено неравенство
тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности абсолютно и равномерно по .
Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда положительны и последовательность монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности , кроме, быть может, точки .
Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он сходится равномерно по на отрезке, соединяющем точки 0 и .
Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра является предметом изучения теории аналитических функций.
Степенные ряды. Свойства степенных рядов. Теорема Абеля.
Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .
.Сумма степенного ряда
|
(2) |
является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости .
2.Ряд
, |
(4) |
полученный почленным дифференцированием ряда (2), является степенным рядом с тем же, что и ряд (2), интервалом сходимости . Сумма ряда (4) .
Замечание. Ряд (4) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна , и так далее. Таким образом, сумма ряда (2) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости . Сумма ряда полученного из ряда (2) – кратным дифференцированием, равна . Область сходимости степенного ряда при дифференцировании не изменится.
3. Пусть числа и принадлежат интервалу сходимости ряда (2). Тогда имеет место равенство
|
(5) |
если степенной ряд
где - комплексные числа, сходится при то он абсолютно и равномерно сходится в любом круге радиуса с центром в точке b. Установлена Н. Абелем [2]. Из этой теоремы вытекает, что существует число обладающее тем свойством, что при ряд сходится, а при расходится. Это число Rназ. радиусом сходимости ряда (*), а круг наз. кругом сходимости ряда (*).
Разложений функций в степенные ряды. Ряд Тейлора.
Если в некоторой окрестности точки х=а функция f(x) имеет конечные производные f'(x), f"(x), ..., f(n+1)(x), то для каждого значения х из этой окрестности справедлива формула Тейлора:
где а<ξ<х или x<ξ
Если последний член в формуле Тейлора (остаточный член) стремится к нулю при n→∞, то в данной окрестности точки х=а функция f(x) может быть представлена рядом Тейлора (при а=0 он называется рядом Маклорена):
В частности, такое представление функции f(x) справедливо, если в рассматриваемой окрестности точки х=а выполняется условие
при любом натуральном n (М не зависит от n). Это есть достаточное условие для того, чтобы остаточный член в формуле Тейлора стремился к нулю.
Степенные ряды дают возможность заменить данную функцию приближенно равной ей суммой некоторого числа первых членов ряда, т. е. многочленом; для приложений важны ряды, сходящиеся быстро, т. е. такие, в которых сумма небольшого числа первых членов дает приближение с желаемой точностью. Ниже приводятся некоторые из примечательных степенных рядов.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции в точке .
Функции спроса и предложения.
Функция полезности. Кривые безразличия.