- •Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда.
- •Ряды с неотрицательными членами. Необходимый и достаточный признак сходимости ряда с неотрицательными членами.
- •Достаточные условия сходимости рядов с неотрицательными членами. Можарантный признак. Примеры.
- •Признак Даламбера сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •Интегральный признак Коши – Маклорена сходимости рядов с неотрицательными членами. Примеры.
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.
- •Степенные ряды. Теорема Абеля об области сходимости степенных рядов.
- •Радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда.
- •Свойства степенных рядов.
- •Разложение функций в степенные ряды. Теорема о единственности разложения функций в степенные ряды.
- •Ряды Тейлора и Маклорена элементарных функций.
- •Математическая статистика
- •Вариационные ряды: дискретные и интервальные. Аналитическое и геометрическое описание вр.
- •Оценивание параметров распределения случайных величин. Требования, предъявляемые к оценкам.
- •Точечные и интервальные оценки параметров распределения случайных величин
- •Метод максимального правдоподобия (Фишере) точечного оценивания параметров распределения случайных величин. Примеры.
- •Метод моментов (Пирсона) точечного оценивания параметров распределения случайных величин. Примеры.
- •Критерии Фишера и Стьюдента проверки статистических гипотез. Примеры
- •3. Математические методы м математические модели в экономике
- •Функции предложения и функции спроса, равновесная цена и равновесный объём. Примеры.
- •Макроэкономическая балансовая модель Леонтьева «затраты – выпуск».
- •Оптимизационные задачи с ограничениями. Модель максимизации прибыли предприятия.
- •Общая постановка задачи линейного программирования (злп). Графическое решение двумерных злп. Примеры.
- •Многомерные задачи злп. Понятие о симплекс- методе.
- •Специальные злп. Транспортная задача.
- •Основные понятия и определения математической теории игр. Антагонистическая игра (игра с нулевой суммой).
- •Минимаксная стратегия игры. Верхняя и нижняя цена игры. Определение оптимальных стратегий.
- •Теорема фон-Неймана о существовании оптимального решения конечной матричной игры.
- •Теорема фон-Неймана об активных стратегиях. Методы упрощения платежной матрицы.
- •Решение игр в чистых стратегиях и седловые точки матрицы игры.
- •Аналитическое решение игры (2 × 2), графическое решение игр вида (2 X n) и (n X 2).
- •Приведение матричной игры к злп.
- •Игры с природой. Постановка задачи. Математическая модель.
Критерии Фишера и Стьюдента проверки статистических гипотез. Примеры
Оценка, среднее значение которой равно нулю называется незначимой, и наоборот, оценка называется значимой, если её среднее значение не равно нулю. В связи с таким свойствами оценок, они должны быть проверены на значимость. Для этого используются критериальные случайные величины Пирсона, Стьюдента, Фишера-Снедекора. В качестве критерия F (критерий Фишера) для проверки гипотезы о равенстве дисперсий в двух генеральных совокупностях по независимым выборкам из них строится случайная величина, равная отношению двух «исправленных» дисперсий, предполагая, что генеральная совокупность распределена нормально.
закон распределения является гипотетическим и нуждается в статистической проверке. Гипотезы о виде закона распределения выдвигаются на основе результатов построения эмпирических функций распределения или гистограмм.
Рассмотрим вопрос о критерии проверки по данным выборки гипотезы о том, что данная случайная величина Х имеет функцию распределения F(х), т.е. решим задачу непараметрической статистики. Введём некоторую случайную величину – критерий К, основанный на выборе определённой меры расхождения эмпирического и теоретического распределений. Наиболее часто используемым критерием для решения задач непараметрической статистики – является критерий Пирсона χ2 (хи-квадрат). Пример При проведении тестирования на профессиональную пригодность были подвергнуты испытанию две группы: в первой группе – 10 человек, во второй группе – 15 человек. По данным этих тестов были посчитаны «исправленные» эмпирические дисперсии, оказавшиеся равными для первой группы и для второго . Требуются проверить с уровнем значимости α=0,1 гипотезу о равенстве дисперсий – уровнем подготовленности. Решение. Вычислим выборочное значение критерия F = . По таблицам распределения Фишера и при α = 0,05 и степенях свободы k1 = n1 –1 = 9 и k2 = n2 –1 = 14 находим критическую точку F2 = 2,65. Выборочное значение критерия оказалось меньше критического, и, следовательно, предположение о равенстве дисперсий не противоречит наблюдениям. Иными словами, нет оснований считать, что две группы обладают разным уровнем подготовленности.
3. Математические методы м математические модели в экономике
Функции предложения и функции спроса, равновесная цена и равновесный объём. Примеры.
Макроэкономическая балансовая модель Леонтьева «затраты – выпуск».
В нормально функционирующей экономике должен быть баланс между производством и потреблением. Рассмотрим модель экономики состоящий из n-чистых отраслей. Х= валовый выпуск отраслей, Пусть xi – общий объём продукции i –й отрасли за данный промежуток времени – так называемый валовой выпуск отрасли i; xij – объём продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства; yi – объём конечной продукции i –й отрасли для непроизводственного, конечного потребления,Y- конечный продукт всей экономики. (1). уравнение баланса содержит 2 неизвестных xi и xij а известно только yi . Как известно тиз теорий линейных уравнений такая система имеет бесконечное число решений и следовательно Ур-е (1) использовать в экономике нельзя. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в предвоенный период, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно, величина , показывающая затраты продукции i –й отрасли на единицу продукции j-й отрасли, сохраняет приблизительно постоянное значение в течение нескольких лет, что связано с технологиями производства, которые меняются сравнительно медленно. . Коэффициенты aij называются коэффициентами прямых затрат. тогда следовательно Х= АХ+У(3). Соотношение (3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы A и векторов X, Y это соотношение называют также моделью (уравнением) Леонтьева.
Производственные функции. Неоклассическая производственная функции типа Кобба - Дугласа. Коэффициенты эластичности по труду и капиталу. Предельный продукт труда и капитала. Предельное замещение по труду и капиталу.
Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов. Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология – новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта. Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение – не у всех будут места). 2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).В общем виде производственная функция выглядит следующим образом: ,где - объем выпуска; K- капитал (оборудование); М- сырье, материалы; Т- технология; N- предпринимательские способности. Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба - Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда(L) и капитала(К). Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы ,Где А- технологический коэффициент, λ - коэффициент эластичности по труду, а 1 − λ — коэффициент эластичности по фондам. Производственная функция Кобба-Дугласа — зависимость объема производства Q от создающих его труда L и капитала K. Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна соответственно и , так как , и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно . -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда. Предельному продукт труда (dy/dL): .Предельный продукт капитала ,