7. Критерий Коши и признак сравнения сходимости рядов с неотрицательными членами. Примеры.

8. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

Ряды с неположительными членами отличаются от соответ­ствующих рядов с неотрицательными членами только множите­лем - 1, поэтому вопрос об их сходимости решается аналогично. рассмотрим знакочередующиеся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знако­чередующийся ряд можно записать в виде (1), где .

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Если абсолютные величины членов знакочере­дующегося ряда (1) монотонно убывают и об­щий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится. Доказательство.1)Пусть дан ряд (1) и (оба условия выполнены) пусть и при . Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов

, последоват. монотонно возрастает. 2)Докажем ограниченность сверху. Для этого представим в виде

. для любого , т. е. ограни­чена. последовательность возрастающая и ограниченная, следовательно, она имеет предел .последовательность частичных сумм не­четного числа членов сходится к тому же пределу . . Переходя в этом равенстве к пределу при и используя второе условие ( при ), полу­чаем . последовательность частичных сумм ряда (1) сходится к пределу . Это и означает, что ряд (1) сходится. Теорема доказана.

9. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим ряды с членами произвольных знаков. Та­кие ряды называются знакопеременными рядами. Возьмем знакопеременный ряд , (1) где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассмо­трим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1): . (2)

Теорема 2. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится. Обозначим через частичную сумму ряда (1), а через частичную сумму ряда (2): ; . Так как ряд (2) сходится, то последова­тельность его частичных сумм имеет предел , при этом для любого имеет место неравенство , (3) поскольку члены ряда (2) неотрицательны. Обозначим через сумму положительных членов, а через сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме . Тогда ,(4) и (5). последовательности и не убывают, а из ра­венства (5) и неравенства (3) следует, что они являются ограни­ченными: и . Следовательно, сущест­вуют и . Но в таком случае, в силу равенства (4), последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел . Это означает, что ряд (1) сходится. Теорема доказана.

10. Степенные ряды. Теорема Абеля об области сходимости степенных рядов.

Ряд вида (1) называется степенным рядом. Числа называются коэффициентами степенного ряда. Придавая различные числовые значения, получаем раз­личные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися Множество тех значений , при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, так как любой степенной ряд сходится при . частичная сумма степенного ряда является функцией переменной . Поэтому и сумма ряда также является некоторой функцией переменной , определенной в области сходимости ряда: (или ).(теорема Абеля) 1) Если степен­ной ряд (1) сходится при , то он сходится, и при­том абсолютно, для всех , удовлетворяющих условию ; 2) если ряд (1) расходится при , то он расходится для всех , удовлетворяющих условию . Доказательство. 1) Так как по условию числовой ряд сходится, то его общий член при , откуда следует, что последовательность ограничена, т.е. существует число такое, что будет иметь эту константу (2) Перепишем ряд (1) в виде (3) и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его чле­нов (4). Члены ряда (4) в силу неравенства (2) меньше соответствующих членов ряда (5) при ряд (5) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и явл. можоритарной для ряда (4) и сходится. так как члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда (5), то, по признаку сравнения, ряд (4) также сходится, а это зна­чит, что ряд (1) при сходится абсолютно. 2)переходим ко второй часть теоремы. По условию, в точ­ке ряд (1) расходится. Покажем, что он расходится для всех , удовлетворяющих условию . допустим, что при некотором значении та­ком, что , ряд (1) сходится. Тогда по только что дока­занной первой части теоремы ряд (1) должен сходиться и в точке , так как . Но это противоречит тому, что в точке ряд расходится. Теорема доказана.