29. Оптимизационные задачи с ограничениями. Модель максимизации прибыли предприятия.

30. Общая постановка задачи линейного программирования (злп). Графическое решение двумерных злп. Примеры.

Задача условной оптимизации называется задачей линейного программирования (ЛП), если целевая функция и все функции ограничений являются линейными функциями:

где c_i, b_j, a_ij постоянные коэффициенты. Это есть стандартная форма задачи ЛП. В общем случае ограничения могут иметь знак „ " или „=". Однако, умножая неравенство на -1 и заменяя равенство двумя неравенствами „ " и „ ", можно придти к стандартной форме. Кроме того, взяв вместо f(x) функцию - f(x), можно получить задачу на минимум.

Обозначим через c=(c₁,…,c_n) - вектор коэффициентов целевой функции, b=(b₁,…,b_k) - вектор свободных членов ограничений, - матрицу коэффициентов ограничений и запишем нашу задачу в векторной форме:

где - скалярное произведение двух векторов c и x. Такая компактная запись удобна для теоретических исследований. Графическое решение двумерных злп: алгоритм решения: 1) находим вектор градиента F цели =(δ F цели/ δх1; δ F цели/ δх2). 2)строим линию уровня F цели. Поскольку целевая функция линейная всегда линяя уровня представляет собой прямую перпендикулярную вектору градиента. 3) вектор градиента указывает направление максимальтного роста ф-ции. Если нам надо максимизировать ф-цию надо перемещать линию уровня в направление вектора градиента, а если минимизировать , то в противоположную сторону. 4) определяем с помощью перемещения линии уровня угловую точку симпликса последнюю, которую покидает линия уровня.

31. Многомерные задачи злп. Понятие о симплекс- методе.

Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Т.к. число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима. Этот метод универсален, для задач линейного программирования в канонической форме. Симплекс-метод представляет собой процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из найденного заранее опорного решения по алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом.

идея симплекс-метода:

применение симплексного метода распадается на два этапа: нахождение допустимого базисного решения системы ограничений или установление факта ее несовместности; нахождение оптимального решения. Число базисных решений всегда ограниченно и число шагов симплексного метода тоже.

Вычисления по симплекс-методу организуются в виде симплекс-таблиц, которые являются сокращенной записью задачи линейного программирования в канонической форме. Перед составлением симплекс-таблицы задача должна быть преобразована, система ограничений приведена к допустимому базисному виду.