37. Решение игр в чистых стратегиях и седловые точки матрицы игры.

игра антагонистическая и всегда V_* ≤ V^*. Если V_* = V^* = V, то просто говорят о цене игры, такая игра называется вполне определённой, игрой с седловой точкой, поскольку значение элемента платёжной матрицы, равное V = V_* = V^* является минимальным в своей строке и максимальным в своём столбце. Соответствующие этой цене игры стратегии называются оптимальными, поскольку второй игрок не может понизить нижнюю цену игры, а первый игрок не может повысить верхнюю цены игры.

что антагонистические игры делятся на два класса:

1. вполне определённые игры, в которых существует седловая точка, ситуация равновесия и решение игры в чистых стратегиях;

2. не вполне определенные игры, в которых не существует седловой точки, ситуации равновесия и решения игры в чистых стратегиях. Для не вполне определённых игр принцип решения в той форме, для которой он изложен для вполне определённых игр, неприменим.

Смешанные стратегии. В общем случае V_* ≠ V^* – седловой точки не существует. Оптимальное решение в чистых стратегиях также не существует. расширив понятие чистой стратегии введением понятия смешанной стратегии, то удаётся реализовать алгоритм нахождения оптимального решения не вполне определённой игровой задачи, аналогичный рассмотренному выше. Совокупность (комбинация) чистых стратегий A₁, A₂, …A_m и B_1, B_2, …B_n в сочетании с векторами вероятностей выбора каждой из них называются смешанными стратегиями.

Общий алгоритм нахождения решения конечной антагонистической игры произвольной размерности m×n.

1. На основании анализа платёжной матрицы следует определить, существуют ли в ней доминируемые стратегии, и исключить их.

2. Найти верхнюю и нижнюю цены игры и определить, имеет ли данная игра седловую точку (нижняя цена игры должна быть равна верхней цене игры).

3. Если седловая точка существует, то оптимальными стратегиями игроков, являющимися решением игры, будут их чистые стратегии, соответствующие седловой точке. Цена игры равна верхней и нижней цены игры, которые равны между собой.

Если игра не имеет седловой точки, то решение игры следует искать в смешанных стратегиях. Для определения оптимальных смешанных стратегий в играх m × n следует использовать симплекс-метод, предварительно переформулировав игровую задачу в задачу линейного программирования.

38. Аналитическое решение игры (2 × 2), графическое решение игр вида (2 X n) и (n X 2).

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии, т.е. матричным антагонистическим игры размерностью 2 n или m 2 . Решение игры (2 n). Платёжная матрица в этом случае имеет всего две строки. Приписав 1-й строке вероятность p, а 2-й строке – вероятность 1 – p, получим n линейных зависимостей v(p) – значений средних выигрышей первого игрока в зависимости от применения вторым игроком 1-ой, 2-ой, …n-ой из его стратегий. Изобразим их графики в осях Ор, Оv. Возьмем нижнюю огибающую, то есть такую ломаную из отрезков построенных прямых, что вся картинка с построенными прямыми лежит выше этой ломаной. Выбор нижней огибающей связано с тем, что при оптимальной смешанной стратегии цена игры должна быть минимально гарантированной. Координаты точки на ломанной кривой с наибольшим значением v дает нам значение p (1-я координата) и оптимально гарантированную цену игры V (2-я координата). Решение игры m×2 Платёжная матрица имеет всего два столбца. Приписав 1-му столбцу вероятность q, а 2-му столбцу – 1-q, аналогично §1.6 получим m линейных зависимостей. Изобразим их графики, это будут прямые линии. Возьмем верхнюю огибающую, т.е. такую ломаную из отрезков построенных прямых, что вся картинка с графиками лежит ниже этой ломаной. Выбор верхней огибающей связано с тем, что при оптимальной стратегии для второго игрока должен быть гарантирован оптимальный минимальный проигрыш. Координаты точки с наименьшей значением v на огибающей дают нам значение q (1-я координата) и цену игры V (2-я координата). Решение игры 2×2Покажем на примере платёжной матрицы размерностью 2×2 реализацию алгоритма построения оптимального решения игровой задачи в смешанных стратегиях.