34. Минимаксная стратегия игры. Верхняя и нижняя цена игры. Определение оптимальных стратегий.

Нижней ценой игры V_* называется величина, являющаяся максимальным значением платёжной матрицы: V_* = max (min a_ij). Нижняя цена игры – это гарантированный выигрыш первого игрока А при любой стратегии игрока В.

Верхней ценой игры V^* называется величина, являющаяся минимаксным значением платёжной матрицы: V^* = min (max a_ij). Верхняя цена игры – это гарантированный проигрыш второго игрока B при любой стратегии игрока A.

В силу того, что игра антагонистическая, всегда V_* ≤ V^*. Если V_* = V^* = V, то такая игра называется игрой с седловой точкой, поскольку значение элемента платёжной матрицы, равное V = V_* = V^* является минимальным в своей строке и максимальным в своём столбце. Соответствующие этой цене игры стратегии называются оптимальными, поскольку второй игрок не может понизить нижнюю цену игры, а первый игрок не может повысить верхнюю цены игры.

35. Теорема фон-Неймана о существовании оптимального решения конечной матричной игры.

Смешанные стратегии

В общем случае V_* ≠ V^* – седловой точки не существует. Оптимальное решение в чистых стратегиях не существует. расширим понятие чистой стратегии введением понятия смешанной стратегии, то можно реализовать алгоритм нахождения оптимального решения. Затем используем статистический. Для каждого игрока, вводится неизвестный вектор вероятностей, с которыми следует применять подходящую стратегию. Обозначим вектор вероятностей стратегий игрока A: P = (p₁, p₂,…, p_m), где p_i ≥ 0, p₁ + p₂ +…+ p_m = 1, а для игрока B вводится неизвестный вектор вероятностей вида:Q = (q₁, q₂,…, q_n), где q_j ≥ 0, q₁ + q₂ +…+ q_n = 1. Совокупность (комбинация) чистых стратегий A₁, A₂, …A_m и B_1, B_2, …B_n в сочетании с векторами вероятностей выбора каждой из них называются смешанными стратегиями. Основной теоремой в теории конечных антагонистических игр является Теорема фон Неймана: каждая конечная матричная игра имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий. => не вполне определённая игра имеет хотя бы одно оптимальное решение в смешанных стратегиях. В таких играх решением будет пара оптимальных смешанных стратегий P^* и Q^*, каждый из игроков придерживается своей оптимальной стратегии.

36. Теорема фон-Неймана об активных стратегиях. Методы упрощения платежной матрицы.

Теорема фон неймона об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равной цене игры, независимо от того что делает другой игрок если он не выходит за пределы своих активных стратегий т.е. пользуется любой из них в чистом виде или смешивает их в любых пропорциях. Стратегия наз. активной, если вероятность ее выбора не равняется 0. Рассмотрим несколько методов упрощения платёжных матриц

Первый, используемый для уменьшения размерности матрицы, основан на одном из важнейших понятий в теории игр – понятии доминирования стратегий.

Если i-я строка поэлементно не меньше j-й строки, то i–я строка доминирует над j–й строкой. игрок A не использует j–ю стратегию, т.к выигрыш при i–й такой же. Аналогично, если i–й столбец поэлементно не меньше j-го столбца, то j–й столбец доминирует над i–м столбцом. Поэтому игрок B не использует i–ю стратегию, так как его проигрыш такой же как при j-й. Но размер матрицы игры понизится. Частный случай доминирования является дублирование стратегий. Если платёжная матрица содержит несколько одинаковых строк (столбцов), то из них оставляем одну строку (один столбец то из них оставляем только одну строку ()овых строк ()ешение к уменьшению среднего выигрыша игрока 000000000000000000000000000), а остальные отбрасываем. Отброшенным стратегиям припишем нулевые вероятности.