
- •Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов 1 курса экономического факультета анх
- •Вопрос 1: множества и операции над ними
- •Вопрос 2 : декартово произведение множеств, бинарные отношения
- •Вопрос 3: отображения и их свойства
- •Вопрос 4: множество действительных чисел. Аксиома отделимости
- •§1. Натуральные числа
- •§ 1΄. Аксиомы Пеано
- •§ 2. Целые числа
- •§ 3. Рациональные числа
- •§4. Действительные числа
- •Вопрос 5:верхняя и нижняя грани
- •2. Стягивающиеся отрезки
- •Вопрос 6. Предельные точки
- •Вопрос 7. Приближённые вычисления
- •Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела
- •Вопрос 9. Предельный переход в неравенствах. Вычисление
- •Вопрос 10: предел монотонной ограниченной функции
- •Вопрос 11: число e
- •Вопрос 12: критерий коши существования предела последовательности, предела функции
- •Вопрос 13: непрерывность. Точки разрыва.Свойства непрерывных функций
- •1. Непрерывна в точке ;
- •2. Существует такая , что.
- •Вопрос 14: непрерывность элементарных функций
- •Вопрос 15: символы ,. Вычисление ,,
- •Вопрос 16: промежуточные значения непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 17: ограниченность непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 18: равномерная непрерывность
- •Вопрос 19: производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства
- •1. Дифференцируемость функции
- •2.Производная
- •3. Касательная к графику функции
- •4. Правила дифференцирования
- •4. Производная обратной функции
- •6. Производная сложной функции
- •7. Производная функции, заданной параметрически
- •Вопрос 20: дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.Понятие дифференциала числовой функции
- •4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
- •Вопрос 21:производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Последовательные производные
- •2. Примеры
- •3. Линейное свойство производных высших порядков
- •Вопрос 22.
- •Вопрос 23: теоремы ферма, ролля. Необходимые условия экстремума
- •Вопрос 24:теоремы лагранжа, коши.Критерий постоянства функции
- •Вопрос 25: формула тейлора с остаточным членом в форме лагранжа
- •Вопрос 26. Формула тейлора с остаточным членом в форме пеано
- •Вопрос 28: правила лопиталя
- •1. Неопределённость типа
- •Вопрос 29: монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции
- •Вопрос 30. Функции спроса торнквиста. Функция полезности. Выпуклость графикафункции.
- •2.Производственные функции.
- •5. Выпуклость графика функции.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно
- •1.Выпуклость непрерывной функции
- •2. Выпуклость дифференцируемой функции
- •3. Выпуклость дважды дифференцируемой функции
- •4.Точки перегиба
- •31. Пространство , множества в нем.
- •Вопрос32.Функции и отображения. Предел, непрерывность.
- •Функции Кобба-Дугласа.
- •Вопрос 33. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные
- •Вопрос 34.
- •Вопрос 35.
- •Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Вопрос 36. Касательная плоскость
- •Вопрос 37. Производная по направлению, градиент.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно Матрица Якоби и ее свойства.
- •Вопрос 39. Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Второй дифференциал функции.
- •Вопрос 41. Формулы Тейлора.
- •Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Метод наименьших квадратов.
Необязательный материал, но знание его весьма полезно Матрица Якоби и ее свойства.
Пусть
- функции, задающие некоторое отображение
из
в
.
Предположим, что эти функции имеют
частные производные по всем переменным
в некоторой точке
.
Тогда матрица
Называется
матрицей Якоби. В случае
,
т.
е.,
когда рассматривается функция
,
то матрица Якоби состоит из одного
элемента
.
Поэтому эту матрицу можно считать
обобщением понятия производной. Как
уже отмечалось, для дифференциала
отображения, соответствующего приращению
,
имеем
.
Предположим,
что
и что, в свою очередь,
Это приводит к сложному отображению
(или композиции отображений)
,
где
использованы краткие записи
,
,
,
,
.
Для
этого отображения, по теореме о производной
сложной функции,
,
поэтому
имеет
место равенство:
.
В
случае, когда
,
определитель матрицы Якоби
называется
якобианом
отображения.
По
доказанному, в случае композиции
отображений
,
,
выполняется
равенство
,
Если
отображение
имеет обратное отображение, т.е.
,
то
,
т.е.
,
если
.
Эта
формула обобщает правило для производной
обратной функции
,
если
.
Отметим
важное правило для вычисления якобиана
в случае
,
,
,
,
.
Доказательство этого правила состоит в применении правила дифференцирования сложной функции и последующих алгебраических преобразований. Ввиду громоздкости мы его опускаем.
Вопрос 39. Производные высших порядков
Если
функция
обладает в некоторой окрестности точки
частной
производной
,
а эта производная обозначается
.
Далее индуктивным образом можно
определить производные более высокого
порядка. Возникает вопрос: всегда ли
?
Ответ
на него такой: нет, не всегда! Можно
показать, что функция
имеет неравные производные
и
.
Однако имеет место следующая теорема.
Теорема
39.1.
Пусть
определена
в открытой области
и пусть в этой области существуют
.
Пусть
и
непрерывны в точке
.
Тогда в этой точке
Доказательство.
Пусть
числа
такие, что область
содержит
все точки из прямоугольника со сторонами
от
до
и от
до
.
Пусть
.
Положим
,
тогда
.
В
промежутке
,
по условию теоремы, функция
имеет производную
.
И,
значит,
непрерывна, причем по теореме Лагранжа
(вновь
по теореме Лагранжа)
,
где
,
.
С
другой стороны, аналогично, получаем
,
где
,
.
Следовательно,
устремляя
к
,
получаем, ввиду непрерывности
,
.
Таким образом,
теорема
доказана.
Замечание. По аналогии можно доказать следующую теорему.
Теорема
39.2.
Пусть
определена в открытой области
и имеет в этой области всевозможные
частные производные до -го порядка
включительно и смешанные производные
-го
порядка, причем все эти производные
непрерывны в
.
При этих условиях значение любой
-ой
смешанной производной не зависит от
того порядка, в котором производится
последовательное дифференцирование.
Например,
и т.п.
Дифференциалы высших порядков
Пусть
-
имеет непрерывные производные в области
.
Тогда
.(1)
При
этом, если
-
независимые
переменные, то
можно считать постоянными величинами,
не зависящими от
.
Поэтому
,
.
Пусть
имеет непрерывные частные производные
2-го порядка. Положим по определению
.(2)
Здесь
мы воспользовались тем, что
.Например,
при
,
при n=3
.
Вообще, легко заметить, что, используя формальную операторную запись,
(3)
Аналогично,
полагая
,
находим:
(4)
В
предположении,
что для
существуют
частные производные до k
- го порядка включительно.
Доказательство
этого утверждения можно провести
индукцией по
.
Мы не будем подробно останавливаться
на этом.
Отметим,
что если
(т.е. переменные
не независимые, а представляют собой
функции от других переменных), то , вообще
говоря,
они
не равны 0 и, хотя ввиду инвариантности
1-го дифференциала, формула (1) сохраняется,
уже в формулах (2) и (3) (не говоря о (4))
следует внести изменения.
Именно,
вместо (3) в этом случае верна формула
(5).
«Добавок»
по отношению к (3) получается, из-за того
(см. вывод (2)), что в нашем случае
.
Однако,
если
(6), то
и
.
Поэтому
в случае линейной замены переменных
(6) формулы (3) и (4) сохраняются.