Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Допустим, что дифференцируемая в точкефункция,и, причем– дифференцируемые в точкефункции. Положим. Тогда, гдепри.

В определении дифференцируемости можно доопределить функции в точке, положив. Тогда при(а может быть, ипринимает значения ). Но тогда(так каку нас доопределены в точкенулем) и, таким образом,(6)

Рассмотрим теперь случай, когда . Применяя полученное выше правило, получим, в очевидных обозначениях(7)

Равенства (6) и (7) дают правила вычисления производных сложных функций.

Следствие. Следствием этих правил является инвариантность форм первого дифференциала. Именно, пусть . Тогда.

Это означает, что как в случае независимых переменных , так и в случае зависимых переменных.

Вопрос 36. Касательная плоскость

Пусть дифференцируема в точке. Докажем, что существует касательная плоскость к этой поверхности в точкеи что она задается уравнением(20.1).

По аналогии с одномерным случаем (прямая называется касательной к кривой в точке , если расстояние от точкидо этой прямой представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чемпри. При этом касательная имеет уравнение) будем называть плоскостькасательной к поверхности в точке , если расстояние от точкидо этой плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чемпри.

Рассмотрим некоторую плоскость, проходящую через точку :(20.2)

Из курса аналитической геометрии известно, что расстояние от точки поверхности до плоскости (20.2) равно(20.3)

(вспомнить про нормальное уравнение плоскости).

Если дифференцируема в точке, то положим в (20.2)(20.4)

и заметим, что (20.5)

где при. Тогда из (3), (4), (5) следует, что расстояние от рассматриваемой точки до плоскости есть, что представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем.

Обратно, если есть касательная плоскость (2), т.е. , гдеприто, раскрывая модуль, получаем, что, гдепри, т.е.- дифференцируемая в точкефункция и.

Вопрос 37. Производная по направлению, градиент.

Пусть мы снова рассматриваем график функции и сечения этой поверхности плоскостями, проходящими через точку плоскости OXY и параллельными оси Z. В сечениях получаются кривые, проходящие через точку . Проекция такой кривой на плоскость OXY есть прямая линия, проходящая через точку . Будем обозначать направляющий вектор этой прямой через , а точки прямой – буквами М. Введём понятие величины отрезка :

длине отрезка со знаком “+”, если и имеют одинаковые направления;

длине отрезка со знаком “-”, если и имеют разные направления;

Предположим теперь, что мы рассматриваем некоторую плоскость, на ней фиксируем точку и направление . Пусть для этой точки плоскости определена величина - функция от точки М.

Важно отметить, что пока мы не вводим никакой системы координат (точки на плоскости, направления и функции от точек можно определить без системы координат). Например, температуру воздуха в данной точке обычно измеряют термометром, при этом, не особенно задумываясь о системе координат в пространстве. Направление тоже часто указывают без всяких координат (например, пальцем, что не служит признаком хорошего воспитания) и т.д.

Рассмотрим теперь точки М, лежащие на прямой, проходящей через в указанном направлении и соответствующую величину ; если существует предел этой величины при стремлении М к М₀ вдоль прямой, то он называется производной z(M) в точке M₀ по направлению и обозначается . Как мы видим, в определении производной по направлению координаты не участвовали. Однако для получения простой формулы для вычисления этой производной удобно ввести систему координат. Итак, пусть имеет координаты , М – координаты , имеет координаты . Тогда вводя параметризацию , , для прямой, соединяющей М₀ с М, М₀М=t , получаем: (т. к. мы предположили, что z – дифференцируема в )

При и . Поэтому (1)

Аналогично, в случае 3-х переменных (2)

Скалярное произведение в правых частях (1) или (2) можно представить, как (поскольку ), где - угол между и заданным направлением .

Мы видим, что выражение (3) имеет наибольшую величину, когда . Это позволяет определить градиент, как вектор, модуль которого равен наибольшей из величин производных по направлению в этой точке. А направление его как раз такое, в котором производная достигает наибольшей величины. Это определение градиента, в котором не участвуют координаты, позволяет рассматривать его как характеристику функции, не зависящую от наблюдателя.

Установим ряд важных свойств градиента: пусть и имеют все частные производные 1-го порядка. Тогда

1. ;

2. ;

3. ;

4. Если , то ;

5. Если - функция одной переменной, имеющая производную, то .

Доказательства всех этих свойств аналогичны. Разберем, например, свойство (3). Пусть, для определенности, . Тогда, по правилам дифференцирования,

и . Пусть . Найдём .

Для часто встречающихся в физике радиальных функций согласно свойству (5) получаем: .