2.4. Булевы функции
Для описания функционирования логических схем используются булевы функции.
Булевой функцией nпеременныхx1,x2, …,xnназывается функцияf=f(x1,x2, …,xn), гдеxi= 0 или 1;f= 0 или 1, и переменные объединены конечным числом булевых операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.
Область определения булевой функции n переменных– совокупность всевозможныхn- мерных наборов, компонентами которых являются двоичные значения 0 и 1. Каждая компонента набора соответствует одной из переменных набораx1,x2, …,xn. Функцияnпеременных определяется наN= 2nнаборах.
Старшинство булевых операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Для изменения порядка выполнения действий используются скобки.
Булева функция может задаваться таблицей истинности. В таблице перечисляются всевозможные наборы, составляющие область определения функции, и для каждого набора указывается значение 0, 1 или d, которое имеет функция на этом наборе. Знакdотмечает неопределенное значение функции. На месте неопределенного значенияdпри необходимости можно указывать значение 0 или 1.
Несущественный набор– набор, на котором функция принимает неопределенное значение. Несущественные наборы появляются в том случае, если значение функции на наборебезразличноили если реально существующая область определения функции состоит из числа наборов,меньшего2n.
Полностью определенная функция– булева функция определенная на всем множестве наборов.
Частично определенная функция– булева функция, содержащая несущественные наборы.
В табл. 2.1 представлены основные логические функции, математическое описание и реализация этих функций с помощью релейно-контактных и логических элементов.
Таблица 2.1. Основные логические функции
|
Логическая функция |
Математическое описание |
Контактная схема |
Изображение элемента |
|
НЕ (инвертор) |
|
|
|
|
И (конъюнктор) |
Y=X1X2 |
|
|
|
И – НЕ (штрих Шеффера) |
|
|
|
|
ИЛИ (дизъюнктор) |
Y=X1+X2 |
|
|
|
ИЛИ – НЕ (стрелка Пирса) |
|
|
|
Описание логических функций в виде таблиц истинности приведено в табл. 2.2
Таблица 2.2. Таблицы истинности
|
НЕ |
И; И – НЕ |
ИЛИ; ИЛИ – НЕ | |||||||||
|
X |
Y |
X2 |
X1 |
Y |
|
X2 |
X1 |
Y |
| ||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 | ||
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 | ||
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 | ||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 | ||
