1.2.3. Частотные характеристики

Косвенные методы анализа линейных непрерывных систем основаны на применении критерия устойчивости Найквиста, позволяющего по характеристикам системы в разомкнутомсостоянии судить о свойствахзамкнутойсистемы. Наиболее часто используемые в дальнейшем частотные характеристики являются характеристиками комплексного коэффициента передачи системы в разомкнутом состоянии:

(1.10)

где – амплитудная и фазовая частотные характеристики.

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ)

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) – это годограф комплексного коэффициента передачи, изображенныйв масштабе на комплексной плоскости. Значения частот при этом изменяются в диапазоне от нуля до(₎. В тех случаях, когда передаточная функция системы в разомкнутом состояниисодержит интегрирующие звенья, АФХ дополняется дугой бесконечно большого радиуса, поворачивающей низкочастотную часть характеристики против часовой стрелки на угол, равный девяносто градусам, помноженный на число интегрирующих звеньев.

Логарифмические частотные характеристики (ЛАХ)

Логарифмические частотные характеристики (ЛАХ) – это совокупность логарифмических амплитудно-частотнойи фазочастотнойхарактеристик, графики которых изображаютсяобязательно один под другим с применением логарифмического масштаба по оси ω (рис. 1.5.)

Эти характеристики позволяют определить значения амплитуды и фазы и в полярной системе координати построитьприближенный графикамплитудно-фазовой характеристики (АФХ).

Анализ системы стараются проводить на основе изучения логарифмических частотных характеристик ЛАХ. Но во всех случаях, вызывающих какие-либо сомнения необходимо использовать (хотя бы качественную) амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) в разомкнутом состоянии.

1.2.4.Построение лах типовых звеньев

Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии представляется произведением передаточных функцийустойчивых типовых звеньев: усилительных, интегрирующих, инерционных, форсирующих.

1. Идеальное усилительное звено.

W(s) =k,k=const.

График L =L() логарифмической амплитудно-частотной характеристики усилительного звена представляет собой прямую, параллельную оси ω. Логарифмическая фазочастотная характеристика во всей области частот равна нулю.

2. Идеальное интегрирующее звено.

, (1.11)

где k– коэффициент усиления;T– постоянная времени звена.

,,. (1.12)

График L =L() логарифмической амплитудно-частотной характеристики интегрирующего звена (учитывая логарифмический масштаб по оси) представляет собой прямую с наклоном - 20 дБ/дек во всей области частот (0  <), пересекающую ось  на частоте  = k.

Рис.1.6. ЛАХ интегрирующего звена

Наклон - 20 дБ/дек означает, что при увеличении частоты в 10 раз (на декаду) величина L() уменьшится на 20 дБ.

Логарифмическая фазочастотная характеристика во всей области частот равна - 90 (() = - 90). На рис. 1.6 точно один под другим изображены графики ЛАХ интегрирующего звена.

3. Инерционное звено имеет передаточную функцию

, (1.13)

где k– коэффициент усиления;T– постоянная времени звена.

Значения этих параметров kиTдля инерционного звена не зависят друг от друга. Для идеального инерционного звена коэффициент усиленияk = 1.

Комплексный коэффициент передачизвена и его характеристики:

,,, (1.14)

. (1.15)

Второе слагаемое в выражении (1.13) (т.е. приk= 1) имеет хорошее приближение в виде линейно-ломанной кривой, к которой истинная кривая асимптотически приближается на малых и больших частотах.

Таким образом, асимптотические логарифмические характеристики идеального инерционного звена имеют вид (учитываяединичный коэффициент усиленияи постоянную времениT)

L() = 20 lg(A()) =, (1.16)

() = – arctg T.

() = -arctg T. Таблица 1.2
	0								
ϕ()	0	- 6	-11	- 26	- 45	- 90+26	- 90+11	- 90+6	- 90

График асимптотической амплитудно-частотной характеристики L() идеального инерционного звена представляет собой кривую,содержащую два участка. На первом участке онасовпадает с осью  в диапазоне изменения частот от нуля до частоты сопряжения_con =, на втором – наклонная прямая с наклоном - 20 дБ/дек, для частот, больших частоты сопряжения (рис.1.7).

График фазочастотной характеристики инерционного звена строится в соответствии с табл. 1.2.

Рис. 1.7. ЛАХ идеального инерционного звена

4. Форсирующее звено.

Передаточная функция форсирующего звена имеет вид:

, (1.17)

где k– коэффициент усиления,T– постоянная времени звена.

Значения этих параметров для форсирующего звена не зависят друг от друга. Для идеального форсирующего звена коэффициент усиленияk= 1.

Характеристики комплексного коэффициента передачи звена

,.

. (1.18)

Второе слагаемое выражения (1.18) или L(ω) приk= 1 аппроксимируется линейно-ломаной кривой

L() = 20lgωT = ,(1.19)

() = +arctgT.

Таким образом, график L = L() идеального форсирующего звена совпадает с осью  на частотах, меньших частоты сопряжения  < ,а на частотах больших этой частоты является прямой с наклоном + 20 дБ/дек(увеличение значенияL() на 20дБ при увеличении частоты в 10 раз, рис. 1.8).

Рис. 1.8. ЛАХ идеального форсирующего звена

График фазочастотной характеристики форсирующего звена соответствует табл. 1.3.

() = +arctgT. Таблица 1.3

	0								
ϕ()	0	6	11	26	45	90-26	90-11	90-6	90