1.2. Показатели качества, характеризующие динамику переходного процесса

1.2.1. Показатели качества, определяемые по виду корней характеристического уравнения

Системы первого порядка (n = 1)

Если единичной обратной связью охватить идеальное интегрирующее звено, то передаточная функция системы в замкнутом состоянии описывается как инерционное звено и может рассматриваться в качестве модели системыпервого порядка. Такая система называетсяастатическойсистемой первого порядка астатизма, поскольку её передаточная функция в разомкнутом состоянииW(s) содержит одно интегрирующее звено.

(1.3)

Передаточная функция системы первого порядка формируется и в том случае, когда единичной обратной связью охватывается идеальное инерционное звено. В этом случае система называется статической (передаточная функция в разомкнутом состоянииW(s)не содержит интегрирующих звеньев).

(1.4)

В обоих случаях характеристическое уравнение системы имеет один отрицательный (и поэтому устойчивый) вещественный корень.

Системы второго порядка (n = 2)

Если обратной связью охватить реальное интегрирующее звено с передаточной функцией , то в зависимости от соотношения значений параметровk иT,передаточная функция системы в замкнутом состоянии представляетсяколебательнымилиапериодическимзвеном второго порядка. Действительно, в соответствии с выражением (1.1) имеем

(1.5)

Приравнивая нулю знаменатель этой передаточной функции, получаем характеристическое уравнение , решением которого являются два корня

. (1.6)

• В том случае, когда выполняется неравенство 4kТ < 1, корни характеристического уравненияs₁,s₂–вещественные и отрицательные(см. рис 1.2),

и система представляется как апериодическое звено второго порядка

• Если 4kТ > 1, то корни уравнения (1.6) – комплексно-сопряженные

Тогда после некоторых преобразований передаточная функция (1.5) преобразуется к виду, соответствующему колебательному звену

,

.

На рис. 1.3 представлено расположение корней характеристического уравнения для колебательного звена на комплексной плоскости.

Анализ полученных результатов позволяет сформулировать следующие выводы:

1. Характер и показатели качества переходного процесса исключительно зависят от типа корнейхарактеристического уравнения системы.

2. Система устойчива, если все ее вещественные корни отрицательны, а все комплексно-сопряженные корни имеютотрицательные вещественные части. Таким образом, устойчивые корни находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости. Мнимая ось являетсяграницей устойчивости.

3. Быстродействиесистемы оценивается по времени переходного процессаt_пточно или приближенно равногоt_п=, где– расстояние до мнимой оси ближайшего к ней корня характеристического уравнения.

4. Колебательный характер переходного процесса вызывается наличиемкомплексно-сопряженных корней. Колебательность тем выше, чем больше мнимая часть комплексных корней по отношению к их вещественной части.

5. Колебательность рассматривается какмера запаса устойчивостисистемы (чем выше колебательность, тем меньше запас устойчивости).

1.2.2. Временные характеристики систем

Временные характеристикиполностью определяют динамические свойства систем. Применяются две взаимосвязанные характеристики:импульсная-переходная и переходная.В данной работе в чисто учебных целях они обе будут использованы.

Импульсной-переходнойg(t) (весовой) характеристикой звена называется его реакция на идеальное импульсное воздействиеx=δ(t) при условии, что до приложения этого воздействия звено находилось в покое. δ(t) – модель идеально короткого импульса.

. (1.7)

Эта характеристика используетсячаще всегодля изучения свойств устойчивости систем.

Система называется устойчивой, если с течением времени функция g(t) имеет тенденцию к уменьшению. Система является асимптотически устойчивой, если равен нулю предел.

Переходной характеристикойh(t) называется реакция звена на единичный скачокх(t) = 1(t) при условии, что до приложения входного воздействия звено находилось в покое (см. рис. 1.4). 1(t) – функция, равная нулю для отрицательных и единице для положительных моментов времени.

. (1.8)

Переходная характеристика используется для анализа качества работы системы (см. рис.1.4).

Основными показателями, определяемыми по виду переходной характеристики, являются:

а) время переходного процесса t_п (или время регулирования). Это важнейший показатель, характеризующийбыстродействиесистемы. Для его определения на графике характеристики проводят две прямые, параллельные оси 0t,отстоящие от установившегося значенияh_уст на величину 0,05h_уст в ту и другую сторону (трубка 5 %).t_п– это момент времени, когда переходная характеристика входит в трубку 5 % и больше из нее не выходит.

б) перерегулирование

. (1.9)

Переходный процесс может быть апериодическим или колебательным. Для систем радиоавтоматики он чаще всего имеет колебательный характер. Для инерционных систем уровень колебательности ограничивают, для электронных систем радиоавтоматики колебательность допускается, но ее приходится ограничивать, так как она является косвенной характеристикой запаса устойчивостисистемы. Перерегулирование σ характеризует степень удаления системы от колебательной границы устойчивости (в случае нахождения системы на колебательной границе в системе наблюдаются незатухающие колебания и σ = 100 %). Запас устойчивости считается достаточным, если.

в) число колебаний r за время переходного процесса. Этот показатель колебательности исключительно легко определяется по виду переходной характеристики. Допустимое число колебаний обычно не превышает,для слабоколебательной системы – меньше одного колебания.

В табл.1.1 приведены приближенныесоотношения, определяющие зависимость между рассматриваемыми показателями качества систем не выше четвертого порядка.M – показатель колебательности, который будет введен позже.

Таблица 1.1

Вид системы	σ	M	r
Слабоколебательная	<15%	<1,2	<1
Среднеколебательная	1530%	1,21,7	12
Сильноколебательная	3050%	1,7 2,5	34

Аналитическими методами вычислять временные характеристики достаточно трудоемко (особенно для систем высокого порядка). Поэтому часто выводы, сделанные в ходе анализа систем первого и второго порядков, распространяются на системы более высоких порядков (третьего, четвертого).