Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

algebra10_нелін_дворівн

.pdf
Скачиваний:
41
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
5.24 Mб
Скачать

§ 4. Властивості тригонометричних функцій

Оскільки tgα =

sinα

і ctgα =

cos α

, то tg α > 0 і ctg α > 0 там, де sin α і cos α

sin α

cosα

 

 

 

мають однакові знаки, тобто в I і III чвертях, tg α < 0 і ctg α < 0 там, де sin α

і cos α мають різні знаки, тобто в II і IV чвертях (рис. 41). )

2.Парність і непарність тригонометричних функцій.

(Щоб дослідити тригонометричні функції на парність і непарність, зазна

чимо, що на одиничному колі точки Pα і P–α розміщено симетрично віднос но осі Ox (рис. 42). Отже, ці точки мають однакові абсциси і протилежні

ординати. Тоді cos(−α )= xP−α = xPα = cosα, sin(−α )= yP−α = −yPα = − sinα. Таким чином, cos x — парна функція, а sin x — непарна.

Тоді tg(−α ) =

sin(−α )

 

= − sinα = − tgα;

ctg(−α ) =

cos(−α )

=

cos α

= − ctgα.

cos (−α )

sin(−α )

− sin α

 

cos α

 

 

 

Отже, tg x і ctg x — непарні функції. )

Парність і непарність тригонометричних функцій можна використову вати для обчислення значень тригонометричних функцій від’ємних кутів

(чисел).

)= − sin

 

 

 

 

cos(

 

)= cos

 

 

 

 

Наприклад, X sin(

π

π

= −

1

,

π

π

=

2

. Y

 

 

 

 

2

6

6

2

 

4

4

 

 

3. Періодичність тригонометричних функцій. Багато процесів і явищ, що відбуваються в природі і техниці, мають повторюваний характер (наприклад, рух Землі навколо Сонця, рух маховика). Для опису такого роду процесів використовують так звані періодичні функції.

Функція y = f (x) називається періодичною з періодом T 0, якщо для

будь!якого x із області визначення функції числа (x + T) і (x – T) також належать області визначення і виконується рівність

f (x + T) = f (x T) = f (x).

(Враховуючи, що на одиничному колі числам (кутам) α і α + 2πk, де k Z,

відповідає та сама точка (рис. 43), одержуємо

sin (α + 2πk) = sin α, cos (α + 2πk) = cos α. Тоді 2πk (k ≠ 0) є періодом функцій sin x і cos x.

Рис. 42

Рис. 43

51

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

При k = 1 одержуємо, що T = 2π — це період функцій sin x і cos x. Доведемо, що ці функції не можуть мати меншого додатного періоду. Щоб довести, що T = 2π — найменший додатний період косинуса, припустимо, що T > 0 — період функції cos x. Тоді для будь якого значення x вико нується рівність cos (x + T) = cos x. Взявши x = 0, одержуємо cos T = 1. Але це означає, що на одиничному колі при повороті на кут T точка P0 знову потрапляє в точку P0, тобто T = 2πk, де k Z. Отже, будь який період коси нуса повинен бути кратним 2π, а значить,

2π — найменший додатний період косинуса. )

(Щоб обґрунтувати, що T = 2π — найменший додатний період функції sin x,

досить у рівності sin (x + T) = sin x, яка виконується для будь яких зна чень x, взяти x = π2 . Одержуємо sin(T + 2π )= 1. Але це означає, що при пово

роті на кут T + π точка P потрапляє в точку A (0; 1) (рис. 43), тобто

2 0

T + π = π + 2πk, отже, T = 2πk. Таким чином, будь який період синуса пови

22

нен бути кратним 2π, а значить,

2π — найменший додатний період синуса. )

(Якщо врахувати, що на одиничному колі точки Pα і Pα + π є діаметрально протилежними, то цим точкам відповідає та сама точка на лінії тангенсів

(рис. 44) або на лінії котангенсів (рис. 45). Тоді tg (α + π) = tg α, ctg (α + π) = ctg α, а також tg (α + πk) = tg α, ctg (α + πk) = ctg α.

Тобто періодом функцій tg x і ctg x є πk (k ≠ 0, k Z).

Найменшим додатним періодом для функцій tg x і ctg x є T = π.

Щоб довести це, досить у рівності tg (x + T) = tg x взяти x = 0. Тоді одержує мо tg T = 0. Отже, T = πk, де k Z. Таким чином, будь який період тангенса повинен бути кратним π, а значить, π — найменший додатний період тан генса. Аналогічно у відповідній рівності для ctg x досить взяти x = π. )

2

(Щоб мати уявлення про поведінку графіка періодичної функції y = f (x), згадаємо, що за означенням графік функції y = f (x) складається з усіх то

Рис. 44

Рис. 45

52

§ 4. Властивості тригонометричних функцій

Рис. 46

чок M координатної площини, які мають координати (x; y) = (x; f (x)). Перша координата для точок графіка вибирається довільно з області ви значення функції. Виберемо як першу координату значення x + T (або в узагальненому вигляді — значення x + kT при цілому значенні k) і вра хуємо, що для періодичної функції f (x + T) = f (x T) = f (x) (у загальному випадку f (x + kT) = f (x)). Тоді до графіка функції y = f (x) буде входити також точка M1 координатної площини з координатами:

(x + T; y) = (x + T; f (x + T)) = (x + T; f (x)).

Точку M1 (x + T; f (x)) можна одержати з точки M (x; f (x)) паралельним перенесенням уздовж осі Ox на T одиниць (рис. 46). У загальному випадку точку M2 (x + kT; f (x)) можна одержати з точки M (x; f (x)) паралельним перенесенням уздовж осі Ox на kT одиниць. Отже, через проміжок T ви гляд графіка періодичної функції буде повторюватися. Тому для побудови

графіка періодичної функції з періодом T досить побудувати графік на будь!якому проміжку довжиною T (наприклад, на проміжку [0; T]), а потім одержану лінію паралельно перенести праворуч і ліворуч уздовж осі Ox на відстані kT, де k — будь!яке натуральне число. )

Приклади розв’язання завдань

Приклад 1 Користуючись періодичністю, парністю і непарністю тригоно метричних функцій, знайдіть:

1) sin

21π

;

2) cos (–405°); 3) tg

16π

; 4) ctg (–570°).

 

 

2

 

3

 

Ро з в ’ я з а н н я

1)X sin 212π = sin(10π + 2π )=

=sin(5 2π + 2π )= sin 2π = 1. Y

2)X cos(−405°)= cos405° =

= cos(360° + 45°)= cos45° = 2 . Y

2

Ко м е н т а р

1)Враховуючи, що значення функції sin x повторюються через період 2π,

виділимо в заданому аргументі число, кратне періоду (тобто 10π),

апотім скористаємося рівністю sin (α + 2πk) = sin α (k Z).

2)Спочатку враховуємо парність ко синуса: cos (–α) = cos α, а потім

його періодичність із періодом 2π = 360°: cos (α + 360°) = cos α.

53

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

 

16π

 

π

π

= 3.

Y

 

3) X tg 3 = tg(5π +

 

3 )= tg

3

3) Функція тангенс періодична з пе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ріодом π, тому виділяємо в задано

 

 

 

 

 

 

 

 

 

му аргументі число, кратне періо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ду (тобто 5π), а потім використо

4) X ctg (–570°) = –ctg 570° =

 

вуємо рівність tg (α + πk) = tg α.

 

4) Спочатку враховуємо непарність

= –ctg (540° +30°) =

 

 

 

котангенса: ctg (–α) = –ctg α,

= – ctg (180°æ3 + 30°) =

 

 

 

а потім його періодичність із пе

= − ctg 30° = −

3. Y

 

 

 

ріодом π =180°:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg (α + 180°æk) = ctg α.

Приклад 2* Доведіть твердження: якщо функція y = f (x) періодична з пе!

ріодом T, то функція y = Af (kx + b) також періодична з періо! дом Tk (A, k, b — деякі числа і k ≠ 0).

Д о в е д е н н я

X Нехай ϕ (x) = Af (kx + b) і T =

T

.

 

 

1

k

 

 

 

 

Тоді ϕ (x + T1) = Af (k(x + T1) + b) =

= Af k x +

 

T

 

+ b

= Af (kx ± T + b)=

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

=Af (kx + b ± T)= Af(kx + b)= ϕ(x),

аце й означає, що функція

ϕ (x) = Af (kx + b) має період

T1 = Tk . Y

К о м е н т а р

За означенням функція ϕ (x) = = Af (kx + b) буде періодичною з пері

одом T1 = Tk , якщо для будь якого x

з області визначення ϕ значення цієї функції в точках x і x + T1 рівні, тобто ϕ (x + T1) = ϕ (x). У процесі обґрунту

вання враховано, що вираз k

T

при

k

 

 

k > 0 дорівнює k T = T, а при k < 0

k

дорівнює k T = −T. Також врахова

k

но, що функція f (x) за умовою періо дична з періодом T, і тому f (x1 ä T) = = f (x1), де x1 = kx + b.

Використаємо результат, одержаний у прикладі 2, для знаходження пе ріодів функцій.

Наприклад,

1) X якщо функція sin x має період T = 2π, то функція sin 4x має період

T1 = 2π = π ; Y

4 2

2) X якщо функція tg x має період T = π, то функція tg x має період

 

 

π

4

T1

=

= 4π. Y

 

 

1

 

 

4

 

54

§ 4. Властивості тригонометричних функцій

Запитання для контролю

1. а) Назвіть знаки тригонометричних функцій у кожній з координатних чвертей.

б*) Обґрунтуйте знаки тригонометричних функцій у кожній з координат них чвертей.

2. а) Які з тригонометричних функцій є парними, а які непарними? Наведіть приклади використання парності і непарності для обчислення значень тригонометричних функцій.

б*) Обґрунтуйте парність чи непарність відповідних тригонометричних функцій.

3.а) Яка функція називається періодичною? Наведіть приклади.

б*) Обґрунтуйте періодичність тригонометричних функцій. Укажіть най

менший додатний період для синуса, косинуса, тангенса і котангенса та обґрунтуйте, що в кожному випадку цей період дійсно є найменшим додатним періодом.

Вправи

1.Користуючись періодичністю, парністю і непарністю тригонометричної функції, знайдіть:

2)sin (–750°); (19π); 4) ctg 945°;1) cos 19π; 3) tg

3

 

 

(

6

)

 

4

 

 

4

 

5) sin

25π

;

6) cos (–3630°); 7) ctg

 

17π

;

8) tg 600°.

 

 

 

2*. Серед заданих функцій знайдіть періодичні і вкажіть найменший додат ний період для кожної з них:

1) f (x) = x2; 2) f (x) = sin 2x; 3) f (x) = | x |; 4) f (x) = tg 3x; 5) f (x) = 3. 3. Знайдіть період кожної з заданих функцій:

1) y = cos 2x; 2) y = tg 5x; 3)

y =sin

x

;

4) y = ctg 3x; 5)

y =cos

2x

.

 

 

 

3

 

 

5

 

4.На кожному з рисунків 47–50 наведена частина графіка деякої періодич ної функції з періодом T. Продовжіть графік на відрізок [–2T; 3T].

Рис. 47

Рис. 48

Рис. 49

Рис. 50

55

§5

ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА

І КОТАНГЕНСА ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

5.1. ГРАФІК ФУНКЦІЇ y = sin x ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

Т а б л и ц я 10

Графік функції y = sin x (синусоїда)

Властивості функції y = sin x

1.Область визначення: x R (x — будь яке дійсне число). D (sin x) = R

2.Область значень: y [–1; 1]. E (sin x) = [–1; 1]

3.Функція непарна: sin (–x) = –sin x

(графік симетричний відносно початку координат).

4.

Функція періодична з періодом

T = 2π

:

 

sin (x + 2π) = sin x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 0,

 

 

 

 

 

 

y = 0,

 

5.

Точки перетину з осями координат:

Oy

y = 0

 

 

Ox

 

x = πk, k Z

 

6.

Проміжки знакосталості:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x > 0 при x (2πk; π + 2πk), k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x < 0 при x (π + 2πk; 2π + 2πk), k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Проміжки зростання і спадання:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

π

 

 

функція sin x зростає на кожному з проміжків

 

 

+ 2πk;

 

+ 2πk , k Z,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

3π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і спадає на кожному з проміжків

 

+ 2πk;

 

+ 2πk , k Z.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Найбільше значення функції дорівнює 1 при x =

π

+

2πk, k Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Найменше значення функції дорівнює –1 при x = −

π + 2πk, k Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

56

§ 5. Графіки функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса та їх властивості

Пояснення й обґрунтування

Характеризуючи властивості функцій, ми будемо найчастіше виділяти такі їх характеристики: 1) область визначення; 2) область значень; 3) парність чи непарність; 4) періодичність; 5) точки перетину з осями координат; 6) про міжки знакосталості; 7) проміжки зростання і спадання*; 8) найбільше та найменше значення функції.

З а у в а ж е н н я. Абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох (тоб то ті значення аргументу, при яких функція дорівнює нулю) називають нуля( ми функції.

Нагадаємо, що значення синуса — це ордината відповідної точки одинич ного кола (рис. 51). Оскільки ординату можна знайти для будь якої точки одиничного кола, то область визначення функції y = sin x — усі дійсні числа. Це можна записати так: D (sin x) = R.

Для точок одиничного кола ординати набувають усіх значень від –1 до 1, отже, область значень функції y = sin x: y [–1; 1]. Це можна записати так:

E (sin x) = [–1; 1].

Як бачимо, найбільше значення функції sin x дорівнює одиниці. Це значен ня досягається тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точ

ка A, тобто при x = π + 2πk, k Z.

2

Найменше значення функції sin x дорівнює мінус одиниці. Це значення досягається тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка B,

тобто при x = − π + 2πk, k Z.

2

Як було показано в § 4, синус — непарна функція: sin (–x) = –sin x, отже,

їїграфік симетричний відносно початку координат.

В§ 4 було обґрунтовано також, що синус — періодична функція з наймен шим додатним періодом T = 2π: sin (x + 2π) = sin x, отже, через проміжки довжиною 2π вигляд графіка функції sin x повторюється. Тому при побудові

графіка цієї функції досить побудувати графік на будь якому проміжку дов жиною 2π, а потім одержану лінію па

ралельно перенести праворуч і ліворуч уздовж осі Ox на відстані kT = 2πk,

де k — будь яке натуральне число. Щоб знайти точки перетину графі( ка функції з осями координат, згадає

мо, що на осі Oy значення x = 0. Тоді відповідне значення y = sin 0 = 0, тобто

графік функції y = sin x проходить че

рез початок координат.

Рис. 51

* Проміжки зростання і спадання функції інколи ще називають проміжками монотон ності функції.

57

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

На осі Ox значення y = 0. Отже, нам потрібні такі значення x, при яких sin x, тобто ордината відповідної точки одиничного кола, буде дорівнювати нулю. Це буде тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола буде точка C або D, тобто при x = πk, k Z.

Проміжки знакосталості. Як було обґрунтовано в § 4, значення функції синус додатні (тобто ордината відповідної точки одиничного кола додатна) у I і II чвертях (рис. 52). Отже, sin x > 0 при x (0; π), а також, враховуючи період, при всіх x (2πk; π + 2πk), k Z.

Значення функції синус від’ємні (тобто ордината відповідної точки одинич ного кола від’ємна) у III і IV чвертях, отже, sin x < 0 при x (π + 2πk; 2π + 2πk), k Z.

Проміжки зростання і спадання.

(Враховуючи періодичність функції sin x з періодом T = 2π, досить досліди ти її на зростання і спадання на будь якому проміжку довжиною 2π, напри

клад, на проміжку 2π; 32π .

Якщо x 2π; 2π (рис. 53, а), то при збільшенні аргументу x (x2 > x1) орди

ната відповідної точки одиничного кола збільшується (тобто sin x2 > sin x1), отже, у цьому проміжку функція sin x зростає. Враховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також зростає в кожному з проміжків

 

 

π

 

π

 

, k Z.

 

 

+2πk;

 

+2πk

2

2

 

 

 

 

 

Якщо x 2π; 32π (рис. 53, б), то при збільшенні аргументу x (x2 > x1) орди

ната відповідної точки одиничного кола зменшується (тобто sin x2 < sin x1), отже, у цьому проміжку функція sin x спадає. Враховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також спадає в кожному з проміжків

π + 2πk; + 2πk , k Z.)

2

2

 

Проведене дослідження дозволяє обґрунтовано побудувати графік функції y = sin x. Враховуючи періодичність цієї функції (з періодом 2π), досить спо

а

б

Рис. 52

Рис. 53

58

§ 5. Графіки функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса та їх властивості

Рис. 54

чатку побудувати графік на будь якому проміжку довжиною 2π, наприклад,

на проміжку [–π; π]. Для більш точної побудови точок графіка користуємося

тим, що значення синуса — це ордината відповідної точки одиничного кола.

На рисунку 54 показана побудова графіка функції y = sin x на проміжку [0; π].

Враховуючи непарність функції sin x (її графік симетричний відносно початку

координат), для побудови графіка на проміжку [–π; 0] відображуємо одержа

ну криву симетрично відносно початку координат (рис. 55).

Оскільки ми побудували графік на

 

проміжку довжиною 2π, то, враховую

 

чи періодичність синуса (з періодом 2π),

 

повторюємо вид графіка на кожному

 

проміжку довжиною 2π (тобто перено

 

симо паралельно графік уздовж осі Ох

 

на 2πk, де k — ціле число).

 

Одержуємо графік, наведений на ри

Рис. 55

сунку 56, який називається синусоїдою.

 

З а у в а ж е н н я. Тригонометричні функції широко застосовуються в ма тематиці, фізиці та техниці. Наприклад, багато процесів, таких як коливан ня струни, маятника, напруги в колі змінного струму і т. п., описуються функ цією, яка задається формулою y = A sin (ωх + ϕ). Такі процеси називають гар( монічними коливаннями.

Рис. 56

59

6. Проміжки знакосталості:

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

Графік функції y = A sin (ωx + ϕ) можна одержати із синусоїди y = sin х стискуванням або розтягуванням її вздовж координатних осей і паралельним перенесенням уздовж осі Ох. Найчастіше гармонічне коливання є функцією часу t. Тоді воно задається формулою y = A sin (ωt + ϕ), де А — амплітуда коли

вання, ω — кутова частота, ϕ — початкова фаза, 2ωπ — період коливання.

5.2. ГРАФІК ФУНКЦІЇ y = cos x ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

Т а б л и ц я 11

Графік функції y = cos x (косинусоїда)

Властивості функції y = cos x

1.

Область визначення: x R ( x — будь яке дійсне число).

D (cos x) = R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Область значень: y [–1; 1].

E (cos x) = [–1; 1]

 

 

 

 

 

 

 

3.

Функція парна: cos (–x) = cos x (графік симетричний відносно осі Oy).

 

 

 

 

 

cos (x + 2π) = cos x.

4.

Функція періодична з періодом

 

T = 2π

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

0,

 

 

 

 

 

x = 0,

 

 

 

 

 

 

 

5.

Точки перетину з осями координат: Оy

 

 

Оx

 

 

π

 

 

 

 

 

 

y = 1

 

 

 

x =

 

 

+ πk, k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x > 0 при x (2π + 2πk; 2π + 2πk), k Z cos x < 0 при x (2π + 2πk; 32π + 2πk), k Z

7.Проміжки зростання і спадання:

функція cos x зростає на кожному з проміжків [π + 2πk; 2π + 2πk], k Z, і спадає на кожному з проміжків [2πk; π + 2πk], k Z.

8.Найбільше значення функції дорівнює 1 при x = 2πk, k Z. Найменше значення функції дорівнює –1 при x = π + 2πk, k Z.

60

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]