algebra10_нелін_дворівн

§ 2. Радіанна міра кутів

Враховуючи, що радіанними мірами розглянутих кутів доводиться корис туватися досить часто, запишемо одержані результати у вигляді довідкової таблиці:

З а у в а ж е н н я. Найчастіше при запису радіанної міри кутів назву оди ниці виміру «радіан» (або скорочено рад) не пишуть. Наприклад, замість

Запитання для контролю

1.Поясніть, як можна означити кут за допомогою повороту променя. Як при такому означенні вимірюються кути?

2.Як ви розумієте такі твердження: «Величина кута дорівнює 450°», «Вели чина кута дорівнює (–225°)»? Зобразіть ці кути.

3.Як можна означити кут в 1°?

4.Дайте означення кута в 1 радіан.

5.Чому дорівнює градусна міра кута в π радіан ?

6.Поясніть на прикладах, як за радіанною мірою кута знайти його градусну міру і навпаки — за градусною мірою кута знайти його радіанну міру.

41

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

Вправи

1°. Зобразіть кут, що утворений поворотом променя OA навколо точки O на:

42

2. Тригонометричні функції числового аргументу

sin (числа α ) = sin (кута в α радіан ) cos (числа α ) = cos (кута в α радіан ) tg (числа α ) = tg (кута в α радіан ) ctg (числа α ) = ctg (кута в α радіан )

43

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

П р о д о в ж. т а б л. 7

3. Лінії тангенсів і котангенсів

Пояснення та обґрунтування

1. Означення тригонометричних функцій. З курсу геометрії вам відомо озна чення тригонометричних функцій гострого кута в прямокутному трикутни ку. Нагадаємо їх.

Синусом гострого кута α в прямокутному трикутнику називається відно

шення протилежного катета до гіпотенузи: sinα = a (рис. 33). c

Косинусом гострого кута α в прямокутному трикутнику називається відно

шення прилеглого катета до гіпотенузи: cosα = b .

c

Тангенсом гострого кута α в прямокутному трикутнику називається відно

шення протилежного катета до прилеглого: tg α = a . b

Котангенсом гострого кута α в прямокутному трикутнику називається

відношення прилеглого катета до протилежного: ctg α = b . a

У курсі геометрії було обґрунтовано, що синус і косинус гострого кута за лежать тільки від величини кута і не залежать від довжин сторін трикутника і його розташування, тобто синус і косинус (а отже, і тангенс, і котангенс) є функціями кута, які називаються тригонометричними функціями.

Також у курсі геометрії з використанням кола з центром у початку коорди нат було введено означення тригонометричних функцій для кутів від 0° до 180°. Але ці означення можна використати для знаходження тригонометрич них функцій довільних кутів. Нагадаємо їх (але тепер будемо розглядати довільні кути α від – до + ).

44

§ 3. Тригонометричні функції кута та числового аргументу

Візьмемо коло радіуса R з центром у початку координат. Позначимо точку кола на додатній півосі абсцис через P0 (рис. 34). Потрібні нам кути будемо утворювати поворотом радіуса OP0 навколо точки O. Нехай у результаті по вороту на кут α навколо точки O радіус OP0 займе положення OPα (кажуть, що при повороті на кут α радіус OP0 переходить у радіус OPα, а точка P0 пере ходить у точку Pα). Нагадаємо, що при α > 0 радіус OP0 повертається проти годинникової стрілки, а при α < 0 — за нею.

Нехай точка Pα має координати (x; y). Тоді:

синусом кута α називається відношення ординати точки Pα (x; y) кола до

його радіуса: sinα = Ry ;

косинусом кута α називається відношення абсциси точки Pα (x; y) кола до його радіуса: cosα = Rx ;

тангенсом кута α називається відношення ординати точки Pα (x; y) кола до її абсциси: tg α = xy (звичайно, при x ≠ 0);

котангенсом кута α називається відношення абсциси точки Pα (x; y) кола до її ординати: ctgα = xy (при y ≠ 0).

Як і для тригонометричних функцій гострих кутів, значення sin α, cos α, tg α, ctg α залежать тільки від міри кута α і не залежать від R *. Зручно вибрати R = 1, що дозволить дещо спростити наведені означення тригонометричних функцій.

Коло радіуса 1 з центром у початку координат будемо називати одиничним колом.

Нехай при повороті на кут α точка P0 (1; 0) переходить у точку Pα (x; y) (тобто при повороті на кут α радіус OP0 переходить у радіус OPα) (рис. 35).

* Це випливає з того, що два концентричні кола гомотетичні (центр гомотетії — точка О, а коефіцієнт k — відношення радіусів цих кіл), тоді і точки Pα на цих колах теж будуть гомотетичні. Отже, при переході від одного кола до іншого в означеннях тригонометричних функцій чисельник і знаменник відповідного дробу помножаться на k, а значення дробу не зміниться.

45

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

Синусом кута α називається ордината точки Pα (x; y) одиничного кола: sin α = y.

Косинусом кута α називається абсциса точки Pα (x; y) одиничного кола: cos α = x.

Тангенсом кута α називається відношення ординати точки Pα (x; y) оди! ничного кола до її абсциси, тобто відношення cossin αα .

Отже,

tg α = cossinαα (де cos α ≠ 0) .

Котангенсом кута α називається відношення абсциси точки Pα (x; y) оди!

cos α

ничного кола до її ординати, тобто відношення sin α .

Отже,

ctg α = cosα (де sin α ≠ 0) . sinα

Приклад Користуючись цими означеннями, знайдемо синус, косинус, тан

Аналогічно знаходяться значення синуса, косинуса, тангенса і котанген са кутів, указаних у верхньому рядку наступної таблиці 8.

Зазначимо, що таким чином можна знайти тригонометричні функції тіль кидеякихкутів.Тригонометричніфунк ції довільного кута звичайно знахо дять за допомогою калькулятора або таблиць.

46

§3. Тригонометричні функції кута та числового аргументу

Та б л и ц я 8

метричні функції числових аргументів, якщо розглядати тригонометричні функції числа α як відповідні тригонометричні функції кута в α радіан. Тобто:

3. Лінії тангенсів і котангенсів. Для розв’язування деяких задач корисно мати уявлення про лінії тангенсів та котангенсів.

(Проведемо через точку P0 одиничного кола пряму AP0, паралельну осі Oy (рис. 37). Ця пряма називається лінією тангенсів.

Нехай α — довільне число (чи кут), для якого cosα ≠ 0. Тоді точка Pα не ле жить на осі Oy і пряма OPα перетинає лінію тангенсів у точці A.

Оскільки пряма OPα проходить через початок координат, то її рівняння y = kx. Але ця пряма проходить через точку Pα з координатами (cos α; sin α), отже, координати точки Pα задовольняють рівнянню прямої y = kx, тобто

47

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

котангенс кута (числа) α — це абсциса відповідної точки на лінії котангенсів.

Запитання для контролю

1.Сформулюйте означення тригонометричних функцій гострого кута в пря мокутному трикутнику.

2.Сформулюйте означення тригонометричних функцій довільного кута: а) використовуючи коло радіуса R з центром у початку координат;

б) використовуючи одиничне коло.

3.Що мають на увазі, коли говорять про синус, косинус, тангенс і котангенс числа α?

Вправи

1°. Побудуйте на одиничному колі точку Pα, у яку переходить точка P0 (1; 0) одиничного кола при повороті на кут α. У якій координатній чверті знахо диться точка Pα в завданнях 3–6?

2. Знайдіть значення sin α, cos α, tg α, ctg α (якщо вони існують) при:

3°. Користуючись означенням синуса і косинуса, за допомогою одиничного кола вкажіть знаки sin α і cos α, якщо:

48

1. Знаки тригонометричних функцій легко визначити, виходячи з означен ня цих функцій.

(Наприклад, sin α — це ордината відповідної точки Pα одиничного кола. Тоді значення sin α буде додатним, якщо точка Pα має додатну ординату,

a це буде тоді, коли точка Pα знаходиться в I або II чверті (рис. 39). Якщо точка Pα знаходиться в III або IV чверті, то її ордината від’ємна, і тому sin α теж від’ємний.

Аналогічно, враховуючи, що cos α — це абсциса відповідної точки Pα, одер жуємо, що cos α > 0 в I і IV чвертях (абсциса точки Pα додатна) і cos α < 0 в II і III чвертях (абсциса точки Pα від’ємна) (рис. 40).

50