algebra10_нелін_дворівн

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

Значення функції косинус від’ємні (тобто абсциса відповідної точки одиничного кола від’ємна) у ІІ і ІІІ чвертях, отже, cos x < 0 при

x (2π + 2πk; 32π + 2πk), k Z.

Проміжки зростання і спадання.

(Враховуючи періодичність функції cos x (T = 2π), досить дослідити її на зростання і спадання на будь якому проміжку довжиною 2π, наприклад, на проміжку [0; 2π].

Якщо x [0; π] (рис. 59, а), то при збільшенні аргументу x (x2 > x1) абсциса відповідної точки одиничного кола зменшується (тобто cos x2 < cos x1), отже, у цьому проміжку функція cos x спадає. Враховуючи періодичність

функції cos x, робимо висновок, що вона також спадає в кожному з про міжків [2πk; π + 2πk], k Z.

Якщо x [π; 2π] (рис. 59, б), то при збільшенні аргументу x (x2 > x1) абсци са відповідної точки одиничного кола збільшується (тобто cos x2 > cos x1), отже, у цьому проміжку функція cos x зростає. Враховуючи періодичність

функції cos x, робимо висновок, що вона також зростає в кожному з про міжків [π + 2πk; 2π + 2πk], k Z. )

Проведене дослідження дозволяє побудувати графік функції y = cos x ана логічно до того, як було побудовано графік функції y = sin x. Але графік функції у = cos x можна також одержати за допомогою геометричних перетворень гра фіка функції у = sin х, використовуючи формулу

sin(2π + x)= cosx .

( Цю формулу можна обґрунтувати, наприклад, так. Розглянемо одиничне

коло (рис. 60) і відмітимо на ньому точки А = Рх і B = Pπ2 +x та абсциси

і ординати цих точок. Враховуючи, що AOB = π , одержуємо, що при по

2

62

§ 5. Графіки функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса та їх властивості

Рис. 61

tg(2π + x)= − ctgx . )

Враховуючи, що cosx = sin(x + 2π ), графік функції y = cos x можна одер жати із графіка функції y = sin x його паралельним перенесенням уздовж осі Ох на (− 2π ) (рис. 61). Одержуємо графік, який називається косинусоїдою

(рис. 62).

Рис. 62

63

Нагадаємо, що tgx = sinx . Отже, областю визначення тангенса будуть всі

cos x

значення аргументу, при яких cos х ≠ 0, тобто x ≠ π + πk, k Z. Одержуємо

2

64

§ 5. Графіки функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса та їх властивості

D (tg x): x ≠ 2π + πk, k Z. Цей результат можна одержати і геометрично. Зна

чення тангенса — це ордината відповідної точки Тх на лінії тангенсів (рис. 63). Оскільки точки А і В одиничного кола лежать на прямих ОА і ОВ, паралель

них лінії тангенсів, ми не зможемо знайти значення тангенса для x = π + πk,

2

k Z. Для всіх інших значень аргументу ми можемо знайти відповідну точку

на лінії тангенсів і її ординату — тангенс. Отже, всі значення x ≠ π + πk входять

2

до області визначення функції у = tg х.

Для точок одиничного кола (які не збігаються з точками А і В) ординати відповідних точок на лінії тангенсів набувають усіх значень від – до + . Таким чином, область значень функції y = tg x — всі дійсні числа, тобто y R. Це можна записати так: E (tg x) = R. З наведених міркувань також випливає, що найбільшого і найменшого значень функція tg x не має.

Як було показано в § 4, тангенс — непарна функція: tg (–x) = –tg x, отже, її графік симетричний відносно початку координат.

Тангенс — періодична функція з найменшим додатним періодом T = π: tg (x + π) = tg x (див. § 4). Тому при побудові графіка цієї функції досить побу дувати графік на будь якому проміжку довжиною π, а потім одержану лінію перенести паралельно праворуч і ліворуч уздовж осі Ox на відстані kT = πk, де k — будь яке натуральне число.

Щоб знайти точки перетину графіка функції з осями координат, згадає мо, що на осі Oy значення x = 0. Тоді відповідне значення y = tg 0 = 0, тобто графік функції y = tg x проходить через початок координат.

На осі Ox значення y = 0. Отже, нам потрібні такі значення x, при яких tg x, тобто ордината відповідної точки лінії тангенсів, дорівнюватиме нулю. Це буде тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка C

65

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

Проміжки зростання і спадання.

(Враховуючи періодичність функції tg x (період T = π), досить дослідити її

на зростання і спадання на будь якому проміжку довжиною π, наприклад, на проміжку (− 2π; 2π ). Якщо x (− 2π; 2π)(рис. 64), то при збільшенні аргу

менту x (x2 > x1) ордината відповідної точки лінії тангенсів збільшується (тобто tg x2 > tgx1). Отже, у цьому проміжку функція tg x зростає. Врахо

вуючи періодичність функції tg x, робимо висновок, що вона зростає та кож у кожному з проміжків (− 2π + πk; 2π + πk), k Z. )

Проведене дослідження дозволяє обґрунтовано побудувати графік функції y = tg x. Враховуючи періодичність цієї функції (з періодом π), спочатку побу дуємо графік на будь якому проміжку довжиною π, наприклад, на проміжку

(− 2π; 2π ). Для більш точної побудови точок графіка скористаємося також тим, що значення тангенса — це ордината відповідної точки лінії тангенсів. На рисунку 65 показана побудова графіка функції y = tg x на проміжку (− 2π; 2π ).

Рис. 66

66

§ 5. Графіки функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса та їх властивості

Далі, враховуючи періодичність тангенса (з періодом π), повторюємо ви гляд графіка на кожному проміжку довжиною π (тобто паралельно переноси мо графік уздовж осі Ох на πk, де k — ціле число).

Одержуємо графік, наведений на рисунку 66, який називається танген( соїдою.

5.4. ГРАФІК ФУНКЦІЇ y = ctg x ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

Т а б л и ц я 13

Графік функції y = ctg x (котангенсоїда)

Властивості функції y = ctg x

1.Область визначення: D (ctg x): x ≠ πk, k Z

2.Область значень: y R. E (ctg x) = R

3.Функція непарна: ctg (–x) = –ctg x

(графік симетричний відносно початку координат).

7.Проміжки зростання і спадання:

функція ctg x спадає на кожному з проміжків своєї області визначен! ня, тобто на кожному з проміжків (πk; π + πk), k Z.

8.Найбільшого і найменшого значень функція не має.

67

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

Пояснення й обґрунтування

Нагадаємо, що ctgx = cos x . Отже, областю визначення котангенса будуть

sinx

всі значення аргументу, при яких sin х ≠ 0, тобто x ≠ πk, k Z. Таким чином,

D (ctg x): x ≠ πk, k Z.

Той самий результат можна одержати, використовуючи геометричну ілюст рацію. Значення котангенса — це абсциса відповідної точки на лінії котан генсів (рис. 67). Оскільки точки А і В одиничного кола лежать на прямих ОА і ОВ, паралельних лінії котангенсів, ми не зможемо знайти значення котан генса для x = πk, k Z. Для всіх інших значень аргументу ми можемо знайти відповідну точку на лінії котангенсів і її абсцису — котангенс. Таким чином, усі значення x ≠ πk входять до області визначення функції у = ctg х.

Для точок одиничного кола (які не збігаються з точками А і В) абсциси відповідних точок на лінії котангенсів набувають усіх значень від – до + , отже, область значень функції y = ctg x — усі дійсні числа, тобто y R. Це можна записати так: E (ctg x) = R. З наведених міркувань також випливає, що найбільшого і найменшого значень функція ctg x не має.

Як було показано в § 4, котангенс — непарна функція: ctg (–x) = –ctg x, тому її графік симетричний відносно початку координат.

Також в § 4 було обґрунтовано, що котангенс — періодична функція з най меншим додатним періодом T = π: ctg (x + π) = ctg x, тому через проміжки довжиною π вигляд графіка функції ctg x повторюється.

Щоб знайти точки перетину графіка функції з осями координат, згадає мо, що на осі Oy значення x = 0. Але ctg 0 не існує, значить, графік функції y = ctg x не перетинає вісь Oy.

На осі Оx значення y = 0. Отже, нам потрібні такі значення x, при яких ctg x, тобто абсциса відповідної точки лінії котангенсів, дорівнюватиме нулю. Це буде тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка C або D,

ріод, отримуємо, що ctg x > 0 при всіх x (πk; 2π + πk), k Z.

68

§ 5. Графіки функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса та їх властивості

Проміжки зростання і спадання.

(Враховуючи періодичність функції ctg x (найменший додатний період T = π),

досить дослідити її на зростання і спадання на будь якому проміжку дов жиною π, наприклад, на проміжку (0; π).

Якщо x (0; π) ( рис. 69), то при збільшенні аргументу x (x2 > x1) абсциса відповідної точки лінії котангенсів зменшується (тобто ctg x2 < ctgx1), отже, у цьому проміжку функція ctg x спадає. Враховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також спадає в кожному з проміжків (πk; π + πk), k Z. ) Проведене дослідження дозволяє побудувати графік функції y = ctg x ана

логічно до того, як було побудовано графік функції y = tg x. Але графік функції у = ctg x можна одержати також за допомогою геометричних перетворень гра

фіка функції у = tg х. За формулою, наведеною на с. 63, tg(2π + x)= − ctgx,

тобто ctgx = − tg(x + 2π). Тому графік функції у = ctg x можна одержати з гра

фіка функції у = tg х паралельним перенесенням уздовж осі Ох на (− 2π)і си

метричним відображенням одержаного графіка відносно осі Ох. Отримуємо графік, який називається котангенсоїдою (рис. 70).

Рис. 70

69

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

Приклади розв’язання завдань

Приклад 1 Побудуйте графік функції та вкажіть нулі функції і проміжки знакосталості: 1) у = 2 sin х; 2) у = sin 2х.

К о м е н т а р Графіки всіх заданих функцій можна одержати за допомогою геометрич

них перетворень графіка функції f (x) = sin х (табл. 4). Отже, графіком кожної із цих функцій буде синусоїда.

1)у = 2 sin х = 2 f (x) — розтягування графіка y = sin x удвічі вздовж осі Оу;

2)у = sin 2х = f (2x) — стискування графіка y = sin x удвічі вздовж осі Ох.

Нулі функції — це абсциси точок перетину графіка з віссю Ох.

Щоб записати проміжки знакосталості функції, зазначимо, що функція у = 2sin х періодична з періодом T = 2π, а функція у = sin 2х періодична з пе

ріодом T = 2π = π. Тому для кожної функції досить з’ясувати на одному періо

2

ді, де значення функції додатні (графік знаходиться вище осі Ох) і де від’ємні (графік знаходиться нижче осі Ох), а потім одержані проміжки повторити через період.

Ро з в ’ я з а н н я

1)X Графік функції у = 2 sin х одержуємо із графіка функції у = sin х роз тягуванням його вдвічі вздовж осі Оу.

Нулі функції: x = πk, k Z.

Проміжки знакосталості: 2 sin x > 0 при x (2πk; π + 2πk), k Z;

2sin x < 0 при x (π + 2πk; 2π + 2πk), k Z. Y

2)X Графік функції у = sin 2х одержуємо із графіка функції у = sin х стис куванням його вдвічі вздовж осі Ох.

70