algebra10_нелін_дворівн

§ 4. Властивості тригонометричних функцій

мають однакові знаки, тобто в I і III чвертях, tg α < 0 і ctg α < 0 там, де sin α

і cos α мають різні знаки, тобто в II і IV чвертях (рис. 41). )

2.Парність і непарність тригонометричних функцій.

(Щоб дослідити тригонометричні функції на парність і непарність, зазна

чимо, що на одиничному колі точки Pα і P–α розміщено симетрично віднос но осі Ox (рис. 42). Отже, ці точки мають однакові абсциси і протилежні

ординати. Тоді cos(−α )= xP−α = xPα = cosα, sin(−α )= yP−α = −yPα = − sinα. Таким чином, cos x — парна функція, а sin x — непарна.

Отже, tg x і ctg x — непарні функції. )

Парність і непарність тригонометричних функцій можна використову вати для обчислення значень тригонометричних функцій від’ємних кутів

3. Періодичність тригонометричних функцій. Багато процесів і явищ, що відбуваються в природі і техниці, мають повторюваний характер (наприклад, рух Землі навколо Сонця, рух маховика). Для опису такого роду процесів використовують так звані періодичні функції.

Функція y = f (x) називається періодичною з періодом T ≠ 0, якщо для

будь!якого x із області визначення функції числа (x + T) і (x – T) також належать області визначення і виконується рівність

f (x + T) = f (x – T) = f (x).

(Враховуючи, що на одиничному колі числам (кутам) α і α + 2πk, де k Z,

відповідає та сама точка (рис. 43), одержуємо

sin (α + 2πk) = sin α, cos (α + 2πk) = cos α. Тоді 2πk (k ≠ 0) є періодом функцій sin x і cos x.

51

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

При k = 1 одержуємо, що T = 2π — це період функцій sin x і cos x. Доведемо, що ці функції не можуть мати меншого додатного періоду. Щоб довести, що T = 2π — найменший додатний період косинуса, припустимо, що T > 0 — період функції cos x. Тоді для будь якого значення x вико нується рівність cos (x + T) = cos x. Взявши x = 0, одержуємо cos T = 1. Але це означає, що на одиничному колі при повороті на кут T точка P0 знову потрапляє в точку P0, тобто T = 2πk, де k Z. Отже, будь який період коси нуса повинен бути кратним 2π, а значить,

2π — найменший додатний період косинуса. )

(Щоб обґрунтувати, що T = 2π — найменший додатний період функції sin x,

досить у рівності sin (x + T) = sin x, яка виконується для будь яких зна чень x, взяти x = π2 . Одержуємо sin(T + 2π )= 1. Але це означає, що при пово

роті на кут T + π точка P потрапляє в точку A (0; 1) (рис. 43), тобто

2 0

T + π = π + 2πk, отже, T = 2πk. Таким чином, будь який період синуса пови

22

нен бути кратним 2π, а значить,

2π — найменший додатний період синуса. )

(Якщо врахувати, що на одиничному колі точки Pα і Pα + π є діаметрально протилежними, то цим точкам відповідає та сама точка на лінії тангенсів

(рис. 44) або на лінії котангенсів (рис. 45). Тоді tg (α + π) = tg α, ctg (α + π) = ctg α, а також tg (α + πk) = tg α, ctg (α + πk) = ctg α.

Тобто періодом функцій tg x і ctg x є πk (k ≠ 0, k Z).

Найменшим додатним періодом для функцій tg x і ctg x є T = π.

Щоб довести це, досить у рівності tg (x + T) = tg x взяти x = 0. Тоді одержує мо tg T = 0. Отже, T = πk, де k Z. Таким чином, будь який період тангенса повинен бути кратним π, а значить, π — найменший додатний період тан генса. Аналогічно у відповідній рівності для ctg x досить взяти x = π. )

2

(Щоб мати уявлення про поведінку графіка періодичної функції y = f (x), згадаємо, що за означенням графік функції y = f (x) складається з усіх то

52

§ 4. Властивості тригонометричних функцій

Рис. 46

чок M координатної площини, які мають координати (x; y) = (x; f (x)). Перша координата для точок графіка вибирається довільно з області ви значення функції. Виберемо як першу координату значення x + T (або в узагальненому вигляді — значення x + kT при цілому значенні k) і вра хуємо, що для періодичної функції f (x + T) = f (x – T) = f (x) (у загальному випадку f (x + kT) = f (x)). Тоді до графіка функції y = f (x) буде входити також точка M1 координатної площини з координатами:

(x + T; y) = (x + T; f (x + T)) = (x + T; f (x)).

Точку M1 (x + T; f (x)) можна одержати з точки M (x; f (x)) паралельним перенесенням уздовж осі Ox на T одиниць (рис. 46). У загальному випадку точку M2 (x + kT; f (x)) можна одержати з точки M (x; f (x)) паралельним перенесенням уздовж осі Ox на kT одиниць. Отже, через проміжок T ви гляд графіка періодичної функції буде повторюватися. Тому для побудови

графіка періодичної функції з періодом T досить побудувати графік на будь!якому проміжку довжиною T (наприклад, на проміжку [0; T]), а потім одержану лінію паралельно перенести праворуч і ліворуч уздовж осі Ox на відстані kT, де k — будь!яке натуральне число. )

Приклади розв’язання завдань

Приклад 1 Користуючись періодичністю, парністю і непарністю тригоно метричних функцій, знайдіть:

53

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

Приклад 2* Доведіть твердження: якщо функція y = f (x) періодична з пе!

ріодом T, то функція y = Af (kx + b) також періодична з періо! дом Tk (A, k, b — деякі числа і k ≠ 0).

Використаємо результат, одержаний у прикладі 2, для знаходження пе ріодів функцій.

Наприклад,

1) X якщо функція sin x має період T = 2π, то функція sin 4x має період

T1 = 2π = π ; Y

4 2

2) X якщо функція tg x має період T = π, то функція tg x має період

54

§ 4. Властивості тригонометричних функцій

Запитання для контролю

1. а) Назвіть знаки тригонометричних функцій у кожній з координатних чвертей.

б*) Обґрунтуйте знаки тригонометричних функцій у кожній з координат них чвертей.

2. а) Які з тригонометричних функцій є парними, а які непарними? Наведіть приклади використання парності і непарності для обчислення значень тригонометричних функцій.

б*) Обґрунтуйте парність чи непарність відповідних тригонометричних функцій.

3.а) Яка функція називається періодичною? Наведіть приклади.

б*) Обґрунтуйте періодичність тригонометричних функцій. Укажіть най

менший додатний період для синуса, косинуса, тангенса і котангенса та обґрунтуйте, що в кожному випадку цей період дійсно є найменшим додатним періодом.

Вправи

1.Користуючись періодичністю, парністю і непарністю тригонометричної функції, знайдіть:

2)sin (–750°); (− 19π); 4) ctg 945°;1) cos 19π; 3) tg

2*. Серед заданих функцій знайдіть періодичні і вкажіть найменший додат ний період для кожної з них:

1) f (x) = x2; 2) f (x) = sin 2x; 3) f (x) = | x |; 4) f (x) = tg 3x; 5) f (x) = 3. 3. Знайдіть період кожної з заданих функцій:

4.На кожному з рисунків 47–50 наведена частина графіка деякої періодич ної функції з періодом T. Продовжіть графік на відрізок [–2T; 3T].

55

5.1. ГРАФІК ФУНКЦІЇ y = sin x ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

Т а б л и ц я 10

Графік функції y = sin x (синусоїда)

Властивості функції y = sin x

1.Область визначення: x R (x — будь яке дійсне число). D (sin x) = R

2.Область значень: y [–1; 1]. E (sin x) = [–1; 1]

3.Функція непарна: sin (–x) = –sin x

(графік симетричний відносно початку координат).

56

§ 5. Графіки функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса та їх властивості

Пояснення й обґрунтування

Характеризуючи властивості функцій, ми будемо найчастіше виділяти такі їх характеристики: 1) область визначення; 2) область значень; 3) парність чи непарність; 4) періодичність; 5) точки перетину з осями координат; 6) про міжки знакосталості; 7) проміжки зростання і спадання*; 8) найбільше та найменше значення функції.

З а у в а ж е н н я. Абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох (тоб то ті значення аргументу, при яких функція дорівнює нулю) називають нуля( ми функції.

Нагадаємо, що значення синуса — це ордината відповідної точки одинич ного кола (рис. 51). Оскільки ординату можна знайти для будь якої точки одиничного кола, то область визначення функції y = sin x — усі дійсні числа. Це можна записати так: D (sin x) = R.

Для точок одиничного кола ординати набувають усіх значень від –1 до 1, отже, область значень функції y = sin x: y [–1; 1]. Це можна записати так:

E (sin x) = [–1; 1].

Як бачимо, найбільше значення функції sin x дорівнює одиниці. Це значен ня досягається тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точ

ка A, тобто при x = π + 2πk, k Z.

2

Найменше значення функції sin x дорівнює мінус одиниці. Це значення досягається тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка B,

тобто при x = − π + 2πk, k Z.

2

Як було показано в § 4, синус — непарна функція: sin (–x) = –sin x, отже,

їїграфік симетричний відносно початку координат.

В§ 4 було обґрунтовано також, що синус — періодична функція з наймен шим додатним періодом T = 2π: sin (x + 2π) = sin x, отже, через проміжки довжиною 2π вигляд графіка функції sin x повторюється. Тому при побудові

графіка цієї функції досить побудувати графік на будь якому проміжку дов жиною 2π, а потім одержану лінію па

ралельно перенести праворуч і ліворуч уздовж осі Ox на відстані kT = 2πk,

де k — будь яке натуральне число. Щоб знайти точки перетину графі( ка функції з осями координат, згадає

мо, що на осі Oy значення x = 0. Тоді відповідне значення y = sin 0 = 0, тобто

графік функції y = sin x проходить че

рез початок координат.

Рис. 51

* Проміжки зростання і спадання функції інколи ще називають проміжками монотон ності функції.

57

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

На осі Ox значення y = 0. Отже, нам потрібні такі значення x, при яких sin x, тобто ордината відповідної точки одиничного кола, буде дорівнювати нулю. Це буде тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола буде точка C або D, тобто при x = πk, k Z.

Проміжки знакосталості. Як було обґрунтовано в § 4, значення функції синус додатні (тобто ордината відповідної точки одиничного кола додатна) у I і II чвертях (рис. 52). Отже, sin x > 0 при x (0; π), а також, враховуючи період, при всіх x (2πk; π + 2πk), k Z.

Значення функції синус від’ємні (тобто ордината відповідної точки одинич ного кола від’ємна) у III і IV чвертях, отже, sin x < 0 при x (π + 2πk; 2π + 2πk), k Z.

Проміжки зростання і спадання.

(Враховуючи періодичність функції sin x з періодом T = 2π, досить досліди ти її на зростання і спадання на будь якому проміжку довжиною 2π, напри

клад, на проміжку −2π; 32π .

Якщо x −2π; 2π (рис. 53, а), то при збільшенні аргументу x (x2 > x1) орди

ната відповідної точки одиничного кола збільшується (тобто sin x2 > sin x1), отже, у цьому проміжку функція sin x зростає. Враховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також зростає в кожному з проміжків

Якщо x 2π; 32π (рис. 53, б), то при збільшенні аргументу x (x2 > x1) орди

ната відповідної точки одиничного кола зменшується (тобто sin x2 < sin x1), отже, у цьому проміжку функція sin x спадає. Враховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також спадає в кожному з проміжків

π + 2πk; 3π + 2πk , k Z.)

Проведене дослідження дозволяє обґрунтовано побудувати графік функції y = sin x. Враховуючи періодичність цієї функції (з періодом 2π), досить спо

58

З а у в а ж е н н я. Тригонометричні функції широко застосовуються в ма тематиці, фізиці та техниці. Наприклад, багато процесів, таких як коливан ня струни, маятника, напруги в колі змінного струму і т. п., описуються функ цією, яка задається формулою y = A sin (ωх + ϕ). Такі процеси називають гар( монічними коливаннями.

Рис. 56

59

РОЗДІЛ 1. Тригонометричні функції

Графік функції y = A sin (ωx + ϕ) можна одержати із синусоїди y = sin х стискуванням або розтягуванням її вздовж координатних осей і паралельним перенесенням уздовж осі Ох. Найчастіше гармонічне коливання є функцією часу t. Тоді воно задається формулою y = A sin (ωt + ϕ), де А — амплітуда коли

вання, ω — кутова частота, ϕ — початкова фаза, 2ωπ — період коливання.

5.2. ГРАФІК ФУНКЦІЇ y = cos x ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

Т а б л и ц я 11

Графік функції y = cos x (косинусоїда)

Властивості функції y = cos x

cos x > 0 при x (− 2π + 2πk; 2π + 2πk), k Z cos x < 0 при x (2π + 2πk; 32π + 2πk), k Z

7.Проміжки зростання і спадання:

функція cos x зростає на кожному з проміжків [π + 2πk; 2π + 2πk], k Z, і спадає на кожному з проміжків [2πk; π + 2πk], k Z.

8.Найбільше значення функції дорівнює 1 при x = 2πk, k Z. Найменше значення функції дорівнює –1 при x = π + 2πk, k Z.

60