OFP-Tretyak-Lozovski

проходять через початок системи координат. Ліва частина рівнянь є синусом або косинусом. Ці лінії перетинаються в точках, що дають

розв'язкиkw,n , для яких початкова задача має ненульові розв'язки.

При цьому всі розв'язки знаходитимуться у першому квадранті, оскільки позитивні та негативні значення L і R відповідно перебувають у першому квадранті. Для аналізу цих розв'язків слід зазначити, що задача характеризується двома незалежними параметрами – глибиною

Vb і шириною L ями. При цьому можна змінювати один параметр, зафіксувавши інший. Змінюватимемо параметр Vb. Це автоматично означає, що змінюватиметься величина k0. Таким чином ліва частина рівнянь (H.9) і (H.10) буде незмінною, а прямі в правій частині рівнянь змінюватимуть свій нахил. Видно, що за малих значень k0 кут нахилу прямої великий. Це означає, що може існувати лише одна точка перехрещення прямої і косинусоїди. Таким чином, маємо лише один

розв'язок рівняння. Нехай він буде рівним kw,1. Цьому розв'язку відповідатиме перший енергетичний рівень частинки в ямі

За подальшого зростання k0 перший і другий енергетичні рівні стають глибшими та виникає третій рівень і т. д. Дійсно, нові рівні виникають, якщо параметр

Додаток I

Матриця переходу (Т-матриця).

Ідея та застосування

Для того, щоб чітко уяснити ідею Т-матриці, розглянемо розсіяння квантової частинки на деякому потенціалі. Нехай, наприклад, це буде

східцеподібний потенціальний бар'єр висотою Vb , розташований при z = 0 (рис. І1). Нехай частинка має енергію E >Vb . Введемо хвильові

вектори руху частинки в передбар'єрній k = 2m*E / 2 і підбар'єрній kb = 2m*(E −E0 )/ 2 областях. Тоді хвильову функцію частинки мо-

жна записати у вигляді двох плоских хвиль, що рухаються назустріч одна одній:

Для виконання вимоги неперервності хвильової функції та її похідної прирівнюємо значення хвильових функцій та їхніх похідних на бар'єрі. Маємо

Припустимо, що частинка рухається з області z < 0направо (див. рис.І1). Вважаючи амплітуду набігаючої хвилі рівною одиниці, маємо, що амплітуда відбитої хвилі

Визначимо коефіцієнт проходження як відношення потоку частинок, що пройшли бар'єр, до потоку частинок, що падають на бар'єр. Тоді, аналогічно до (16.57), отримаємо

Коефіцієнт відбиття є відношенням потоку частинок, відбитих від бар'єру, до потоку частинок, що падає на бар'єр,

Рис.І3. Діаграма процесу розсіяння квантової частинки на однобар'єрній перешкоді

Систему рівнянь (І.3) можна переписати в матричній (або в опер а- торній) формі

Для одноактного процесу розсіяння переваг введення Т-матриці явно не спостерігається. Але якщо розглянемо складніший процес послідовного розсіяння на двох бар'єрах, як показано діаграмою на рис. І4, то впевнимось у перевазі методу. Амлпітуди хвиль частинок, що

Рис.І4. Діаграма розсіяння квантової частинки на двобар'єрній перешкоді

пройшли з області 1 до області 2, задаються амплітудами хвиль у першій області та Т-матрицею T(21). Амплітуди хвиль в області 3, у свою

Тепер легко зв'язати амплітуди хвиль у третій області з амплітудами хвиль у першій області

Тепер можна легко узагальнити метод обчислення коефіцієнту проходження квантовою частинкою багатобар'єрної структури. Нехай

A C C’ E

Рис.І5. Діаграма розсіяння квантової частинки на n-бар'єрній перешкоді

частинка рухається у структурі, що складається з n бар'єрів, коефіцієнти проходження яких відомі (рис. І5). Розглядаючи послідовно процеси розсіяння на кожному бар'єрі, як у випадку двобар'єрної структури, можна записати

Отже, для того, щоб знайти амплітуду хвильового процесу за n-разового розсіянні хвиль, необхідно просто знайти відповідну Т-матрицю, що є простим добутком n матриць одноразового розсіяння.

Таким чином ми отримали дуже важливий результат, що становить основу методу Т-матриці.

Коефіцієнт проходження n-бар'єрної структури дорівнює добутку матриць переходу кожного із бар'єрів

Повертаючись до процесу розсіяння частинки, що, рухаючись зліва направо, розсіюється потенціальною сходинкою, можемо записати

а Т-матриця визначається такими елементами:

Треба зауважити, що формули для Т-матриці, отримані вище, записані для випадку, коли границя бар'єру розташована на початку координат. Для подальшого нам знадобиться явний вигляд Т-матриці для бар'єра, що розташований у довільній точці координатної вісі, скажімо, z = d. Оскільки амплітуда хвильової функції змінюється лише при переході частинкою бар'єру, то зсув бар'єру на відстань d приведе лише до зміни фази хвильової функції. Тоді можна припустити, що тільки на такі фазові множники й відрізнятимуться компоненти Т-матриць Т(0) та Т(d). Для знаходження такого зв'язку ми спочатку транслюємо систему координат на d так, що в новій системі координат

маємо z′ = z −d. Тепер падаюча хвиля, яка мала вигляд Aeikz , перет-

вориться на Aeikz′eikd . Тобто її амплітуда домножиться на фактор eikd . Аналогічно амплітуду хвилі, що рухається в протилежному напрямку,

необхідно домножити на фактор e−ikd . Цю операцію можна записати як добуток діагональної матриці на вектор амплітуд:

Тепер амплітуда хвиль, праворуч бар'єру буде такою

Для того, щоб перейти в робочу систему координат, необхідно знову помножити амплітуду хвиль на фазові множники. Але тепер варто мати на увазі, що перехід є зворотнім і відбувається в бар'єрній області. Таким чином, маємо

Таким чином, маємо співвідношення

що зв'язує Т-матрицю перешкоди при z = 0 з Т-матрицею перешкоди при z = d.

Надамо деякі додаткові відомості про метод Т-матриці. Для вивчення аналітичних властивостей Т-матриці розглянемо рівняння Шредингера, що явно залежить від часу

Вважаючи, що гамільтоніан системи не залежить від часу та є дійсним, використаємо інваріантність системи за часом (вимога дійсності гамільтоніана порушується, якщо розглядається дія магнітного поля на систему. У цьому випадку інвариантність системи за часом вимагає зміни знаку при магнітному полі, тобто при t → −t ми маємо

записати B → −B )

Здійснюємо комплексне спряження

Оскільки (І.19) та (І.21) формально збігаються, то рівняння Шредингера задовольняється обома функціями Ψ(t) і Ψ* (−t) . Припустимо для

простоти, що по обидва боки від бар'єру квантові стани частинки є однаковими та описуються хвилею, що розповсюджується вздовж вісі OZ із хвилевим вектором k, тобто хвильова функція має такий вигляд

Операція обертання часу дає

Оскільки знак при k змінився, це означає зміну напрямку руху частинки. Менш очевидним є комплексне спряження коефіцієнта А. Але якщо взяти до уваги, що залежність хвильової функції від часу має

лишатись такою самою, як до розсіяння на бар'єрі, тобто e−iωt (енергія зберігається!), то зрозуміло, що для цього необхідно, щоб у функцій (І.22) та (І.23) були різні коефіцієнти. Таким чином, за часової інверсії амплітуди хвильових функцій мають бути комплексно спряженими. Таким чином в області z < 0 (рис. I1) хвильова функція має вигляд

Інваріантність відносно інверсії в часі дає

Обидві функції є розв'язками рівняння Шредингера.

Визначення Т-матриці дозволяє знайти коефіцієнти хвильової функції в області z > 0.

Інваріантність відносно інверсії в часі вимагає, щоб

Але фізично система не змінилася, як не змінюється й Т-матриця. Формально замінимо у векторах формули (І.26) елементи та візьмемо комплексне спряження. Маємо

Таким чином, тільки два із чотирьох елементів Т-матриці є незалежними, тому її можна записати у формі

Подальший зв'язок між двома компонентами матриці можна отримати, виходячи з умови збереження потоку частинок по обидва боки перешкоди. Можна припустити, що по обидва боки перешкоди стани частинки описуються однаковими хвильовими векторами. Тоді

Визначаючи коефіцієнти C та D через А та В і компоненти Т-матриці, маємо

Ці співвідношення зводять число незалежних реальних величин, що визначають трансфер-матрицю, до трьох. Зважаючи на це, можна записати вирази до амплітудних коефіцієнтів проходження та відбиття як

Таким чином, можна записати Т-матрицю у термінах r та t

із додатковою умовою |r |2 + | t |2 =1, що визначає закон збереження

потоку частинок. Іноді корисно використовувати Т-матрицю, що зв'язує амплітуди хвиль у лівій частині від перешкоди з амплітудою в правій частині

Для знаходження компонентів цієї матриці слід зауважити, що T(12) не є простою інверсією матриці T(21). Нехай компоненти матриці T(12) позначаються як штриховані - Tij′ . Тоді, порівнюючи (І.26) з (І.34), можна записати

Отже, для зв'язку між компонентами реверсивної і прямої Т-матриць маємо

Аналогічно зв'язок між амплітудними коефіцієнтами відбиття та проходження запишемо у вигляді

Додаток J

Формула Кубо-Грінвуда

Вважатимемо, що вироджений електронний газ перебуває в неупорядкованій системі за нульової температури. Стани з енергіями

меншими за EF заповнені. Нехай власними хвильовими функціями електрона з енергією Е в неперіодичному полі з відповідними граничними умовами є ψE (r) , нормовані на один електрон в об'ємі Ω . Припустимо, що на електрон діє змінне електричне поле частоти ω