Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для иностранных учащихся, обучающихся на подготовительном отделении. Учебное пособие
.pdf
1.4.9. Основные формулы раздела
cos
�Fp
S
⋅a
=
�p gh=r
A
�F gV= r
( )
= w +j
0
cos � � ,xA t
Название Формула
Давление
Гидростатическое давление столба
жидкости (закон Паскаля)
Закон Архимеда
1.5. Механические колебания и волны
1.5.1. Механические колебания
Колебаниями называют изменения физической величины,
происходящие по определенному закону во времени. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям.
Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени.
Примерами простых колебательных систем могут служить груз
на пружине или математический маятник. Для существования
в системе гармонических колебаний (происходящих по закону
синуса или косинуса) необходимо, чтобы у нее было положение
устойчивого равновесия, т.е. такое положение, при выведении из
которого на систему начала бы действовать возвращающая сила.
Механические колебания, как и колебательные процессы
любой другой физической природы, могут быть свободными и
вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того как система была
выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.
Уравнение движения для гармонических колебаний имеет вид
71
где x – смещение тела от положения равновесия;
= .
t
T
N
ν= =1.
N
tT
p
w = pν =
2
2.
T
( ) ( )
= =− w w +j
′
0
sin .v xt A t
A – амплитуда колебаний, т.е. максимальное смещение
от положения равновесия;
w – циклическая или круговая частота колебаний, w = 2p/T;
t – время.
Величина, стоящая под знаком косинуса: j = wt + j
, назы-
0
вается фазой гармонического процесса. Смысл фазы колебаний:
стадия, в которой колебание находится в данный момент времени. При t = 0 получаем, что j = j
, поэтому j0 называют началь-
0
ной фазой.
Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колеба-
ний T. Если же количество колебаний N, а их время t, то пери-
од находится как
Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:
Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний связана с циклической частотой w и периодом колебаний T соотношениями
Зависимость скорости от времени при гармонических механических колебаниях выражается следующей формулой:
72
Аналогичным образом определяется ускорение a = ax тела
( ) ( ) ( )
′
= = =−w j
′′
w+
2
0
� cos .a vt x t A t
w=0.
g
l
p
= = p
w
0
2
2.
l
T
g
при гармонических колебаниях. Зависимость ускорения от времени при гармонических механических колебаниях:
1.5.2. Математический маятник
Математическим маятником называют тело небольших
размеров, подвешенное на тонкой длинной нерастяжимой нити,
масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела.
Только в случае малых колебаний математический маятник является гармоническим осциллятором, т.е. системой, способной
совершать гармонические (по закону синуса или косинуса) колебания. Практически такое приближение справедливо для углов
порядка 5–10°. Колебания маятника при больших амплитудах
не являются гармоническими.
Циклическая частота колебаний математического маятника рассчитывается по формуле
Период колебаний математического маятника:
Полученная формула называется формулой Гюйгенса и выполняется, когда точка подвеса маятника неподвижна. Период малых колебаний математического маятника не зависит
от амплитуды колебаний.
1.5.3. Пружинный маятник
Груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткостью k, второй конец которой закреплен неподвижно, составляют систему, способную совершать в отсутствие трения
73
w=0.
k
m
p
= = p
w
0
2
2.
m
T
k
=0.
mg
x
k
свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют пружинным маятником.
Циклическая частота колебаний пружинного маятника
рассчитывается по формуле
Период колебаний пружинного маятника:
При горизонтальном расположении системы «пружина –
груз» сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила
тяжести направлена по линии движения груза. В положении
равновесия пружина растянута на величину x
:
0
При свободных механических колебаниях кинетическая и
потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в
ноль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругой деформации пружины. Для математического маятника – это энергия в
поле тяготения Земли.
Когда тело при своем движении проходит через положение
равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по инерции. В этот момент оно обладает
максимальной кинетической и минимальной потенциальной
энергией (как правило, потенциальную энергию в положении
равновесия полагают равной нулю). Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной
74
энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться
w
= =
2
22
max
к�max
.
22
mV
mA
E
=
2
п�max
.
2
kA
E
= = = +
22
к�max п�max
.
22
mV kx
EE E
потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии
и т.д.
Таким образом, при гармонических колебаниях происходит
периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Если в колебательной системе отсутствует
трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной. При этом максимальное значение
кинетической энергии при механических гармонических колебаниях задается формулой
Максимальное значение потенциальной энергии при механических гармонических колебаниях пружинного маятника:
Взаимосвязь энергетических характеристик механического
колебательного процесса (полная механическая энергия равна максимальным значениям кинетической и потенциальной
энергий, а также сумме кинетической и потенциальной энергий в произвольный момент времени):
Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс
распространения колебаний в среде называется волной.
Механические волны бывают разных видов. Если при распространении волны частицы среды испытывают смещение в
1.5.4. Механические волны
75
направлении, перпендикулярном направлению распростране-
λ=ν =ν,
v
T
ния, такая волна называется поперечной. Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, такая волна называется продольной.
Как в поперечных, так и в продольных волнах не происходит переноса вещества в направлении распространения волны.
В процессе распространения частицы среды лишь совершают
колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.
Характерной особенностью механических волн является то,
что они распространяются в материальных средах (твердых,
жидких или газообразных). Существуют немеханические волны, которые способны распространяться и в пустоте (например,
световые, т.е. электромагнитные волны могут распространяться в вакууме).
Продольные механические волны могут распространяться
в любых средах – твердых, жидких и газообразных.
Поперечные волны не могут существовать в жидкой или
газообразной среде.
Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой ν и длиной
волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.
Длиной волны λ называют расстояние между двумя сосед-
ними точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны λ, волна пробегает за время, равное
периоду T, следовательно, длина волны может быть рассчитана по формуле
где v – скорость распространения волны.
При переходе волны из одной среды в другую длина волны
и скорость ее распространения меняются. Неизменными остаются только частота и период волны.
76
Разность фаз колебаний двух точек волны, расстояние меж-
2.
l
Dj = p
λ
ду которыми l, рассчитывается по формуле
Механические колебания и волны с частотами от 16 до
20 000 Гц называются звуком. Таким образом, звуки, которые
мы слышим, – это результат восприятия нашим ухом колебаний, которые распространяются, например, в воздухе.
Колебания и волны частотой больше 20 000 Гц называются
ультразвуком.
Колебания и волны частотой меньше 16 Гц называются ин-
фразвуком.
Скорость звука при 15 °С равна:
– в воздухе – 340 м/с;
– в воде – 1450 м/с;
– в железе – 4900 м/с.
1.5.5. Примеры решения задач
При решении задач нужно учесть следующие моменты.
1. Физические свойства колебательной системы определя-
ют только собственную частоту колебаний w
2. Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда
A = xm и начальная фаза j
, определяются способом, с помо-
0
щью которого система была выведена из состояния равновесия
в начальный момент времени, т.е. начальными условиями.
3. При колебательном движении тело за время, равное периоду, проходит путь, равный четырем амплитудам. При этом
тело возвращается в исходную точку, т.е. перемещение тела будет равно нулю. Следовательно, путь, равный амплитуде, тело
пройдет за время, равное четверти периода.
Чтобы определить, когда в уравнение колебаний подставлять синус, а когда косинус, нужно обратить внимание на следующие факторы:
– если сказано, что тело толкнули из положения равнове-
сия – берем синус с начальной фазой, равной нулю;
или период T.
0
77
– если сказано, что тело отклонили и отпустили – косинус
( )
= w +jsin � 0 ;xA t
λ= ;
v
n
λ=
1
1
1
;
v
n
=
12
12
;
vv
nn
=
12
11
;
1,5
vv
nn
= =
11
21
1,5
1,5 .
vn
vn
с начальной фазой, равной нулю;
– если тело толкнули из отклоненного от положения рав-
новесия состояния, то начальная фаза не равна нулю, а брать
можно и синус, и косинус.
Задача 1
Определите величину смещения пружинного маятника x
от положения равновесия при фазе колебаний, равной j = p/4,
если амплитуда его колебаний A = 10 см, начальная фаза рав-
= 0, и в этот момент маятник проходит положение равно-
на j
0
весия. Ответ дать в сантиметрах.
Дано
Решение
j = p/4
A = 10 см
= 0
j
0
Найти
j = wt + j0;
= 0;
j
0
x = Asinj = 10sinp/4 = 10√2
/2 = 7 см.
x – ?
Ответ: 7 см.
Задача 2
Частота одних гармонических колебаний в n = 1,5 раза больше частоты других гармонических колебаний. Амплитуды обоих колебаний одинаковы. Во сколько раз скорость прохождения
равновесного состояния в первом случае больше, чем во втором?
= 1,5n
n
2
A1 = A
Дано
1
2
Решение
Найти
– ?
v
1/v2
Ответ: 1,5
78
Задача 3
= = ⋅ ;
t
N tn
T
5sin 5 ,
4
xt
= p+
p
Шарик на пружине сместили на Dx = 3 см от положения равновесия и отпустили. Какой путь пройдет шарик за время t = 2,
если частота его колебаний n = 5 Гц? Затуханием колебаний пренебречь.
Дано
Dx = 3 см =
= 0,03 м
t = 2
n = 5 Гц
Найти
S – ?
Ответ: 1,2 м.
Задача 4
Волна с частотой 80 Гц распространяется в воздухе. Определите длину волны.
Дано
f = 80 Гц
V = 340 м/с
Найти
λ – ?
Ответ: 4,25 м.
n = 1/T; T = 1/n; T = 4Dx;
S = 4A;
S = 4AN = 4Atn = 4 ⋅ 0,03 ⋅ 2 ⋅ 5 = 1,2 м.
340
V
λ= = =
80
f
Решение
Решение
4,25.
1.5.6. Задачи для самостоятельного решения
1. Тело совершает колебания первый раз с периодом 2 с, а
второй – с частотой 10 Гц. Определите циклическую частоту
колебаний для каждого случая.
Ответ: p; 20p.
2. Амплитуда гармонического колебания равна 5 см, на-
чальная фаза – 45°. За 1 мин совершается 150 полных колебаний. Запишите уравнение этого колебания.
Ответ:
в секундах.
x измеряется в сантиметрах, t –
79
3. Один математический маятник имеет период 3 с, другой – 4 с. Определите период колебаний третьего маятника. Его
длина равна сумме длин первых двух.
Ответ: 5 с.
4. Определите длину звуковой и ультразвуковой волн в воздухе. Эти волны вызваны колебаниями с частотой 1 кГц и 1 МГц
соответственно.
Ответ: 34 см; 0,34 мм.
5. Самый низкий тон мужского голоса имеет частоту 80 Гц,
самый высокий тон женского голоса – 1300 Гц. Определите
длину волны в воздухе для этих тонов (звуков).
Ответ: 4,25 м; 0,26 м.
6. Два маятника совершают в одном и том же месте за одно
и то же время первый n
баний. Длины маятников l
= 30 колебаний, второй n2 = 36 коле-
1
и l2, l1 – l2 = 22 см. Найдите длину
1
каждого маятника.
Ответ: 50 cм; 72 cм.
1.5.7. Тест-задания
1. Математический маятник состоит из шарика радиусом r
и массой m, который подвешен на нити. Период его колебаний
равен 2 с. Если этот шарик заменить другим, масса которого
равна 2m, а радиус тот же, то период колебаний маятника будет:
а) 4 с;
б) 2 с;
в) 1 с;
г) 8 с.
2. Тело массой m подвешено на упругой пружине длиной l.
Жесткость пружины равна K. Частота колебаний тела – f
. За-
1
тем пружина разрезается на две части. Каждая часть нагружается массой m. Новая частота колебаний f
f1;
a) √2
/√2;
б) f
1
80
равна:
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]