Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по высшей математике. Тестовые методы контроля знаний. В 3 томах. Т.3
.pdf
« »
! " «#$%& '( '()* ) +")*,!-& )-."'()*»
..
..
..
.
.' III
'"
'"$*)/ 0.$1!"$(2 --#/ ( 3-)4 $*)/ 1-)2 "$)( (
2015
1
4( ($& +. " % -)5 " !*6).--.-)7!( ,8$*.0. $.2 ( '
51(076.1)
22.11&73
15
ISBN 978-5-7964-1664-8
ISBN 978-5-7964-1793-5
(&"( ..
15 !" + & (),# ' '". '() '&) "-
'!-. + #. 3-3 (. .' III / .. , .. , .. -
. – '": '". 0.$. ( 3-. 1--(, 2015. – 234 $: ),.
( "), III (.' .32(#2 ( "7! ,# *1"$ 2#$% / '( '()*), - 2.% !%) 2 I ) II (.', )' --.: ( .")5 1-*6)/ *.'+, *$-./ + " ' --./,
.+ "6).--. )$4)$, -) , 9, ' -(# 2 *(."-.0. -,)7 ) ( .")) +.,&, 1"2-
- -)& '( '()4 $*./ )7)*), ( .")5 2 ".&(-.$( / ) '( '()4 $*15 $(()$()*1. -# +")' "# " % -)& ()+.2#3 7!4. $ 7!4) 27&(# )7 " ,8-./
:7# !--#3, )$+.,871 './ +") $.$(2, -)) :), (.2 ( $(.2.0. *.-(".,& 7--
-)/ 7 +.$, !-) +&(-!6(8 , (. *.-6 *;!./ 0,2# )' ($& 2")-( ( $(,
$..(2 ($(215< 0. "$$'(")2 '.'1 2 0,2 '( "),1.
:."-)* 7!4 +" !-7-4 - !,& +.!0.(.2*) $(1! -(.2 * ( $(.2.'1 *.-(".,5 1$+ 2 '.$() ) " *.' -!.2- !,& 1!)(."-./ ":.(# ) $'.$(.&( ,8-./
+.!0.(.2*).
51(076.1)
22.11&73
15
6 -7 -(: !.6 -(, *-!. )7.-'(. -1* ..
ISBN 978-5-7964-1664-8
ISBN 978-5-7964-1793-5
© .. 2!.*)'.2, .. 1"(.2,
.. )'-.2, 2015
© '"$*)/ 0.$1!"$(2 --#/
( 3-)4 $*)/ 1-)2 "$)( (, 2015
2
/
.................................................................................................................. 4
1. ................... 5
§ 1. .'+, *$-# 4)$, ) ! /$(2)& $ -)'). ) " -6)"1 '.$(8
) -,)()4-.$(8 1-*6)/ *.'+, *$-./ + " ' --./ ..................................... 5
§ 2. =, ' -("-# 1-*6)) *.'+, *$-./ + " ' --./ .................................... 15
§ 3. -( 0")".2-) 1-*6)/ *.'+, *$-./ + " ' --./ ................................. 25
2. ................................................. 52
§ 4. ")0)-,# ) )3 )7.:"; -)& ....................................................................... 52
§ 5. 2 "(* 1-*6)/ ) )7.:"; -) ............................................................. 65
§ 6. % -) !) " -6),8-#3, )-( 0",8-#3 ) )-( 0".-
!) " -6),8-#3 1"2- -)/ .+ "6).--#' ' (.!.' .............................. 71
§ 7. )$*" (-. +" .:"7.2-) +,$. % -) "7-.$(-#3 1"2- -)/ ..... 81
3. = ........... 89
§ 8. C*,&"-# ) 2 *(."-# +.,&. .2 "3-.$(-# )-( 0",# 1 ) 2 ".!.
.(.* 2 *(."-.0. +.,& .................................................................................. 89
§ 9. )2 "0 -6)&, ".(.", $., -.)!,8-# ) +.( -6),8-# +.,&.
.( -6), 2 *(."-.0. +.,& .......................................................................... 96
§ 10. ."'1, $(".0"!$*.0. – 1$$. ."'1, (.*$ ............................ 102
4. .............................. 111
§ 11.,$$))*6)& !) " -6),8-#3 1"2- -)/ $ 4$(-#')
+".)72.!-#'). ")2 ! -) * *-.-)4 $*.'1 2)!1 ................................ 111
§ 12. % -) - *.(."#3 !) " -6),8-#3 1"2- -)/ $ 4$(-#')
+".)72.!-#') ............................................................................................. 126
5.
........................................................................................................ 143
§ 13. ,.; -) ) 1'-.; -) 2 ".&(-.$( / ..................................................... 143
§ 14. ."'1, +.,-./ 2 ".&(-.$(). ."'1, / $ ..................................... 155
§ 15. )$*" (-# $,14/-# 2 ,)4)-#. *.-# "$+" ! , -)&
!)$*" (-#3 $,14/-#3 2 ,)4)- ............................................................... 165
§ 16. +" "#2-# $,14/-# 2 ,)4)-# ......................................................... 177
§ 17. " ! ,8-# ( ." '# ................................................................................. 193
§ 18. =, ' -(# '( '()4 $*./ $(()$()*) .................................................... 199
1 .................................................................................................... 223
2 .................................................................................................... 226
3 .................................................................................................... 228
....................................................................................................... 229
................................................................... 230
3
(" (8 ' (.' -$(.&< 0. +.$.:)& +" !$(2, -. :., (#$&4)
+")' ".2 ) 7!4 )7 "7! ,.2, - 2.% !%)3 2 + "2# !2 (.',
)' --.: « .")& 1-*6)/ *.'+, *$-./ + " ' --./», «+ "6).--
-. )$4)$, -) », «=, ' -(# 2 *(."-.0. -,)7 ) ( .")) +.,&»,
«"2- -)& '( '()4 $*./ )7)*)», « .")& 2 ".&(-.$( / ) '( '()4 $*& $(()$()*». . $.! ";-)5 !--#/ '( "), $..(2 ($(21 ( -,.0)4-#' "7! ,' *1"$ 2#$% / '( '()*) ( 3-)4 $*.-
0. 1-)2 "$)( (. $ 7!4) 27&(# )7 " ,8-./ :7# !--#3, )$+.,871 './ +") $.$(2, -)) :), (.2 ( $(.2.0. *.-(".,& 7--)/ 7 +.$, !-) +&(-!6(8 , ( - * !" «#$%& '( '()* ) +")*,!-
-& )-."'()*» '.
*;!.' "7! , 2 - .:3.!)'.' .:> ' +")$1($(215( 9, ' --
(# ( .")), !-# +.!".:-# " % -)& ()+.2#3 7!4; +" !,0 '#
!,& $'.$(.&( ,8-.0. " % -)& +")' "# $-:; -# .(2 ('). ".'
(.0., 2 *.-6 *;!.0. "7! , $.! ";)($& 2")-( ( $( $ .:>&$- -) ' +"2), 0. 2#+.,- -)& ) .6 -)2-)&.
.$*.,8*1 2 14 :-.' +.$.:)) $.! ";)($& :.,8%. *.,)4 $(2.
7!4, .-. '.; ( :#(8 +., 7-. $(1! -(' !,& $'.$(.&( ,8-./ ":.(# +") +.!0.(.2* * ( $(' ) 9*7' -' +. $..(2 ($(215<)' !)$6)+,)-', (*; +" +.!2( ,&' +") +".2 ! -)) +"*()4 $*)3 7-&()/ 2 1!)(.")).
2(."# :1!1( :,0.!"-# 7 7' 4-)& +. $.! ";-)5 7!4-)-
* ) 0. .(! ,8-#' 7!4'.
4
/- ( 1. 01
iyxz
+
=
12−=i
iyxz
+
=
zxRe
=
zyIm
=
x
?
x
ϕ
0,2 "$$'(")25($& 7!4) +. $, !15<)' ( '': ! /$(2)&
$ *.'+, *$-#') 4)$,'), 9, ' -("-# 1-*6)) *.'+, *$-./ + " ' --./, !) " -6)"1 '.$(8 ) -,)()4-.$(8 1-*6)/ *.'+, *$-
-./ + " ' --./, )-( 0")".2-) 1-*6)/ *.'+, *$-./ + " ' --./
$ )$+.,87.2-) ' )-( 0",8-#3 ."'1, .%), ( .")) 2#4 (.2, "7,.; -)& 2 "&! ."-.
§ 1. .
0012 2 01
)$,.
!)-)6, (*&, 4(.
, 0! ) – ! /$(2)( ,8-# 4)$,, i – '-)'&
, -7#2 ($& .
)$,. z )7.:"; ($& - *.'+, *$-./ +,.$*.$() ,):. (.4*./ $
*.."!)-(') ) , ,):. 2 *(.".', $. !)-&5<)' -4,. *.."!)-(
$ 9(./ (.4*./ (")$. 1.1).
y
y
0
. 1.1
z
$$'.(")' (") ."'# *.'+, *$-.0. 4)$,.
:
,
0!
)
– $..(2 ($(2 --. ! /$(2)( ,8-& ) '-)'&
4$() *.'+, *$-.0. 4)$, z.
5
#"7)2 ! *"(.2# *.."!)-(# ) (.4*) 4 " 7 +.,&"-#
ρ)ϕ
,
cos
ϕρ=
x
ϕρ=
sin
y
)
sin
(cos
ϕ+ϕρ=
i
z
=
ρ
ϕ
x
π
2
ϕ
];(
ππ−
ϕ
ϕ
ϕ
iyxz
−
=
iyxz
+
=
*.."!)-(#
9(./ (.4*) +. ."'1,'
,
+.,14)'
.
! $8
z
– *.'+, *$-.0. 4)$, – !,)- +.,&"-.0. "-
!)1$, $. !)-&5< 0. -4,. *.."!)-( $ (.4*./ z. ") 9(.'
22
yx +=ρ
.
0.,
' ;!1 .$85 ) +.,&"-#' "!)1$.' -7#25( -
y
*.'+, *$-.0. 4)$,,
tg
)0( ≠=ϕ x
.
"01' -( *.'+, *$-.0. 4)$, - .!-.7-4 - ) .+" ! ,& ($& $
(.4-.$(85 !. $,0 '.0., *"(-.0.
7-4 -)
!,& (.!-. )7 7-4 -)/ "-
. !,8- /% ' $.3"-)' .:.-
01' -( )7 +".' ;1(*
y
x
). ."'1,# !,& 0. .+" ! , -)&:
z
4 (2 "()IV)I2-3.!)($& $,),arctg
y
π+=ϕ
z
4 (2 "()II2-3.!)($& $,),arctg
x
y
π−
z
4 (2 "().III2-3.!)($& $,),arctg
x
i
⋅ρ=
ez
($, !1 ( )7 ."'1,# =/, "
i
ϕ+ϕ=
sincos
ie
).
(*, 2 72)$)'.$() .( " % './ 7!4) *.'+, *$-. 4)$,.
'.;-. +" !$(2)(8 .!-./ )7 1*7--#3 ."' (,0 :")4 $*./, (")-
0.-.' (")4 $*./, +.*7( ,8-./)
)$,.
.
i
⋅ρ=ϕ+ϕρ=+=
)sin(cos
eiiyxz
.
-7#2 ($& *
6
x
y
ϕ
–
4
0
.
1.
2
$$'.(")'
)(zfw
=
ivuw+=
),(yxuu
=
),(yxvv
=
vu,
ivuz
f
+
=
)
(
)(zfw
=
∂
∂
∂
∂
)
(
zfw
=
)
(
zfw
=
)
(
zfw
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
iyxz
+
=
4−=
x
)
sin
(cos
ϕ+ϕρ=
i
z
ρ)ϕ
! ! z, (-
*15, 4(.
, 0!
) '-)'& 4$() 1-*6))
1-*6)&
-7#2 ($& - - *.(.".' '-.-
,
(
– ! /$(2)( ,8-&
).
; $(2 , $,) 2 *;!./ (.4* a 9(.0. '-.; $(2 2#+.,-& ($& "2 -$(2.
)()(lim afzf
.
az=→
(1$,.2)& .%) – )'-) 1-*-
6)) *.'+, *$-./ + " ' --./
1-*6)&
xu∂
∂
v
=
y
,
u
y
∂
-7#2 ($& 2 - *.(."./ .:,-
v
−=
.
x
∂
$(), $,) .- !) " -6)"1 ' 2 *;!./ (.4* 9(./ .:,$(). *)'
.:"7.', 1$,.2)& .%) – )'- &2,&5($& 1$,.2)&') -,)()4-.$()
1-*6))
.
-,)()4 $*./ 1-*6))
.!-./ )7 ."'1,
+
v
i
∂
x
w
u
=
∂
∂
z
x
=
u
∂
x
−
u
=
i
∂
y
!! 1. " !$(2)(8 2 (")0.-.-
' (")4 $*./ ) +.*7( ,8-./ ."' 4)$-
,.
+−=
,. )$,.
iz 344
.
+−=
iz 344
(")$.
1.2) +" !$(2, -. 2 ,0 :")4 $*./ ."-
'
, 0!
,
=
y
34
.
(.:# +.,14)(8 (")0.-.' (")4 $*15
'.;-. -/() +.
−
u
i
y
∂
v
∂
y
=
v
y
∂
+
v
i
.
x
∂
iz 344 +−=
34
."'1 *.'+, *$-.0. 4)$,
-/! '
:
,
7
2222
4
−
x
ϕ
];(
ππ−
x
(
)
323
π
π
π+π
ϕ
8ie
zπ=
iz5
=
iz5
=
iyxz
+
=
0=x
5=y
)
sin
(cos
ϕ+ϕρ=
i
z
x
0=x
ϕ
iz5
=
iz5
=
ϕ
5
.
1.
3
8)34()4(
=+−=+=ρ yx
;
34
3
.
−=
tg
y
==ϕ
* ** 4)$,. "$+.,.; -. 2. 2(."./ 4 (2 "(), 2 *4 $(2
" ' 0,2-. 7-4 -) "01' -( )7 +".' ;1(*
.(-.% -)
y
π+=ϕ
arctg
.
") 9(.' +.,14 '
.0!
=
33
sin
2
– (")0.-.' (")4 $*& ."' *.'-
3
2
cos8 iz
3
−=π+−=π+−=ϕ arctgarctg .
=π+
+, *$-.0. 4)$,.
: -
, )$+.,871& $.-
.*7( ,8-& ."' *.'+, *$-.0. 4)$, )' ( 2)!
i
⋅ρ=
ez
.
!--.' $,14
2
3
.
!! 2. " !$(2)(8 2 (")0.-.' (")4 $*./ ) +.*7( ,8-./
."' 4)$,.
,. )$,.
.
(")$. 1.3) +" !-
$(2, -. 2 ,0 :")4 $*./ ."'
0
0!
,
" 3.!& * (")0.-.' (")4 $*./ ."'
.
,
,
-/! '
."'1, !,& -3.;! -)& 10,
, -. 10.,
, 0*. .+" ! ,& ($& +.$(". -) ' 4)$,
8
tg
222
550
yx
=+=+=ρ
.
y
=ϕ
- +")' -)', (* **
) "-
2 -
2
π
2
2
π+π
π
ii3
12+
−
iyxz
+
=
i31
−
),(yx
u
),(),()(yxivyxuz
f
+
=
34),(
+−+
=
yxxyyx
v
if31)0(
+
=
)(zfw
=
ivuw+=
iyxz
+
=
∂
∂
∂
∂
xv∂
∂
∂
∂
∂
x
(cos5
= iz ) +.*7( ,8-15
. " 71,8(( +.,14 ' (")0.-.' (")4 $*15
sin
)
+, *$-.0. 4)$,.
i
i
ϕ
=ρ=
2
5
eez
."'# *.'-
!! 3. #4)$,)(8
.
,. #+.,-)(8 ! /$(2)& $ *.'+, *$-#') 4)$,'), 7-4)(,
+" .:"7.22 2#"; -) , +" !$(2)(8 " 71,8(( 2 ,0 :")4 $*./,
(")0.-.' (")4 $*./ ),) +.*7( ,8-./ ."' . !--.' $,14 +.,14)' ,0 :")4 $*15 ."'1 2)!
, !,& 4 0. 1'-.;)' 4)$-
,)( ,8 ) 7-' -( ,8 !".:) - *.'+, *$-. $.+"&; --. * 7-' -( ,5 4)$,. (
−
2
i
=
+
31
i
!! 4. .$$(-.2)(8 ! /$(2)( ,8-15 4$(8
4 $*./ 1-*6))
4$(8
). " 71,8(( +.,14)'
−−
)31)(2(
ii
=
−+
)31)(31(
ii
−
91
2
362
+−−
iii
2
i
) 7!-. 1$,.2)
=
−−
−−=
i
7,01,0
.
71
i
10
-,)()-
, $,) )72 $(- '-)'&
.
,. 1-*6)&
-7#2 ($& -,)()4 $*./ 2 - *.(.-
"./ .:,$(), $,) .- !) " -6)"1 ' 2 *;!./ (.4* 9(./ .:,$(). $2.5 .4 " !8 1$,.2)&') !) " -6)"1 '.$() 1-*6))
*.'+, *$-./ + " ' --./
&2,&5($& 1$,.2)& .%)
– )'-
/! '
)
:
xu∂
∂
=
v
u
,
y
y
∂
v
−=
.
x
∂
yv∂
v
′
−+=
x
9
14)4(
+=
yyxxy
,
∂
v
x
∂
∂
∂
)(y
c
∂
)()14(ycy
′=+
−
if31)0(
+
=
)(zfw
=
0
=+=
iyxz
iivuw3=+
=
0=x
0=y
1)0,0
(=u, 3)0,0
(=v
C
u=)0,0(
1=C
′
−+=
∂
y
y
14)4( −=
xyxxy
.
14 (.' 1$,.2)/ .%) – )'- +.,14 ' !2 "2 -$(2:
u
x
=− 14 ,
y
-( 0")"1 ' +. + "2. )7 9()3 !213 "2 -$(2
2
0!
– - )72 $(-& 1-*6)&, 72)$&<& .( . /! ' @, +.!$(-
2)2
2
+−=
2. 2(.". "2 -$(2.
u
y ))(2()14(
=+−
y
∂
2
.,14)'
.0!
=+− )14( .
)(2),(
ycxxyxu
+−=
.
u
y
∂
+−=−= )(2)14(),(
ycxxdxxyxu
,
′
ycxx
.
y
2)14()(
0! " – +.$(.&--&.
*)' .:"7.', ! /$(2)( ,8-& 4$(8 )' ( 2)!
22
22),(
(.:# -/() ", 2.$+.,871 '$& 1$,.2) '
* **
, +.,14 '
. 7 + "2.0. "2 -$(2 $, !1 (
$, !1 (
22
22),(
Cyyxxyxu +−−−=
, +.9(.'1
. !"10./ $(.".-#,
! /$(2)( ,8-& 4$(8 )' ( 2)!
22
2
+−−=+−= Cyydyyyc
,
Cyyxxyxu +−−−=
.
.
) +") 9(.'
, 7-4)(,
122),(
+−−−= yyxxyxu
.
,
; )7 2(.".0.
. (*,
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]