Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по дискретной математике. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е. Н. Порошенко
Сборник задач
по дискретной математике
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
3-е издание, исправленное и дополненное
НОВОСИБИРСК
2023
УДК 519.1(076.1)
П598
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор C. В. Судоплатов,
канд. физ.-мат. наук В. Ю. Губарев
Порошенко Е. Н.
П598 Сборник задач по дискретной математике: учебное пособие /
Е. Н. Порошенко. — 3-е изд., испр. и доп. — Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2023. — 148 c.
ISBN 978-5-7782-5086-4
В пособии подобраны задачи по курсу дискретной математики, читаемому на
I–II курсах НГТУ. Кроме того, в нем содержится большое количество примеров,
способствующих самостоятельной работе и приобретению навыков решения задач.
Работа подготовлена на кафедре алгебры и математической логики
В авторской редакции
УДК 519.1(076.1)
ISBN 978-5-7782-5086-4
c
ПорошенкоЕ. Н., 2013, 2018, 2023
c
Новосибирский государственный
технический университет, 2013, 2018, 2023
Предисловие к третьему изданию
Как и между первым и вторым изданиями сборника задач, между вторым и третьим прошло около пяти лет. К сожалению, во втором издании не получилось исправить все ошибки (основная часть ошибок приходится на раздел ответов). Кроме
того, по итогам десятилетнего использования сборника задач обнаружился недостаток в количестве технических задач по некоторым темам. В настоящем издании
список задач был несколько расширен, а обнаруженные ошибки были исправлены. В основном были добавлены задачи в главы 5 и 6. В большинстве своем эти
изменения привели лишь к увеличению числа пунктов в той или иной задаче или
добавлению задач в конец раздела, что не привело к изменению нумерации задач,
перешедших из предыдущего издания. Однако в разделах 1.1, 1.2, 2.1 пришлось изменить нумерацию с целью сохранения структуры сборника задач. Также пришлось
поменять порядок пунктов в задачах 1.6.1 и 4.4.4.
Кроме того, в некоторых задачах (в основном теоретических) были изменены
формулировки с целью сделать их более четкими и ясными.
Наконец, в процессе использования задачника для проведения практических
занятий стала очевидной необходимость добавления в него раздела, посвященного
взвешенным графам. Соответственно, в сборник задач был добавлен раздел 5.6.
Автор хотел бы выразить благодарность рецензенту Губареву В. Ю. за высказанные ценные замечания по поводу данного сборника задач. Основная часть
замечаний была учтена при подготовке этого издания, а б´ольшая часть остальных
будет учтена при подготовке следующего издания.
3
E. Н. Порошенко
Предисловие ко второму изданию
Предыдущее издание сборника задач появилось около пяти лет назад. Как зачастую бывает в первых изданиях, в нем было обнаружено довольно большое количество опечаток и неточностей. С накоплением некоторой критической массы
опечаток и неточностей возникла необходимость в новом издании, в котором они
были бы исправлены. Тем не менее, автор будет признателен читателям за помощь
в обнаружении незамеченных ранее опечаток.
Кроме того, во втором издании расширен набор задач для работы на практических занятиях, а также для самостоятельной работы студентов. В основном
задачи были добавлены в разделы первых четырех глав. В подавляющем большинстве случаев новые задачи либо помещены в конце списка раздела, (в случае если
задача принципиально отличается от приведенных ранее), либо (в случае, когда
задача носит технический характер и добавляется к набору задач на ту же тему)
добавлены в тот же номер в качестве новых пунктов, причем эти пункты также
обычно размещены в конце номера.
Нумерация глав и разделов сохранена как в первом издании, как и способ
нумерации задач (каждая задача нумеруется тремя числами, первое из которых
задает номер главы, второе — номер раздела, третье — номер задачи в разделе).
Во втором издании сохранен также и список основных обозначений, претерпевший
незначительные изменения и помещенный, как и в первом издании, в начало сборника задач.
E. Н. Порошенко
4
Предисловие к первому изданию
Данное пособие возникло, как естественное продолжение сборника задач [4], имевшего целью осуществить подборку задач по основным темам, традиционно входящим в курс дискретной математики, читаемый в НГТУ.
Следует отметить, что автор не преследовал цели создавать теоретический
учебник. Таковые учебники уже существуют, в частности, можно отметить учебник
С. В. Судоплатова и Е. В. Овчинниковой [5]. Кстати говоря, данное пособие следует
использовать как раз вместе с этим учебником.
В данном же пособии автор ставит гораздо менее глобальную цель: восполнить недостаток в примерах, который обычно возникает при преподавании почти
всех математических (и не только) курсов и, в частности, курса дискретной математики. Таким образом, автор попытался использовать подход, наиболее удачно
применяемый при обучении студентов технических (то есть прикладных) специальностей, разбив каждый раздел данного пособия. В первой части разбираются
примеры более или менее типичных задач из раздела, при этом делаются акценты
на методы, используемые при решении стандартных задач того или иного раздела.
Во второй части предлагаются задачи для решения на практических занятиях и в
процессе самостоятельной подготовки студентов. При этом, кроме типовых задач
приведены и задачи, требующие более глубокого понимания материала, в частности, так называемые “задачи на доказательство”. В конце пособия приведены
ответы ко всем “вычислительным” задачам.
Как уже отмечалось, наибольший эффект от самостоятельной работы по
освоению курса “Дискретная математика” достигается, если использовать данное
пособие вместе с учебником [5]. Вначале следует внимательно изучить теоретический материал по этому учебнику, после чего следует переходить к разбору примеров настоящего учебного пособия, возвращаясь по мере необходимости к тому или
иному разделу учебника [5]. Для удобства читателя, в решениях примеров содержатся ссылки на теоремы, формулировки которых приведены в [5] или на разделы,
в которых излагается материал, необходимый для решения той или иной задачи.
Также ссылки на учебник [5] содержатся и в прилагаемом списке основных обозначений, по причине краткости комментариев к обозначениям в данном пособии.
Лишь после того, как достигнуто принципиальное понимание методов, используемых при решении примеров, следует переходить к самостоятельному решению
задач из второй части соответствующего раздела.
Учебное пособие содержит шесть глав, разбитых на разделы и охватывающих
следующую тематику.
1. Основы теории множеств. Отношения и функции.
2. Алгебраические системы.
3. Дистрибутивные решетки и булевы алгебры.
4. Системы счисления. Основы теории чисел.
5. Избранные разделы теории графов.
6. Алгебра логики.
К сожалению, задачников, охватывающих все перечисленные разделы,
очень мало. В качестве исключения можно привести, пожалуй, только задачник Г. П. Гаврилова и А.А. Сапоженко [2, 3], однако, он предназначен скорее для
студентов-математиков, к тому же со времени последнего издания этого задачника прошло уже 20 лет. Так что данное пособие в какой-то степени закрывает этот
пробел.
В заключение, автор хотел бы выразить искреннюю благодарностью А.В. Чехонадских, любезно предоставившему часть задач для этого пособия. Кроме того,
автор будет благодарен за предложения и замечания, высказанные по поводу данного учебного пособия. Их можно отправлять по адресу algebra@nstu.ru.
E. Н. Порошенко
5
Список обозначений
A ⊕B — кольцевая сумма (симметрическая разность) множеств A и B.
Определяется как (A \B) ∪(B \ A) (стр. 12, 16
δP— область определения отношения P (стр. 13, 21∗).
ρP— область значений отношения P (стр. 13, 21∗).
idA—тождественное отношение, то есть отношение {(x, x) |x ∈ A}
(стр. 22, 21∗).
[P ] — матрица бинарного отношения P (стр. 18, 34∗).
P(A) — булеан (множество всех подмножеств) множества A (стр. 31,
15∗).
A1× A2× ··· × An— декартово произведение множеств, то есть мно-
жество {(a1, a2, . . . an) |a1∈ A1, . . . , an∈ An} упорядоченных наборов
длины n, первый элемент каждого из которых лежит в множестве A1,
второй — в множестве A2и так далее. (стр. 11, 19∗).
∗ 1
).
An— декартова степень множества. По определению
An= A × A ×···×A
| {z }
n раз
. (стр. 13, 19∗).
BA— множество всех функций f : A → B (стр. 40, 25∗).
N = {0, 1, 2, . . . } — множество натуральных чисел (стр. 11, 14∗).
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } — множество целых чисел (стр. 9, 14∗).
Q =
x
x =
p
; p, q ∈ Z, q 6= 0— множество рациональных чисел
q
(стр. 29, 14∗).
R — множество действительных чисел (стр. 10, 14∗).
C = {x + yi |x, y ∈ R} — множество комплексных чисел (стр. 24, 14∗).
P + Si = {x + yi |x ∈ P, y ∈ S} (стр. 43), где P и S — некоторые чис-
ловые множества.
P+— множество всех положительных чисел из P (стр. 14).
+
P
— множество всех неотрицательных чисел из P (стр. 15).
0
P−— множество всех отрицательных чисел из P (стр. 17), в последних
1
Здесь и далее знаком∗отмечены номера страниц, из книги [5]
Список обозначений 7
трех обозначениях P = N, Z, Q, R.
P∗— множество всех ненулевых чисел из P (стр. 21), здесь P =
N, Z, Q, R, C.
nP+ r — множество всех чисел множества P, дающих при делении на n
остаток r (стр. 31), где P = N или Z; в частности, nP — это множество
чисел множества P кратных n (стр. 9).
Zn— алгебра h{0, 1, 2, . . . , n −1}; ⊕, ∗i, где a ⊕b и a ∗b определены, как
остатки от деления соответственно a + b и ab на n (стр. 46, 102∗).
∗
Z
— группа всех обратимых (по умножению) элементов множества Z
n
(стр. 47);
в двух последних обозначениях n — целое число, большее 1.
H — группа кватернионов, то есть группа, носителем которой является
восьмиэлементное множество {±1, ±i, ±j, ±k} с операцией умножения,
определенной следующим образом: i2= j2= k2= −1, ij = −ij = k,
jk = −kj = i, ki = −ik = j; (стр. 47).
n
Cn— циклическая группа c n элементами (стр. 47), где n — целое чис-
ло большее 1.
F[x] — множество многочленов от переменной x с коэффициентами из
множества F (стр. 29).
deg f — степень многочлена f (стр. 43).
Fn[x] — множество многочленов степени n от переменной x с коэффи-
циентами из множества F (стр. 29).
F6n[x] — множество многочленов степени не выше n от переменной x с
коэффициентами из множества F (стр. 43).
M(F) — множество всех матриц с элементами из множества F (стр. 43);
M
(F) — множество матриц размера n × m с элементами из множе-
n×m
ства F (стр. 43).
Mn(F) — множество квадратных матриц n ×n с элементами из множе-
ства F (стр. 43).
det — определитель матрицы (стр. 24).
O — нулевая матрица (стр. 44).
Tn— группа симметрий правильного n-угольника (стр. 47).
V3— множество векторов в пространстве (стр. 24).
{x} — дробная часть числа x (стр. 48).
(n, m) — наибольший общий делитель чисел m и n (стр. 63, 97∗).
[n, m] — наименьшее общее кратное чисел m и n (стр. 63, 98∗).
(u, v) — дуга в графе, идущая из вершины u в вершину v (стр. 78,
118∗).
8 Список обозначений
[u, v] — ребро в графе, соединяющее вершины u и v (стр. 78, 119∗).
AG— матрица смежности графа G, то есть матрица, в которой для
любой пары чисел i и j на пересечении i-ой строки и j-го столбца стоит
единица тогда и только тогда, когда в графе G есть дуга (i, j), а на
остальных местах стоят нули. (стр. 79, 121∗).
A
— матрица маршрутов длины k графа G, то есть матрица, в ко-
G,k
торой для любой пары чисел i и j на пересечении i-ой строки и j-го
столбца стоит число маршрутов длины k, начинающихся в i-ой вершине
и заканчивающихся в j-ой. (стр. 90, 131∗).
BG— матрица инцидентности графа G (стр. 80, 122∗).
e(v) — эксцентриситет вершины v (стр. 94, 134∗).
ρ(v, u) — расстояние между вершинами v и u (стр. 97, 135∗).
r(G) — радиус графа G (стр. 94, 135∗).
d(G) — диаметр графа G (стр. 94, 134∗).
Kn— полный n-вершиник, то есть граф, у которого каждая его вершина смежна со всеми остальными вершинами G (стр. 98, 135∗).
K
— полный двудольный (m, n)-вершинник, то есть граф, вершины
m,n
которого разбиваются на два множества, содержащие, соответственно,
n и m вершин, причем каждая его вершина из первого множества смежна со всеми вершинами из второго. (стр. 97, 164∗).
Глава 1
Элементы теории множеств
1.1 Множества и операции над ними
Пример 1.1. Множество A = {понедельник, вторник, среда, четверг,
пятница, суббота, воскресенье} состоит из всех дней недели, а множество B = {x ∈ Z |x = 3y для некоторого y ∈ Z} — это множество всех
целых чисел, кратных трем.
Пример 1.2. Перечислить все элементы множества
A =1, 2, {1, 2}, {1}.
Решение. Множество A состоит из четырех элементов: 1; 2; множество,
состоящее из 1, 2; множество, состоящее из 1. Следует отметить, что
1 и множество, состоящее из 1, — это различные элементы множества
A1.
Пример 1.3. Для множества A = {1, 2, 3} найти его булеан
Доказательство. Очевидно, что булеаном множества A, то есть мно-
жеством его подмножеств, является
P(A) =∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A.
Пример 1.4. Доказать, что множество 6Z является подмножеством
множества 3Z.
Решение. Пусть x — элемент множества 6Z, то есть x делится на 6,
тогда x = 6y для некоторого целого числа y. Имеем 6y = 3(2y), причем
2y целое. Отсюда следует, что x делится на 3 и, следовательно, является
элементом множества 3Z, что и требовалось доказать.
1
Удобно рассматривать множество, например, как мешок, в котором “лежат” его элементы.
Тогда 1 — это просто элемент “лежащий” в мешке, символизирующем множество A, а множество,
состоящее из 1 — это мешок, в котором “лежит” 1, который, в свою очередь, “лежит” в мешке,
символизирующем множество A.
10 Глава 1. Элементы теории множеств
Пример 1.5. Доказать, что множества A = {x ∈ R ||tg x| = 1} и
B =x
x =
(2m + 1)π
для некоторого целого числа mравны.
4
Доказательство. Пусть x ∈ A. Тогда |tg x| = 1, то есть tg x = 1 или
tg x = −1. В первом случае, решая уравнение, получаем
x =
π
+ πn =
4
(4n + 1)π
4
(2(2n) + 1)π
=
4
.
Во втором случае —
x =
3π
+ πk =
4
(2(2k + 1) + 1)π
.
4
Таким образом, доказано, что A ⊆ B.
(2m + 1)π
Пусть теперь x ∈ B, то есть x =
для некоторого целого
4
числа m. Вычислив значение tg x, получаем, tg x = 1, если m четно,
или tg x = −1, если m нечетно. Следовательно, B ⊆ A, что и завершает
доказательство.
Операции над множествами
Пример 1.6. Доказать, что для любых множеств A, B и C выполня-
ется равенство A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩(A ∪C).
Доказательство. Для доказательства необходимо проверить, что имеют место два включения: A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) и
(A ∪B) ∩(A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C).
Пусть x ∈ A ∪ (B ∩ C). Тогда x ∈ A или x ∈ B ∩ C.
Если x ∈ A, то, очевидно, x ∈ A ∪ B и x ∈ A ∪C. Следовательно,
x ∈ (A ∪ B) ∩(A ∪ C).
Если же x 6∈ A, то x ∈ B ∩ C. Значит x ∈ B и x ∈ C. Получаем
x ∈ A ∪ B и x ∈ A ∪ C, то есть x ∈ (A ∪B) ∩(A ∪ C). Таким образом,
A ∪(B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩(A ∪ C).
Пусть теперь x ∈ (A ∪B) ∩(A ∪ C). Тогда x ∈ A ∪ B и x ∈ A ∪C.
Так как x ∈ A ∪ B, получаем x ∈ A или x ∈ B.
Если x ∈ A, то x ∈ A ∪ (B ∩ C).
Если же x 6∈ A, то x ∈ B и в силу того, что x ∈ A ∪ C, получаем
x ∈ C. Значит x ∈ B ∩ C, то есть x ∈ A ∪ (B ∩ C). То есть (A ∪ B) ∩
(A ∪C) ⊆ A ∪(B ∩ C).
Из доказанного получаем A ∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩(A ∪ C).
Пример 1.7. Доказать, что для любых множеств A и B справедливо
равенство A ∩ (B\A) = ∅.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]