Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по дискретной математике. Учебное пособие
.pdf
5.1. Способы задания графов. Изоморфизмы графов 81
а два других — по три. Наконец, в обеих матрицах по две единицы на
главной диагонали. Таким образом, пока мы не можем утверждать, что
графы не являются изоморфными.
Отметим, что если графы изоморфны, то, очевидно, у матрицы
смежности столбцы с тремя единицами должны переходить в столбцы с тремя единицами, а столбцы с одной единицей — в столбцы с
одной единицей. Таким образом столбцы 1 и 4 матрицы A
оказаться на позициях 2 и 3 матрицы A
и наоборот. Правда мы до
G
2
должны
G
1
сих пор не знаем, какой столбец должен переставляться с каким. Пусть
первый столбец матрицы A
переставляется со вторым, а третий с чет-
G
1
вертым (и строки переставляются таким же образом). В итоге, получим
матрицу
0 0 1 1
C =
0 1 1 0
0 1 1 0
.
1 1 0 0
Таким образом, мы получили матрицу, равную A
, а значит, графы
G
2
G1и G2изоморфны.
Отметим, что если бы не была равна A
, то все равно задача упро-
G
2
стилась, так как столбцы с одинаковым количеством единиц оказались
на одних и тех же позициях в матрицах и A
, а значит, можно было
G
2
бы отдельно рассматривать группы столбцов (или строк) с одинаковым
количеством единиц и искать перестановку, переставляющую их между
собой.
Пример 5.7. Являются ли изоморфными графы G1и G2, заданные
матрицами инцидентности?
1 0 1 0 0 1 0
B
0 1 0 0 −1 0 −1
=
G
1
0 0 −1 1 0 0 1
;
−1 −1 0 0 1 0 0
0 0 −1 0 0 1 −1
B
0 1 0 1 −1 0 0
=
G
2
1 0 1 0 1 0 0
.
0 −1 0 0 0 −1 1
Решение. Опять начнем с установления некоторых свойств матриц, которые позволят нам доказать, что графы неизоморфны или дадут ин-
82 Глава 5. Теория графов
формацию о том, каковы должны быть перестановки строк и столбцов
в B
, чтобы получить B
G
1
.
G
2
Итак, легко видеть, что оба графа имеют две петли, причем в первом
графе петлям соответствуют столбцы номер 4 и 6, а во втором — столбцы номер 1 и 4. Рассмотрим строки в которых стоят единицы, соответствующие петлям. В первой матрице — это первая и третья строки, во
второй — вторая и третья. В первой строке B
и в третьей строке B
G
1
G
кроме единицы, соответствующей петле, еще две единицы, а в третьей
строке B
и второй строке B
G
1
— еще одна единица и одна минус еди-
G
2
ница. Отсюда получаем, что если графы изоморфны, то перестановка
строк матрицы инцидентности переставляет первую строку матрицы
B
на третью позицию, а третью строку этой матрицы — на вторую
G
1
позицию (по аналогичной причине). При указанной перестановке строк
матрицы B
получается матрица
G
1
0 1 0 0 −1 0 −1
C =
0 0 −1 1 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0
.
2
−1 −1 0 0 1 0 0
Поменяем в полученной матрице шестой столбец с первым, получим
матрицу
0 1 0 0 −1 0 −1
D =
0 0 −1 1 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0
,
0 −1 0 0 1 −1 0
в которой столбцы, отвечающие петлям, находятся на тех же позициях,
что и в матрице B
.
G
2
Теперь мы знаем, что строки номер 2 и 3 попали на свои места. В
строке номер 2 матрицы D две единицы, одна из которых соответствует петле, а вторая, находящаяся в столбце номер 7, — дуге, идущей
из вершины 2 в вершину 1. В строке номер 2 матриц B
также две
G
2
единицы, причем также одна из них соответствует петле, а другая, находящаяся в столбце номер 2 — дуге, идущей из вершины 2 в вершину
4. Таким образом, если изоморфизм существует, то столбец номер 7
должен быть переставлен на позицию 2. Кроме того, должны быть переставлены строки 1 и 4. Переставив эти строки, а также столбцы номер
5.1. Способы задания графов. Изоморфизмы графов 83
2 и 7, мы получим матрицу
0 0 0 0 1 −1 −1
F =
0 1 −1 1 0 0 0
1 0 1 0 0 1 0
.
0 −1 0 0 −1 0 1
Теперь все строки попали на свои места и нам осталось переставить
надлежащим образом столбцы (если это возможно). Легко видеть, что
перестановка столбцов матрицы D, в результате которой получается
матрица B
переставляет столбец номер 3 на позицию 5, столбец номер
G
2
5 на позицию 6, а столбец номер 6 на позицию 3. Таким образом, в силу
[5], теорема 4.1.2, графы G1и G2изоморфны.
5.1. Задачи
5.1.1. Дан граф, найти его матрицу смежности, матрицу инцидентно-
сти, построить структуру смежности и структуру списка дуг, задающие
этот граф.
а)
d
q q
1
2
-
3
@
d
4 5
@
@
г)
d d
1
q q
2
3
*
?
4
@q q q
б)
1
@
?
2
@
@@
d
3
q q
d
4
d
qq q
5
д)
qq q
5
q
6
d
1
H
HY
H
H
q q
2
H
H
H
H
3
*
@
6
@I
@
@
H
H
H
H
@@@@
HHHH
d d
4
qq q
5
q
6
в)
1
d
2
е)
1
?
q
d d
2
d
3
@@
@@
4
@
@
6
q
qq q
5
-q q
q
6
q
d
qq q
@
@
@R
@
5
q
6
3
@
@
4
5.1.2. Найти матрицы смежности и инцидентности для мультиграфа.
а)
1
2
d
r
Y
r
d
3
-
r r
r
d
h
4
5
б)
1
2
r
?
r
j
*
h
d
r
@
6
r
3
@
@
@
@
4
@
@
@
@
@R
5
r
@
6
M
@
r
6
в)
3
H
H
H
H
-
H
H
H
H
-
r
H
H
r
4
H
H
H
H
H
H
H
H
r
1
H
H
H
H
? ?
N
r
d
2
Hj
H
г)
h
d
5
r
r
6
r
1
6 6
r
2
-
1
-
r
r
d
3
4
q
6
d
r
r
d
h
5
84 Глава 5. Теория графов
5.1.3. Построить граф G = hV, Ei, если:
а) V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 2), [2, 3],
[2, 4], (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 1)};
б) V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {(1, 2), [1, 3], (1, 5), (2, 2), [2, 3], (2, 5),
(3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), [4, 5], (5, 3), (5, 5)};
в) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = {(1, 3), [1, 4], (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2),
[2, 3], (2, 6), (3, 6), (4, 2), (4, 3), [4, 6], (5, 1), (5, 3), (6, 3)}.
г) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = {(1, 1), [1, 5], (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 4),
(3, 1), (3, 3), [3, 4], (4, 2), (4, 6), (5, 2), (5, 3), [5, 6], (6, 3)}.
5.1.4. Построить (мульти)граф, заданный матрицей смежности.
а)
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1 1
; б)
0 1 0 1
1 0 1 0
1 1 1 0
; в)
1 0 1 2
0 0 2 3
0 2 1 0
;
г)
1 1 0 0
2 1 0 2
1 0 0 3
0 2 1 1
; д)
1 0 1 1
0 1 1 1 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 1
; е)
0 0 0 2
0 1 1 1 0
1 2 0 1 1
2 0 0 0 1
3 0 0 2 2
.
2 0 1 0
0 1 0 0 1
1 1 3 1 1
5.1.5. Построить (мульти)граф, заданный матрицей инцидентности:
1 0 0 0 0 0 0 0 −1 −1
а)
0 1 0 −1 0 1 −1 1 1 0
0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
;
−1 0 −1 1 0 0 0 −1 0 0
0 1 0 1 −1 0 −1 1 1 0 0
б)
1 0 1 0 0 0 1 −1 0 −1 0
−1 0 −1 −1 0 1 0 0 0 1 1
;
в)
0 0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0
1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0
0 −1 0 1 0 1 −1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 −1
0 1 −1 −1 1 0 0 0 0 −1 0
−1 0 0 0 0 0 0 −1 0 1 0
;
5.1. Способы задания графов. Изоморфизмы графов 85
1 0 1 1 0 0 −1 0 1 0 0 1 0 0 0 −1
0 1 −1 0 0 0 1 0 0 1 0 −1 −1 0 0 0
−1 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 −1 0 1 0 0 1
г)
0 −1 0 0 1 0 0 1 −1 0 1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0
.
5.1.6. Построить граф со множеством вершин V = {0, 1, 2, 3}, заданный списком дуг:
a) m = (0, 0, 1, 1, 1, 2, 3), n = (1, 0, 2, 3, 1, 3, 2);
б) m = (0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3), n = (2, 1, 0, 3, 1, 2, 1, 1).
5.1.7. Построить граф, заданный структурой смежности.
а)
вершины списки последователей
0 0
1 1, 2, 3
2 0, 1
3 1, 2, 3
б)
вершины списки последователей
0 0, 2, 4
1 3
2 0, 1
3 1, 4
4 0
5.1.8. Изоморфны ли графы, заданные матрицами инцидентности:
а)
б)
в)
1 −1 1 0 −1 0
−1 0 0 0 1 1
0 1 0 1 0 −1
1 1 0 0 −1 0
0 −1 −1 0 1 1
−1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 −1
1 0 −1 1 −1 0
1 −1 0 0 0 1
и
0 0 1 1 0 −1
−1 1 −1 0 1 0
0 1 0 0 1 −1
и
1 −1 −1 0 0 1
−1 0 1 1 0 0
0 −1 0 1 −1 1
и
0 0 1 0 1 −1
;
;
;
г)
−1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 −1 −1
0 1 −1 −1 1 0
−1 0 1 0 0 1
1 1 0 −1 0 0
1 0 −1 0 1 0
и
0 −1 0 1 −1 1
−1 1 1 −1 0 0
5.1.9. Изоморфны ли графы, заданные матрицами смежности:
?
86 Глава 5. Теория графов
a)
в)
1 0 1 1
0 0 1 0
1 0 1 1
0 1 1 0
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
и
0 1 1 1
1 1 0 0
1 1 0 0
1 0 1 0
и
0 0 1 0
1 0 0 1
; б)
; г)
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 1 1
0 0 1 0
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
1 1 0 0
и
0 0 0 1
1 1 0 0
и
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 0
0 1 0 0
0 1 1 1
0 0 1 0
;
?
5.1.10. Доказать методом математической индукции, что число ребер
n(n + 1)
в неорграфе (включая петли) не превосходит
, где n — число
2
вершин графа.
5.2 Операции над графами
Пример 5.8. Пусть G — граф с множеством вершин V = {1, 2, 3, 4}.
Какие из графов G1и G2являются подграфами, а какие — лишь частями графов?
1
q q
6
q q
3 4
-
G
2
y
?
f
1
q q
6
q
3
G
2
y
f
1
1
qq q
3
G
2
2
Решение. G1является подграфом графа G с множеством вершин V =
{1, 2, 3}, так как все дуги графа G соединяющие две вершины из V
есть и в G1. G2подграфом графа G не является, так как в G2нет дуги
(1, 3), но является частью этого графа.
Пример 5.9. Пусть G = hV ; Ei — граф:
3
y
f
?
1
q q
?
q q
2 4
G
Граф G1получен из графа G добавлением вершины 5, графы G2, G3,
G4получены добавлением ребер (5, 6), (4, 5) и (2, 1), соответственно,
5.2. Операции над графами 87
граф G5— удалением из графа G дуги (2, 3), граф G6— удалением
вершины 4, граф G7— отождествлением вершин 2 и 4, а граф G8—
стягиванием дуги (1, 2). Построить графы G1, . . . , G8.
Ответы. Очевидно, имеем:
1
2 4
3 5
y
1
q q q
?
q q
2 4
G
1
q q
?
q
2
G
f
?
3
3
y
f
6
3 5
y
q q q
?
q q
G
f
?
1
1
q q
K
N
q q
2 4
1
q q
A
3 5
y
1
q q q
?
q q
2 4
3
y
f
G
A
A
A
A
AU
A
G
q
4
2,4
7
?
3
y
f
G
f
? ?
2
1
q q
?
q q
2 4
1,2
y
f
q
q
6
3
y
f
?
G
5
3
y
f
q
?
q
4
G
8
Пример 5.10. Для графа без петель G = hV ; Ei найти G.
2 1
q q
@
q q
3 4
@
@
@
@
@
G
Ответ. Граф G выглядит следующим образом:
-
1
.
2
q q
q q
3 4
G
88 Глава 5. Теория графов
Пример 5.11. Для графов G1= hV1; E1i и G2= hV2; E2i, изображенных ниже, найти графы G1∪ G2, G1∩ G2, G1⊕ G2, G1+ G2, G1× G2.
2
q q
@
@I
@
q q
3 4
@
G
@
@
@
1
1
y
f
2
q q
?
q q
3 0
G
1
y
f
6
2
Ответы. Исходя из определений операций над графами, получаем
1
y
@
@
@
@
f
2
2
q q q
@
@I
@
@
@
@
@
@
q q
3 4
G1∪ G
0
2
q q
?
q
3
G1∩ G
1
y
f
2
2
q q q
@
@I
6
@
@
@
@
@
@
q q
3 4
G1⊕ G
@
@
@
@
1
2
0
(1,1)
-
-
-
-
y
f
q
(2,1)
y
f
q
y
f
q
U
y
f
q
(1,2) (1,3)
-
q
(2,2) (2,3)
-
q
-
q
U
-
q
G1× G
-
q
-
q
-
q
U
-
q
2
y
@
@
f
1
2
2
q q q
@
@
@
@
q q
3 4
G1+ G
(1,0)
q
(2,0)
q
0
q
(3,0) (3,1) (3,2) (3,3)
U
q
(4,0) (4,1) (4,2) (4,3)
5.2. Задачи
5.2.1. Дан граф G. Построить графы, полученные из G добавлением
вершины 0, добавлением дуги e, удалением вершины v0, отождествлением вершин v1и v2.
a)
1
2
q
@
?
q
e
@
@
@
-
e
q q
3
@
q
4
5
б)
q
1
@
@
@
q
e e
2
-
q q
@
@
-6
q
в)
e
3
4
5
e
q
1
q
e
2
-
q q
3
?
q
4
q
5
e = (5, 4), v0= 1,
v1= 1, v2= 3;
e = (2, 6), v0= 1,
v1= 2, v2= 5;
e = (6, 7), v0= 2,
v1= 4, v2= 5;
5.3. Маршруты. Достижимость. Связность 89
г)
1
2
q
?
q
q q
6
q
e
3
4
-
e = (2, 4), v0= 3,
v1= 2, v2= 5;
д)
e
5
e e
q
1
@
@
@
@
@
@
6
q
2
e = (3, 5), v0= 4,
v1= 2, v2= 3;
q q
3
@
@
@R
@
q
e
4
е)
5
q
1
@
6 6
@I
@
@
@
@
q
2
@
@
e = (5, 2), v0= 3,
v1= 1, v2= 3.
e
q q
3
-
@
@
q
4
*
5
5.2.2. Построить дополнение графа:
a)
1
2
q
q
q
@
?
q
3
@
@
@
@
-
q
4
5
б)
q
1
@
@
@I
@
@
q q
2
@
@
q
@
3
@
4
@I
@
@
@
в)
q
H
1
H
6 6 6
H
-
@
q
5
q q
i
2
H
H
q
H
3
-
q
*
5
H
H
?
H
H
4
q
6
5.2.3. Даны графы G1и G2. Построить графы G1∩G2, G1∪G2, G1⊕G2,
G1+ G2, G1× G2:
a) G
q
1
q
2
1
q
6
q
e
3
4
5
4
G
2
e
q q
q
e
e
6
б) G
q
1
@
@
@I
6
@
@
q
2
@
1
@
e
q
3
q
4
G
2
@
@
@
-
@
q
6
q
e
q
0 1
@
2
5.3 Маршруты. Достижимость. Связность
Пример 5.12. Найти матрицу компонент сильной связности графа G:
2
y
@
@R
@
f
6
1
q q
@
@
@
@
q q
3 4
G
Решение. Воспользуемся методом из [5], § 4.3. Сначала найдем матрицу
смежности графа G. Имеем
0 0 1 1
AG=
0 1 0 0
1 1 0 0
.
0 1 1 0
90 Глава 5. Теория графов
Так как в графе G четыре вершины, найдем A
1 2 1 0
A
=
0 1 0 0
0 1 1 1
2
G
, A
3
=
G
1 2 0 0
2
G
1 3 1 1
0 1 0 0
1 3 1 0
0 2 1 1
и A
3
:
G
.
Следовательно, получаем
3 5 3 2
B = E + AG+ A
2
G
+ A
=
0 4 0 0
2 5 3 1
3
G
.
1 5 2 2
Отсюда находим матрицы достижимости и контрдостижимости:
C =
1 1 1 1
0 1 0 0
1 1 1 1
, Q = CT=
1 0 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1
.
1 1 1 1
1 0 1 1
Наконец, найдем матрицу компонент сильной связности:
S = C ∗ Q =
1 1 1 1
0 1 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 1
∗
1 0 1 1
1 0 1 1
=
1 0 1 1
0 1 0 0
1 0 1 1
1 0 1 1
.
По матрице компонент сильной связности можно сделать вывод, что
в графе G две компоненты сильной связности. Одна состоит из вершин
1, 3, 4, а вторая — только из вершины 2.
5.3. Задачи
5.3.1. а) Доказать, что если в неориентированном графе существует
маршрут, соединяющий две вершины, то существует и простая цепь,
соединяющая эти вершины.
б) Доказать, что если две вершины взаимно достижимы, то существует
соединяющий их маршрут, длина которого не превосходит |V |−1, где
V — множество вершин графа.
5.3.2. Пусть GhV ; Ei — граф. Доказать, что отношение P ⊆ V2, опре-
деленное по правилу P = {(vi, vj) |viи vjвзаимно достижимы} является эквивалентностью.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]