Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по дискретной математике. Учебное пособие
.pdf
1.1. Множества и операции над ними 11
Доказательство. Так как пустое множество является подмножеством
любого множества, нам осталось доказать, что A ∩(B\A) не содержит
ни одного элемента, а значит, является подмножеством ∅.
Пусть x ∈ A ∩(B\A). Тогда x ∈ A и x ∈ B\A. Однако, из второго
выражения следует, что x ∈ B и x 6∈ A, что противоречит первому
выражению. Таким образом, доказано включение A ∩ (B\A) ⊆ ∅, а
вместе с ним и равенство A ∩ (B\A) = ∅.
Пример 1.8. Доказать, что для любых множеств A, B и C выполнено
равенство (A ∩ B) ×C = (A × C) ∩(B × C).
Доказательство. Пусть x ∈ (A ∩B) ×C. Тогда x = (y, z), причем y ∈
(A ∩ B), а z ∈ C. Отсюда следует, что y ∈ A и y ∈ B. Соответственно,
x = (y, z) ∈ A ×C и x ∈ B ×C. Следовательно, x ∈ (A ×C) ∩(B ×C).
Таким образом, доказано, что (A ∩ B) ×C ⊆ (A × C) ∩(B × C)
Пусть x ∈ (A ×C)∩(B ×C), тогда x ∈ A ×C и x ∈ B ×C. Отсюда
следует, что x = (y, z). Из первого утверждения получаем y ∈ A и
z ∈ C, а из второго, что y ∈ B и z ∈ C. Таким образом, y ∈ A ∩ B и
z ∈ C, следовательно, x ∈ (A∩B)×C. Получили, что (A×C)∩(B×C) ⊆
(A ∩ B) ×C. Следовательно, (A ∩ B) × C = (A × C) ∩(B × C), что и
требовалось доказать.
1.1. Задачи
1.1.1. Перечислить элементы множеств:
а) A = {x ∈ N |x2− 5x 6 14}; б) B =x ∈ Z
1
< 3x6 9;
5
в) A ∪ B; г) A ∩ B; д) A\B; е) B\A.
1.1.2. Перечислить элементы множеств:
а) A = {x ∈ Z | log3|x| 6 1}; б) B = {x ∈ N
|x −2| < 4};
в) A ∪ B; г) A ∩ B; д) A\B; е) B\A.
1.1.3. Перечислить элементы множеств:
а) A =x ∈ Z
1
300
<
1
6 81; б) B = {x ∈ Z
x
3
log2(|x−2|−1) 6 2};
в) A ∪ B; г) A ∩ B; д) A\B; е) B\A.
1.1.4. Перечислить элементы множеств:
а) A = {x ∈ Z |x4− 29x2+ 100 6 0}; б) B = {x ∈ 2Z
в) A ∪ B; г) A ∩ B; д) A\B; е) B\A.
1.1.5. Даны множества A = [−2, 4), B = [0, 6). Найти:
a) A ∪ B; б) A ∩ B; в) A\B; г) B\A.
1.1.6. Даны множества A = [−3, 5), B = (−1, 2]. Найти:
a) A ∪ B; б) A ∩ B; в) A\B; г) B\A.
|x −3| 6 5};
12 Глава 1. Элементы теории множеств
∞
\
1.1.7. Найти
a) Ai= [i, ∞); б) Ai=1 −
1.1.8. Найти
a) Ai= (−i, i); б) Ai=−2 +
Ai, если:
i=1
∞
[
Ai, если:
i=1
1
, 1 +
i
1
, 2 −
i
1
.
i
1
.
i
1.1.9. Доказать следующие тождества, используя только определения
операций над множествами:
а) (A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩ C); б) A ∪ B = B\A;
в) A ∪ B = A ∪ (B\A); г) A ⊕ B = (A ∪ B)\(A ∩ B);
д) (A\B) ∩(B\A) = ∅; е) (A\B)\C = (A\C)\B;
ж) (A\B) ∩C = (A ∩ C)\B; з) (A\B) ∪C = (C\B) ∪A.
1.1.10. Доказать следующие утверждения:
a) A ⊆ B тогда и только тогда, когда A ∪ B = B;
б) A ⊆ B тогда и только тогда, когда A ∩ B = A;
в) A ∩ B = ∅ тогда и только тогда, когда A ∪B = (A\B) ∪(B\A);
г) A\(B\C) = A\(C\B) тогда и только тогда, когда B = C;
д) A ∪ B = A ∪ C тогда и только тогда, когда B\A = C\A;
е) если A ∩ B = C, то A ∩ C = B ∩ C = C, верно ли обратное утверждение?
1.1.11. Найти необходимые и достаточные условия на множества
A, B, C, при которых выполняются следующие равенства:
а) A\B = B\C; б) A ∩ B = B ∪ C;
в) A ⊕ B = A ∪ C; г) A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ⊕ (A ∩C);
д) (A\B) ∪C = (A ∪ C)\B; е) (A ⊕ B)\C = (A\C) ∪(B\C).
1.1.12. Даны множества A и B. Перечислить элементы множества
A ×B:
а) A =1, 2, {2}, B =a, b, {a, b};
б) A =∅, {∅},∅, {∅}, B =∅, {∅},{∅}.
1.1.13. Проверить справедливость следующих утверждений:
а) (A ⊕ B) ×C = (A × C) ⊕ (B × C);
б) (A\B) ×(C\D) = (A × C)\(B × D);
в) (A × C) ∩(B × D) =(A ∩B) ×(C ∪ D)∩(A ∪B) ×(C ∩ D);
г) (A ∪ B) ×(C ∪ D) = (A × C) ∪(B × D);
д) A × B = (A × B) ∪(A × B) ∪(A × B).
1.2. Отношения и функции 13
1.2 Отношения и функции
Пример 1.9. Перечислить все элементы отношения P ⊆ N2, если P =
{(x, y) |x + y 6 4, xy делится на 4}.
Решение. Легко видеть, что
P = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 0), (2, 0), (2, 2), (3, 0), (4, 0)}.
Пример 1.10. Пусть A = B = {1, 2, 3, 4}, а P = {(1, 3), (2, 2), (2, 4),
(3, 1), (3, 2), (4, 3)}. Изобразить это отношение графически тремя спосо-
бами (в виде точек на “координатной” плоскости, при помощи стрелок
на одном и на двух экземплярах множества A, см. [5], стр. 20–21).
Решение. Графические представления данного отношения изображены
на следующих рисунках:
1.
6
4
3
2
1
r
r
r
r
r
r
-
2а)
1
2
3
4
r
@
@
r
@
@
r
r
@
@
@
@
@
@
@
@
*
@
@
@R
*
@
@
@R
@
@
2б)
r1 2
I
?
r
n
r
1
r
2
r
3
r
4
r
3 4
r
1 2 3 4
Пример 1.11. Пусть A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3} и P ⊆
A × B — бинарное отношение, определенное следующим образом:
P = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (4, 3)}. Найти область определения (δP= {x ∈
A |(x, y) ∈ P для некоторого y ∈ B}) и область значения (ρP= {y ∈
B |(x, y) ∈ P для некоторого x ∈ A}) отношения P . Найти P−1.
Решение. Областью определения является множество первых координат всех пар отношения P , то есть δP= {1, 2, 4}. Областью зна-
чений является множество вторых координат всех пар этого отношения, то есть ρP= {2,3}. Чтобы найти P−1, достаточно поменять в каждой паре первую и вторую координату, то есть P
−1
=
{(2, 1), (3, 1), (2, 2), (3, 4)}.
Пример 1.12. Пусть P, Q ⊆ R2— бинарные отношения, определенные
следующим образом: P = {(x, y) |x + y четно}, Q = {(u, v) |v −u = 1}.
Найти P ◦ Q.
14 Глава 1. Элементы теории множеств
Решение. Очевидно, что P = {(2k + 1, 2l + 1) |k, l ∈ N} ∪
{(2n, 2m) |n, m ∈ N}, то есть P состоит из пар чисел одинаковой чет-
ности. Также можно записать, что Q = {(s, s + 1) |s ∈ N}. Пусть
(x, z) ∈ P ◦ Q. Пара (y, z) ∈ Q в том и только том случае, когда
y = z − 1. Отсюда сразу получаем z > 1. Из определения отноше-
ния P следует, что x может быть любым при условии, что x и z − 1
одной четности. Следовательно, x и z — числа разной четности. Таким
образом, получаем P ◦ Q = {(x, z) |z > 1, x + z нечетно}.
Пример 1.13. Пусть P, Q ⊆ R2— бинарные отношения, определенные
следующим образом: P = {(x, y) |x2+ 2y 6 3}, Q = {(u, v) |√u + 2v =
6}. Найти P ◦ Q.
Решение. Пусть (x, z) ∈ P ◦Q. Из определения Q следует, что (y, z) ∈ Q
тогда и только тогда, когда√y = 6 −2z. Так как 6 − 2z > 0, получаем
z 6 3. Соответственно, y = (6 −2z)2= 36 − 24z + 4z2. Далее, так как
пара (x, 36 − 24z + 4z2) ∈ P , получаем x2+ 2(36 − 24z + 4z2) 6 3 или
x2+ 8z2−48z +69 6 0. Следовательно, P ◦Q = {(x, z) |x2+ 8z2−48z +
69 6 0, z 6 3}.
Пример 1.14. Пусть A — множество студентов в данной аудитории,
B — множество парт в этой же аудитории. Является ли функцией из
A в B отношение f, ставящее в соответствие каждому студенту парту,
за которой он сидит? Является ли функцией правило g, ставящее в
соответствие каждой парте студента, сидящего за ней?
Решение. Отношение f является функцией2. Отношение g функцией не
является, так как за одной партой может сидеть более одного студента.
Пример 1.15. Является ли функцией из множества R в себя отноше-
ние f , заданное следующим образом: f (x) = 2x2+ 7?
Решение. Результат каждой из операций сложения и умножения и возведения в квадрат однозначно определяется исходными числами (слагаемыми или сомножителями) и является действительным числом, если исходные числа были действительными. Следовательно, при подстановке вместо x любого действительного числа получаем однозначно
определенное действительное число. Значит f является функцией.
Пример 1.16. Является ли функцией из множества R+= (0, ∞) в
множество R отношение f ⊆ R+×R, определенное следующим образом:
f = {(x, y) |x = |y|}?
2
Конечно, при условии, что каждый студент сидит за какой-либо партой, а не просто на полу.
1.2. Отношения и функции 15
Решение. Легко видеть, что для любого значения x существуют два
различных значения y, удовлетворяющие условию (одно из которых является положительным, а другое — отрицательным). Например, |2| =
| − 2| = 2. Значит, значению x = 2 должны быть поставлены в со-
ответствие значения y = 2 и y = −2. Следовательно, f не является
отображением.
Пример 1.17. Найти область значений отображения f : R → R, опре-
деленного по правилу f (x) = x2.
Решение. Очевидно, что f (R) = ρf= R
+
.
0
Пример 1.18. Является ли отображение f из примера 1.14 является
инъективным? Сюръективным? В случае отрицательного ответа в общем случае сформулируйте условия, при которых f будет инъективным
(сюръективным).
Решение. Если нет пустующих парт, то отображение сюръективно и
если ни за какой партой не сидит двух или более студентов, то отображение инъективно. В общем же случае, данное отображение, очевидно,
не является ни инъективным, ни сюръективным.
Пример 1.19. Проверить, что
а) функция f из примера 1.17 не является ни инъективной, ни сюръективной;
б) функция g : [−1, 1] → [0, 1], такая что g(x) = |x|, является сюръективной, но не является инъективной;
в) функция h : N → N, такая что h(x) = x2, является инъективной, но
не является сюръективной;
г) функция k : R → R, определенная по правилу k(x) = 2x−4, является
биективной.
Решение. а) То, что функция f не является сюръективной, было дока-
зано в примере 1.17. Осталось отметить, что, например, f(1) = f(−1) =
1, а значит, f не является инъективной.
б) Пусть y ∈ [0, 1]. Найдем такое число x, чтобы |x| = y. Очевидно, что x = ±y, то есть g(y) = g(−y) = y, что и доказывает сюръективность. Функция g не является инъективной, так как, например,
g(1) = g(−1) = 1.
в) Пусть x1, x2∈ N. Предположим, что h(x1) = h(x2), то есть x
2
x
= y. Прообразами элемента y могут быть числа ±√y, но −√y 6 0.
2
2
=
1
Поэтому, если y > 0, то только одно из чисел√y, −√y может быть
натуральным, следовательно, x1= x2. Если y = 0, то, очевидно, тоже существует лишь один прообраз этого элемента, а именно число 0,
16 Глава 1. Элементы теории множеств
следовательно, снова x1= x2. Функция h не является сюръективной,
потому что, например, число 2 не имеет прообраза (не существует натурального числа a, такого что h(a) = a2= 2).
г) Пусть x1, x2∈ R. Пусть k(a1) = k(a2). Тогда имеем
2x1− 4 = 2x2− 4;
2x
x
1
1
= 2x2;
= x2;
что доказывает инъективность. Теперь фиксируем элемент y ∈ R. Докажем, что прообраз этого элемента не является пустым множеством.
Итак, пусть k(x) = y. Получим
2x −4 = y;
2x = y + 4;
y + 4
x =
.
2
Легко видеть, что значение x можно вычислить для любого действительного числа y. Таким образом, для произвольного y существует элемент x, такой что k(x) = y, что доказывает сюръективность отображения k. Следовательно, это отображение биективно.
Пример 1.20. Пусть f : R → R и g : R → R функции, определенные
следующим образом: f (x) = sin(2x −3), g(x) =√x2+ 1. Найти f ◦g и
g ◦ f.
Решение.
(f ◦ g)(x) = g(f (x)) = (g ◦ f)(x) = f (g(x)) =
= g(sin(2x − 3)) = = f(√x2+ 1) =
p
=
sin2(2x −3) + 1; = sin(2√x2+ 1 −3).
1.2. Задачи
1.2.1. Дано множество A = {0, 1, 2, 3, 4}, и отношение P ⊆ A3. Пере-
числить все элементы отношения P , заданного следующим образом:
а) P = {(x, y, z) |x + y = z}; б) P = {(x, y, z) |xy = z};
в) P = {(x, y, z) |x + y = yz};
г) P = {(x, y, z) |(x + y)z + 4 делится на 12}.
1.2.2. Изобразить графически (двумя способами) отображение
P ⊆ A × B. Является ли P функцией? Является ли функцией P−1?
а) A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2}, P = {(x, y) |x + y делится на 3};
1.2. Отношения и функции 17
б) A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3}, P = {(x, y) ||x − 2| = |y − 1|};
в) A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}, P =(x, y)
2
x
x + 1
=
3
;
y
г) A = B = {0, 1, 2, 3}, P = {(x, y) | −7 6 2|x−1|−4|x −2|−3y < −4}.
1.2.3. Даны множества A и B = R. Являются ли функциями следу-
ющие отношения P ⊆ A × B? В случае, если P является функцией,
найти ρP. Является ли функция P инъективной, сюръективной?
а) A = R
б) A = R, P = {(x, y) |y = x3+ 4};
в) A = R, P = {(x, y) |y =
г) A = R+, P = {(x, y) |y =
+
, P = {(x, y) |x = y2};
0
√
4
x + 1};
√
4
x + 1};
д) A = R+, P = {(x, y) |y = ln x + 3};
е) A = R, P = {(x, y) |x2= y + 1};
ж) A = R, P = {(x, y) | sin x = cos y};
з) A = R, P = {(x, y) |4
x2−4x+1
и) A = R, P = {(x, y), |y3+ 3y2+ 3y = e
= 2
y+3
};
2x−4
+ 1};
к) A = R, P = {(x, y) |y2+ 3y − x2− 2x = 6};
л) A = R, P = {(x, y) |x + ex= y + ln y}.
1.2.4. Пусть P отношение, заданное по правилу P = {(x, y) |x — сту-
дент из НГТУ, y — мобильный оператор, услугами которого пользуется студент x}. При каких условиях P является функцией?
1.2.5. Определить, являются ли следующие функции f инъективными,
сюръективными, биективными. Если f биективна, найти обратную к
ней.
a) f : R → R, f (x) = (x2− 1)2;
б) f : R → R
+
, f (x) = ln(|x| + 1);
0
в) f : (−3, ∞) → R, f(x) = ln(x + 3);
г) f : R → R, f (x) = e
x−1
− 4;
д) f : R → R, f (x) = x + |x|;
е) f : R−→ R+, f (x) = x2;
ж) f : Z → {0, 1, 2, . . . , n −1}, f(x) — это остаток от деления x на n;
з) f : R
+
→ R, f(x) =
0
(
ln x, если x 6= 0
;
0, если x = 0
1
и) f : R → R, f(x) =
, если x 6= 0
x
0, если x = 0
.
18 Глава 1. Элементы теории множеств
1.2.6. Для функции f (x)
1) найти наибольшее множество A ⊆ R, такое что f : A → R является
функцией;
2) найти множество B ⊆ R, такое что f : A → B сюръективно;
3) доказать, что f : A → B инъективно;
4) найти f−1, если
a) f (x) =
2x −3
; б) f (x) = ln(x3−8); в) f(x) = arctg
x + 4
1
2x + 1
1.2.7. Для функций найти f, g : R → R
2
а) f ◦ g и g ◦ f, если f(x) = e
x
+ x, g(x) = sin(x2+ 3);
б) f ◦ g и g ◦ f, если f(x) =√x2+ 3, g(x) = ln(x4+ x2+ 1);
в) f ◦ g ◦ f и g ◦ f ◦ g, если f(x) = e
|x|
, g(x) = arctg(x2);
г) f ◦ g ◦ f и f ◦ f ◦ g, если f (x) = ln(|x| + 1), g(x) = x5.
1.2.8. Даны отношения P, Q ⊆ A × A. Вычислить отношения P ◦ Q и
Q ◦P, если:
.
a) A = N, P = {(x, y) |x + y − нечетное}, Q = {(u, v) |uv − четное};
б) A = N, P = {(x, y) |x + y делится на 3},
Q = {(u, v) |u + 2v делится на 3};
в) A = N, P = {(x, y) |x + y делится на 3}, Q = {(u, v) |u = 2v};
г) A = R, P = {(x, y) |x + y2> 1}, Q = {(u, v) |u =√v + 1};
д) A = R, P = {(x, y) |x2+ y = 1}, Q = {(u, v) |uv 6= 1};
е) A = R, P = {(x, y) |x2− 2x > y}, Q = {(u, v) |u + v 6= 2};
ж) A = Z, P = {(x, y) |x − y делится на 3}, Q = {(u, v) |u −
v делится на 5};
з) A = R, P = {(x, y) |x2− 2x < y}, Q = {(u, v) |u2+ 1 < v};
и) P = {(x, y) |x2> y3+ 1}, Q = {(u, v) |u2< v2− 2v + 2}.
1.3 Матрицы бинарных отношений.
Специальные бинарные отношения
Пример 1.21. Пусть A = {1,2, 3, 4}, B = {1, 2, 3}, P ⊆ A × B отно-
шение, заданное следующим образом:
P = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 3), (4, 2), (4, 3)}.
Найти [P ] — матрицу отношения P .
Решение. Поставив единицы в тех клетках, номера строки и столбца
для которых, взятые в указанном порядке, образует пары, лежащие
в P , и заполнив все остальные позиции матрицы нулями, получаем
1.3. Матрицы бинарных отношений. Специальные бинарные отношения 19
искомую матрицу
1 1 1
[P ] =
1 0 0
0 0 1
.
0 1 1
Пример 1.22. Пусть множества A и B, а также отношение P опреде-
лено как в примере 1.21, и пусть Q ⊆ A × B определено следующим
образом:
Q = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}.
Найти [Q]. Найти матрицы [P ∩ Q] и [P ∪ Q].
Доказательство. Аналогично примеру 1.21 получаем
1 0 0
[Q] =
1 1 1
1 0 0
.
0 1 0
Соответственно, получаем
[P ∪ Q] = [P ] + [Q] =
[P ∩ Q] = [P ] ∗[Q] =
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 1 1
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 1 1
+
∗
1 0 0
1 1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1 0 0
0 1 0
=
=
1 1 1
1 1 1
1 0 1
0 1 1
1 1 1
1 1 1
1 0 1
0 1 1
;
(см. [5], § 1.5).
Пример 1.23. Пусть P ⊆ R2— бинарное отношение, заданное по пра-
вилу P = {(x, y) |x3< y + 1}. Проверить, является ли это отношение
рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным.
Решение. Рефлексивность. Необходимо проверить, верно ли, что
(x, x) ∈ P для всех x ∈ R, то есть надо проверить, верно ли, что
x3< x + 1. Легко видеть, что данное неравенство не выполняется, на-
пример, для x = 2, значит, P не является рефлексивным.
Симметричность. Надо проверить, верно ли, что из x3< y + 1 следует
y3< x + 1. Отметим, что если u > 1, то u 6 u3. Следовательно, если
y > 1, то имеем x3< y + 1 6 y3+ 1 < x + 2, однако, если x, например,
20 Глава 1. Элементы теории множеств
равен 2, то 23= 8 > 4 = 2 + 2. Таким образом, если выбрать y > 1,
такой что x3< y + 1, то неравенство y3< x + 1 не будет выполняться.
Возьмем, например, y = 8. Очевидно, что 23= 8 < 9 = 8 + 1, но
83= 512 > 3 = 2 + 1. Следовательно, P не является симметричным.
Антисимметричность. Пусть x3< y + 1, y3< x+1. Легко заметить, что
для любого 0 < u < 1 выполнено 0 < u3< 1. Следовательно, если x и
y — произвольные действительные числа из промежутка (0, 1), то 0 <
x3< 1 и 0 < y3< 1. С другой стороны, x + 1 > 1 и y + 1 > 1. А значит,
x3< y + 1, а y3< x + 1. Таким образом, P — не антисимметрично.
Транзитивность. Пусть x3< y + 1 и y3< z + 1. Если y > 1, то y3> y,
получаем x3< y + 1 6 y3+ 1 < z + 2. Таким образом, становится ясно,
что можно подобрать x, y, z так, чтобы z + 1 6 x3< z + 2. При этом
y3должен быть достаточно близко к y (y3− y < 1), то есть y нужно
выбрать достаточно близко к 1. Далее, методом проб и ошибок можно
подобрать x, y и z, на которых не выполняется условие транзитивности.
Например, x = 1,2, y = 1, z = 0,1. Тогда 1,23= 1,728 < 2 = 1 + 1 и
13= 1 < 1,1 = 0,1 + 1, но 1,23= 1,728 > 1 = 0,1 + 1. А значит, P не
является транзитивным.
Чтобы построить пример, показывающий, что P не транзитивно,
можно воспользоваться другими соображениями. Отметим, что если
0 6 u < 1, то 0 6 u3< 1, а u+1 > 1. Таким образом, каковы бы ни были
x, y ∈ [0, 1), (x, y) ∈ P . Попробуем выбрать x достаточно большое, а y,
наоборот, достаточно близкое к 0. Тогда кажется возможным выбрать
z < 0, таким образом, чтобы x3< z + 1. Опять же методом проб и
ошибок можно убедиться, что подойдут, например, такие числа: x =
0,9, y = 0, z = −0,9. Действительно, имеем 0,93= 0,729 < 1 = 0 + 1
и 03= 0 < 0,271 = −0,729 + 1. Однако, 0,93= 0,729 > 0,271 =
−0,729 + 1.
3
Пример 1.24. Является ли бинарное отношение P ⊆ N2, заданное по
правилу P = {(x, y) |x = ynдля некоторого n ∈ N∗}, рефлексивным,
симметричным, антисимметричным, транзитивным?
Решение. Рефлексивность. Необходимо проверить справедливость равенства x = xn. Очевидно, что это равенство выполняется для любого
x, если n = 1. Следовательно, P рефлексивно.
Симметричность. Пусть x = ynдля некоторого n ∈ N∗. Необходимо
проверить справедливость равенства y = xmдля некоторого m ∈ N∗.
3
Вообще говоря, вполне достаточно одного примера, показывающего, что то или иное свойство
может нарушаться. Два примера, показывающих, что P не является транзитивным, даны с целью
показать, что прийти к цели можно различными способами.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]