Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по дискретной математике. Учебное пособие
.pdf
Глава 4
Числовые системы
4.1 Системы счисления
Пример 4.1. Записать число 63954,310в шестнадцатеричной системе
счисления.
Решение. Разделим число на целую и дробную часть и переведем каждую из частей в шестнадцатеричную систему счисления по отдельности.
Целая часть числа равна 6395410. Имеем
63953 = 16 ·3997 + 1
3997 = 16 ·249 + 13
249 = 16 ·15 + 9
15 = 16 ·0 + 15,
следовательно, 6395410= F 9D116.
Теперь перейдем к записи дробной части, которая равна 0,310. Имеем
0,3 ·16 = 4,8
0,8 ·16 = 12,8
0,8 ·16 = 12,8.
Таким образом, мы нашли периодическую часть дроби и, соответственно, можем записать 0,310= 0,4(C)16.
Окончательно, получаем 63954,310= F 9D1,4(C)16.
Пример 4.2. Перевести число 2736,38в десятичную систему счисле-
ния.
62 Глава 4. Числовые системы
Доказательство. Имеем
2736,38= 2 ·83+ 7 ·82+ 3 ·8 + 6 + 3 ·8−1=
3
= 2 ·512 + 7 · 64 + 3 · 8 + 6 +
=
8
= 102410+ 44810+ 2410+ 610+ 0,37510=
= 1502,37510.
Пример 4.3. Записать число 6395410в пятерично-шестнадцатеричной
системе счисления
Решение. Сначала необходимо перевести число 6395410в шестнадца-
теричную систему счисления. Из примера 4.1 следует, что 6395410=
F 9D116. Для записи каждой шестнадцатеричной “цифры” достаточно
двух пятеричных. Получаем F16= 305, 916= 145, D16= 235, 116= 015.
Итого, 6395410в пятерично-шестнадцатеричной системе счисления записывается, как 30142301
5-16
.
4.1. Задачи
4.1.1. Записать в десятичной системе счисления следующие числа:
а) 34235; б) 24115; в) A1B16; г) 23F16; д) 74718; е) 56478.
4.1.2. Записать в троичной, пятеричной, восьмеричной и шестнадца-
теричной системах счисления следующие числа:
а) 2131; б) 5248; в) 76421.
4.1.3. Записать в десятичной системе счисления следующие числа:
а) 34,335; б) 41,2415; в) 32,248; г) 43,648.
4.1.4. Записать:
а) 45,68 в пятеричной системе счисления;
б) 32,584 в пятеричной системе счисления;
в) 62,9375 в восьмеричной системе счисления;
г) 57,46875 в восьмеричной системе счисления;
д) 23,3 в двоичной системе счисления;
е) 382,4 в семеричной системе счисления.
4.1.5. Записать следующие числа в двоично-десятичной системе счис-
ления: а) 3792; б) 54863.
4.2 Делимость. Алгоритм Евклида
Пример 4.4. Поделить a = 25 на b = 7 с остатком.
4.2. Делимость. Алгоритм Евклида 63
Решение. Легко видеть, что 25 = 7·3+4. То есть q = 3, r = 4. При этом
0 6 4 < 7. Конечно, можно записать 25 = 7 ·4 + (−3) или 25 = 7 ·2 + 11,
но в первом случае (−3) < 0, а во втором 11 > 7.
Пример 4.5. Найти (84, 66).
Решение. Имеем
84 = 66 ·1 + 18
66 = 18 ·3 + 12
18 = 12 ·1 + 6
12 = 6 ·2.
Последний ненулевой остаток равен 6, следовательно, (84, 66) = 6.
4.2. Задачи
4.2.1. Доказать, алгоритм Евклида вычисляет наибольший общий де-
литель чисел, на которых алгоритм начинает работу.
4.2.2. Найти НОД и НОК следующих чисел при помощи алгоритма
Евклида: а) 122 и 305; б) 124 и 48; в) 852 и 483;
г) 588 и 861.
4.2.3. Доказать, что для любых целых чисел a, b, c выполнено:
а) (a, b, c) = ((a, b), c) = (a, (b, c));
б) [a, b, c] = [[a, b], c] = [a, [b, c]].
4.2.4. Найти НОД и НОК следующих чисел при помощи алгоритма
Евклида: а) 45, 189 и 175; б) 360, 500 и 675.
4.2.5. Доказать, что для любых целых чисел a, b, c выполнено равен-
abc ·(a, b, c)
ство [a, b, c] =
.
(a, b) ·(b, c) · (a, c)
4.2.6. Доказать что если (a, b) = d, то (a/d, b/d) = 1.
4.2.7. Доказать следующие признаки делимости:
a) число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра
четная;
б) число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число,
составленное из двух его последних цифр, делится на 4;
в) число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра его
записи 0 или 5;
г) число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9;
64 Глава 4. Числовые системы
д) число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы
цифр, стоящих на четных позициях этого числа, и суммы цифр, стоящих на нечетных его позициях, делится на 11.
4.2.8. Доказать, что если a|b и b|c, то a|c.
4.2.9. Проверить справедливость следующих утверждений. Доказать
верные утверждения, для неверных привести контрпример:
а) Если a|c и b|c, то [a, b]|c;
б) Если a|c и b|c, то ab|c;
в) Если a|b и a|c, то a|(b, c).
4.2.10. а) Доказать, что для любых чисел a,b, c, d ∈ N∗справедливо
(a, b)(c, d)|(ac, bd).
б) Верно ли, что для любых a, b, c, d ∈ N∗выполнено равенство
(a, b)(c, d) = (ac, bd)? Доказать или привести контрпример.
4.2.11. Доказать, следующие признаки делимости в различных систе-
мах счисления: a) Число делится на 3 тогда и только тогда, когда его
запись в девятеричной системе счисления оканчивается на 0, 3 или 6.
б) Число делится на 6 тогда и только тогда, когда сумма его цифр в
семеричной системе счисления делится на 6.
в) Число делится на 12 тогда и только тогда, когда сумма всех цифр,
стоящих на нечетных позициях (начиная от разряда единиц) в пятеричной системе счисления плюс сумма всех цифр, стоящих на четных
позициях, умноженная на 5, делится на 12.
4.3 Линейные диофантовы уравнения. Сравнения
Пример 4.6. Решить диофантово уравнение 35x + 22y = 1.
Доказательство. Применим алгоритм Евклида (соответствующие равенства запишем в первый столбец). Имеем
35 = 22 ·1 + 13 ⇒ 13 = 35 −22;
22 = 13 ·1 + 9 ⇒ 9 = 22 −13;
13 = 9 ·1 + 4 ⇒ 4 = 13 −9;
9 = 4 ·2 + 1 ⇒ 1 = 9 −4 ·2.
Можно не делать последнего шага, так как, очевидно, любое число без
остатка делится на 1. Теперь будем поочередно рассматривать равенства правого столбца снизу вверх и подставлять их одно в другое с
4.3. Линейные диофантовы уравнения. Сравнения 65
целью выразить число 1 через 35 и 22. Итак, получаем
1 = 9 −4 ·2 = 9 −(13 −9) · 2 =
= 9 ·3 −13 · 2 = (22 −13) ·3 − 13 ·2 =
= 22 ·3 −13 · 5 = 22 · 3 −(35 − 22) ·5 =
= 22 ·8 −35 · 5.
Таким образом, частное решение уравнения x = −5, y = 8. Так как
(35, 22) = 1, используя [5] теорему 3.5.5, получаем общее решение
{(−5 −22m, 8 + 35m) |m ∈ Z}.
Пример 4.7. Решить диофантово уравнение:
а) 140x + 88y = 11; б) 140x + 88y = 20.
Доказательство. Сначала найдем НОД чисел 140 и 88. Применяя ал-
горитм Евклида, получаем
140 = 88 ·1 + 52;
88 = 52 ·1 + 36;
52 = 36 ·1 + 16;
36 = 16 ·2 + 4;
16 = 4 ·4.
Следовательно, (140, 88) = 4.
а) Так как 4 - 11, данное уравнение не имеет решений.
б) Имеем 4|20, следовательно, можно поделить обе части уравнения на
4. Получаем уравнение 35x + 22y = 5. Чтобы решить это уравнение,
нам вначале нужно найти такую пару (x0, y0), что 35x0+ 22y0= 1. Это
было сделано в примере 4.6. Из этого примера следует, что x0= −5,
y0= 8. Следовательно, одним из решений уравнения 35x + 22y = 5 (а
значит, и решением исходного уравнения 140x+88y = 20) является пара
x0= 5x0= −25, y0= 5y0= 40. Соответственно, из [5], теорема 3.5.5
получаем общее решение уравнения:
m
m ∈ Z=
−25 −
88
m, 40 +
4
140
4
= {(−25 −22m, 40 + 35m) |m ∈ Z}
66 Глава 4. Числовые системы
Пример 4.8. Доказать, что (нелинейное) диофантово уравнение x2+
y2= 99999999 не имеет решений.
Доказательство. Рассмотрим целое число u и составим таблицу его
остатков от деления на 4: в первом столбце возможные остатки от деления на 4 числа u, а во втором — соответствующие остатки от деления
на 4 числа u2:
2
u u
0 0
1 1
2 0
3 1.
Из таблицы видно, что u2≡ 0 (mod 4) или u2≡ 1 (mod 4) Следо-
вательно, x2+ y2≡ 0, 1, 2 (mod 4). Однако, 99999999 ≡ 3 (mod 4), то
есть правая и левая части не могут лежать в одном классе эквивалентности по модулю 4. В итоге мы получаем, что равенство невозможно
ни для каких целых x и y.
1
Пример 4.9. Решить сравнение 23x ≡ 4 (mod 36).
Решение. Начнем с решения сравнения 23x0≡ 1 (mod 36). Если x0—
решение этого сравнения, то существует y0, такой что 23x0+ 36y0= 1.
Применим алгоритм Евклида:
36 = 23 ·1 + 13 ⇒ 13 = 36 −23
23 = 13 ·1 + 10 ⇒ 10 = 23 −13
13 = 10 ·1 + 3 ⇒ 3 = 13 −10
10 = 3 ·3 + 1 ⇒ 1 = 10 −3 ·3
Далее, рассматривая равенства правого столбца снизу вверх и подставляя их одно в другое, получаем
1 = 10 −3 ·3 = 10 −(13 −10) · 3 =
= 10 ·4 −13 · 3 = (23 −13) ·4 − 13 ·3 =
= 23 ·4 −13 · 7 = 23 ·4 −(36 − 23) ·7 =
= 23 ·11 −36 · 7.
1
Следует отметить, что несмотря на то, что решение этой задачи достаточно короткое, оно не
является простым с той точки зрения, что нигде в условии задачи не указано, что нужно рассматривать классы эквивалентности именно по модулю 4. До этого необходимо догадаться. Однако,
догадка служит тем элементом, которые придает прелесть некоторым математическим задачам
и превращает решение подобных задач из рутинного выполнения определенного алгоритма в искусство.
4.3. Линейные диофантовы уравнения. Сравнения 67
Таким образом, x0= 11. Так как правая часть исходного равенства
равна 4, получаем x = 11 · 4 = 44. В силу [5], теорема 3.8.1 решением
является любое значение x, такое что x ≡ 44 (mod 36). Если необходимо найти наименьший неотрицательный вычет, то легко получить
x ≡ 44 −1 · 36 = 8 (mod 36).
Пример 4.10. Решить сравнение 69x ≡ 15 (mod 108).
Решение. Найдем наибольший общий делитель 69 и 108. По алгоритму
Евклида получаем:
108 = 69 ·1 + 39;
69 = 39 ·1 + 30;
39 = 30 ·1 + 9;
30 = 9 ·3 + 3;
9 = 3 ·3.
Таким образом, (69, 108) = 3. Так как 3|15, сравнение имеет 3 решения.
Оно равносильно сравнению 23x ≡ 5 (mod 36). Нужно вначале решить
сравнение
23x0≡ 1 (mod 36).
Это было сделано в примере 4.9. Мы получили x ≡ 11 (mod 36).
Следовательно, получаем x = 5 · 11 = 55 — решение сравнения
23x ≡ 5 (mod 36). Найдем наименьший неотрицательный вычет для
этого решения: x ≡ 55 − 36 ·1 = 19 (mod 36). Наконец, осталось найти решения по модулю 108. Получаем
x ≡ 19 (mod 108);
x ≡ 19 + 36 = 55 (mod 108);
x ≡ 19 + 2 · 36 = 91 (mod 108).
Пример 4.11. Решить систему сравнений
x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 8).
(4.1)
x ≡ 4 (mod 9)
Решение. Из первого сравнения получаем
x = 5x1+ 2. (4.2)
68 Глава 4. Числовые системы
Подставим это выражение во второе сравнение. Имеем 5x1+ 2 ≡
1(mod 8), следовательно, 5x1≡ −1 (mod 8).
Решим сравнение 5x
0
≡ 1 (mod 8). Из него следует, что 5x
1
0
+8y
1
0
1
= 1.
Из алгоритма Евклида получаем:
8 = 5 ·1 + 3 ⇒ 3 = 8 −5;
5 = 3 ·1 + 2 ⇒ 2 = 5 −3;
3 = 2 ·1 + 1 ⇒ 1 = 3 −2.
Подставляя поочередно равенства правого столбца друг в друга (снизу
вверх), получаем:
1 = 3 −2 = 3 −(5 −3) =
= 3 ·2 −5 = (8 −5) ·2 − 5 =
= 8 ·2 −5 · 3.
Таким образом, x
0
≡ −3 (mod 8), умножая на −1, получаем решением
1
сравнения 5x1+ 2 ≡ 1 (mod 8) является x1≡ 3 (mod 8), то есть x1=
8x2+ 3. Из (4.2) следует:
x = 5(8x2+ 3) + 2 = 40x2+ 17. (4.3)
Подставим в третье сравнение, получим 40x2+ 17 ≡ 4 (mod 9). Отметим, что к правой и левой частям можно прибавлять числа кратные модулю (то есть 9) и решение сравнения от этого не изменится. Следовательно, 40x2− 9 ·4x2+ 17 −2 · 9 ≡ 4 (mod 9), то есть
4x2− 1 ≡ 4 (mod 9), а значит, 4x2≡ 5 (mod 9).
Опять начнем с решения сравнения 4x
0
≡ 1 (mod 9). Из алгоритма
2
Евклида получаем
9 = 4 ·2 + 1 ⇒ 1 = 9 −4 ·2.
Отсюда видно, что x
0
≡ −2 ≡ 7 (mod 9). Чтобы получить решение
2
сравнения 4x2≡ 5 (mod 9), умножим полученный результат на 5. В
итоге имеем x2≡ 7 ·5 = 35 (mod 9). Найдем соответствующий наи-
меньший неотрицательный вычет: x2≡ 35 −9 · 3 = 8 (mod 9). Следо-
вательно x2= 9x3+ 8. Подставим это выражение в (4.3): x = 40(9x3+
8) + 17 = 360x3+ 337. Отсюда вытекает, что x ≡ 337 (mod 360) явля-
ется решением системы сравнений.
4.4. Многомодульная арифметика 69
4.3. Задачи
4.3.1. Решить линейные диофантовы уравнения:
а) 35x + 82y = 1; б) 42x + 65y = 1; в) 28x + 37y = 4;
г) 57x + 74y = 5; д) 44x + 62y = 6; е) 63x + 108y = 12;
ж) 76x + 52y = 10; з) 45x + 81y = 18.
4.3.2. Решить сравнение:
а) 43x ≡ 1(mod 82); б) 39x ≡ 1(mod 25); в) 38x ≡ 3(mod 45);
г) 45x ≡ 8(mod 64); д) 35x ≡ 14(mod 91); е) 84x ≡ 12(mod 44);
ж) 82x ≡ 7(mod 38); з) 108x ≡ 15(mod 72).
4.3.3. Решить систему сравнений:
а)
в)
д)
x ≡ 5 (mod 7)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 9) ;
x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 6 (mod 7)
x ≡ 9 (mod 11) ;
x ≡ 21 (mod 50)
x ≡ 7 (mod 12)
x ≡ 13 (mod 18) ;
б)
г)
е)
x ≡ 3 (mod 7)
x ≡ 2 (mod 11)
x ≡ 1 (mod 3) ;
x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 4 (mod 7)
x ≡ 4 (mod 11)
x ≡ 10 (mod 13) ;
x ≡ 2 (mod 15)
x ≡ 7 (mod 25)
x ≡ 7 (mod 40) .
4.4 Многомодульная арифметика
Пример 4.12. Пусть a = 41, b = 75. Вычислить, используя многомо-
дульную арифметику с вектором оснований β = [7, 11, 5, 13], значения
a −b, 3a + b.
Решение. Находя остатки от деления a и b на элементы вектора β, по-
лучаем a ≡ [6, 8, 1, 2] (mod β), b ≡ [5, 9, 0, 10] (mod β).
Получаем
a −b ≡ 6 −5 ≡ 1 (mod 7),
a −b ≡ 8 −9 ≡ −1 ≡ 10 (mod 11),
a −b ≡ 1 −0 ≡ 1 (mod 5),
a −b ≡ 2 −10 ≡ −8 ≡ 5 (mod 13),
то есть a −b ≡ [1, 10, 1, 5] (mod β).
Итак, a −b ≡ 1 (mod 7), следовательно,
a −b = 7x1+ 1. (4.4)
70 Глава 4. Числовые системы
Также имеем a − b ≡ 10 (mod 11), то есть 7x1+ 1 ≡ 10 (mod 11), а
значит, 7x1≡ 9 (mod 11).
Найдем значение x
Имеем
0
x
1
≡7
0
, удовлетворяющее сравнению 7x
1
11−2
= 79= (72)4· 7 = 494· 7 ≡ 54· 7 =
0
≡ 1 (mod 11).
1
(4.5)
=252· 7 ≡ 32· 7 = 63 ≡ 8 (mod 11).
Подобная цепочка позволяет избежать появления больших чисел при
вычислениях. Как только появляется число, большее значения модуля,
по которому ведутся вычисления, заменяем его остатком от деления на
модуль.
Теперь вернемся к сравнению 7x1≡ 9 (mod 11), из общей теории
сравнений получаем x1≡ 8 ·9 ≡ 6 (mod 11). Следовательно, x1=
11x2+ 6, подставляя это значение в равенство (4.4), получаем
a −b = 7(11x2+ 6) + 1 = 77x2+ 43. (4.6)
Далее, подставляя это выражение в сравнение a − b ≡ 1 (mod 5), по-
лучаем 77x2+ 43 ≡ 1 (mod 5), то есть 77x2≡ −42 (mod 5), а значит,
2x2≡ 3 (mod 5). Найдем x
0
x
≡ 23= 8 ≡ 3 (mod 5).
2
0
, такой что 2x
2
0
≡ 1 (mod 5). Имеем
2
Следовательно, x2≡ 3 ·3 ≡ 4 (mod 5). Таким образом, x2= 5x3+ 4.
Подставим в равенство (4.6), получим
a −b = 77(5x3+ 4) + 43 = 385x3+ 308 + 43 = 385x3+ 351. (4.7)
Подставив это выражение в сравнение a − b ≡ 5 (mod 13), получим
385x3+ 351 ≡ 5 (mod 13), следовательно, 385x3≡ −346 (mod 13), то
есть 8x3≡ 5 (mod 13).
Найдем значение x
0
, для которого сравнение 8x
3
0
≡ 1 (mod 13) ис-
3
тинно. Имеем
0
x
3
≡ 8
13−2
= 811= (82)5· 8 = 645· 8 ≡ (−1)5· 8 =
= −1 ·8 = 5 (mod 13).
Следовательно, x3≡ 5 ·5 = 25 ≡ 12 (mod 13), то есть x3= 13x4+ 12.
Подставив в равенство 4.7, получаем a − b = 385(13x4+ 12) +
351 = 5005x4+ 4620 + 351 = 5005x3+ 4971. Таким образом,
a −b ≡ 4971 (mod 7 ·11 ·5 · 13).
Однако значение a − b найдено неоднозначно. Чтобы узнать точное
значение этого выражения, используем дополнительную информацию:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]