Сборник задач по дискретной математике. Учебное пособие

Ответы 121

6.4.2. Выяснить, к каким классам Поста принадлежат функции дан-

ной системы. Проверить, является ли система функций полной. В случае положительного ответа выяснить, образует ли она базис:

а) {¯xy, x → y}; б) {x ↔ y, y → x}; в) {x ↔ y, x ∨ y}; г) {¯x, x ∨ ¯y¯z}; д) {x ∨ y, (x → y)¯z}; е) {x ↔ y, ¯x, ¯x ↔ y}; ж) {x ↓ ¯y, ¯x |y, x → y}; з) {x ∨y, (x ↔ y)z, x ↓ (yz)}.

6.4.3. Установить связь между классами Поста функций, сохраняю-

щих нуль, сохраняющих единицу и монотонными.

Ответы

К главе 1

1.1

1.1.1 a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; б) {−1, 0, 1, 2}; в) {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; г) {0, 1, 2};

д) {3, 4, 5, 6, 7}; е) {−1}. 1.1.2 a) {−3, −2, −1, 1, 2, 3}; б) {0, 1, 2, 3, 4, 5}; в) {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}; г) {1,2, 3}; д) {−3. − 2, −1}; е) {0, 4, 5}. 1.1.3 а) {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}; б) {−3, −2, −1, 5, 6, 7}; в) {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; г) {−3, −2, −1, 5}; д) {−4, 0, 1, 2, 3, 4}; е) {6, 7}.

1.1.4 a) {−4, −3 − 2 − 1, 1, 2, 3, 4}; б) {−2, 0, 2, 4, 6, 8}; в) {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}; г) {−2, 2, 4}; д) {−4,−3, −1, 1, 3}; е) {0, 6, 8}.

1.1.5 а) [−2, 6); б) [0, 4); в) [−2, 0); г) [4, 6). 1.1.6 а) [−3, 5); б) (−1, 2]; в) [−3, −1] ∪ (2, 5); г) ∅. 1.1.7 а) ∅; б) {1}. 1.1.8 а) R; б) (−2, 2). 1.1.11 a)

A ⊆ B ⊆ C ; б) C ⊆ B ⊆ A; в) A ∩ B = ∅, B ⊆ C ⊆ A ∪ B; г) A ∩ B ∩ C = ∅; д) B ∩ C = ∅; е) A ∩ B ⊆ C. 1.1.12 а)(1, a), (1, b), (1, {a, b}), (2, a), (2, b),

(2, {a, b}), ({2}, a), ({2}, b), ({2}, {a, b});

n



б)

∅, ∅,∅, {∅},∅,{∅},{∅}, ∅,{∅}, {∅},{∅},{∅},



∅, {∅}, ∅,∅, {∅}, {∅},∅, {∅},{∅}

нет; д) да.

1.2

o



. 1.1.13 а) да; б) нет; в) да; г)

1.2.1 a) (0, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 2, 2), (0, 3, 3), (0, 4, 4), (1, 0, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 4),

(2, 0, 2), (2, 1, 3), (2, 2, 4), (3, 0, 3), (3, 1, 4), (4, 0, 4); б) (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 3, 0), (0, 4, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (1, 4, 4), (2, 0, 0), (2, 1, 2), (2, 2, 4), (3, 0, 0), (3, 1, 3), (4, 0, 0), (4, 1, 4); в) (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 2), (0, 0, 3), (0, 0, 4), (0, 1, 1), (0, 2, 1), (0, 3, 1), (0, 4, 1), (1, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 2, 2), (3, 1, 4), (3, 3, 2), (4, 2, 3), (4, 4, 2); г) (0, 2, 4), (0, 4, 2), (1, 1, 4), (1, 3, 2), (1, 4, 4), (2, 0, 4), (2, 2, 2), (3, 1, 2), (3, 2, 4), (4, 0, 2), (4, 1, 4), (4, 4, 1), (4, 4, 4).

122 Ответы

1.2.2. a)

6

2 1

r

0

б)

6

r

3 2 1

0

в)

6

r r

4 3 2 1

0

r

1 2 3

r

1 2

r r

1 2 3

r

0

r

1

H

H 



r



2



-

r



r



3



H



r-

0







r

1





*



 H

H

Hj

r

H

2

P — функция, P−1— не функция;

-

r

0

J



J

r



1

H

J

H

H 



r



2



H

J

r

0



*



r

1



*



 H

H

Hj

r

H

2

J

J^

r

J

3

P — не функция, P−1— функция;

-

r

0

J

r

1

J

@



@

r



2

r

3



 J

J @

@

@R

r

1

r

2



*



r

-

3

J

J^

J

@

r

J

@

4

P — не функция, P−1— не функция.

г)

3 2 1

0

6

r

1 2 3

r

0

r

-

r

1

r

2

H

r



3

H

H 



-

0

rr-

1

r

2



*



H

Hj

r

H

3

P — функция, P−1— функция.

1.2.3 а) нет. б) да, ρf= R, инъективна, сюръективна; в) нет; г) да, ρf= (1, ∞), инъективна, не сюръективна; д) да, ρf= R, инъективна, сюръективна; е) да, ρf= [−1, ∞), не инъективна, не сюръективна; ж) нет; з) да, ρf= [−9, ∞), не инъективна,

не сюръективна; и) да, ρf= (

√

3

2 − 1, ∞), инъективна, не сюръективна; к) нет; л) да, ρf= R+, инъективна, не сюръективна. 1.2.4 Каждый студент пользуется услугами в точности одного оператора. 1.2.5 a) не инъективно, не сюръективно; б) не инъективно, сюръективно; в) биективно, f−1(y) = ey− 3; г) инъективно, не сюръективно; д) не инъективно, не сюръективно; е) биективно, f−1(y) = −√y; ж) не инъективно, сюръективно; з) не инъективно, сюръективно; и) биективно,

f−1(y) =



1



, y 6= 0

y



0, y = 0

.

4y + 3

1.2.6 a) 1) A = (−∞, −4) ∪(−4, ∞), 2) B = (−∞, 2) ∪(2, ∞), 4) f−1(y) =

∪

1 2

x

1) A = (−2, ∞), 2) B = R, 4) f−1(y) =

B =−

, 0∪0,

2

(g ◦ f )(x) = e

π

sin2(x2+3)



π

ctg x − 1

, 4) f−1(y) =

2

+ sin(x2+ 3); б) (f ◦ g)(x) = ln(x4+ 7x2+ 13), (g ◦ f )(x) =

√

3

ey+ 8; в) 1) A =−∞, −

. 1.2.7 а) (f ◦g)(x) = sin((e

2

2 −y

1

−

2

+ x)2+ 3),

; б)

, ∞, 2)

Ответы 123

q

ln2(x4+ x2+ 1) + 3; в) (f ◦ g ◦f)(x) = e

arctg e

2|x|

, (g ◦ f ◦ g)(x) = arctg(e

2| arctg(x2)|

);

г) (f ◦ g ◦ f )(x) = ln(|ln5(|x| + 1)| + 1), (f ◦ f ◦ g)(x) = ln5(|ln(|x| + 1)| + 1). 1.2.8 a) P ◦ Q = ((2N + 1) × N) ∪ (2N × 2N), Q ◦ P = ((2N + 1) × (2N + 1)) ∪ (2N × N); б) P ◦ Q = Q ◦ P = P ; в) P ◦ Q = {(m, n) |m, n ∈ N, m − n делится на 3}, Q ◦ P = {(2m, n) |m, n ∈ N, m + n делится на 3}; г) P ◦Q = {(x, v) |v ∈ R

+

, x + v + 2√v > 0},

0

Q ◦P = {(u, y) |u ∈ [1, 2], y ∈ (−∞, −√2u − u2) ∪(√2u − u2, ∞), или u ∈ (2, ∞), y ∈ R} или Q ◦P = {(u, y) |u ∈ [1, ∞), (u −1)2+ y2> 1; д) P ◦Q = {(x, v) |v(1 −x2) 6= 1}, Q ◦ P = {(u, y) |y ∈ (−∞, 1], u ∈ R}; е) P ◦ Q = Q ◦ P = R2; ж) P ◦ Q = Q ◦ P = Z2; з) P ◦Q = {(x, v) |x4−4x3+ 4x2< v, x ∈ (−∞, 0) ∪(2, ∞)}∪{(x, v) |x ∈ [0, 2], v > 1}, Q ◦ P = {(u, y) |u4< y −1}; и) P ◦ Q = R2\{(0, 1)}, Q ◦P = R2.

1.3



1 0 0 0



1 0 0 1

1.3.1 а) [P ] =

 

1 1 1 1 0 0 0 1

не рефлексивно, не симметрично, антисимметрично, транзитивно.





1 0 1 1

б) [P ] =



0 1 0 0

 

1 0 1 1

  

1 0 1 1

рефлексивно, симметрично, не антисимметрично, транзитивно.





1 0 1 0

в) [P ] =



0 1 0 1

 

1 0 1 0

  

0 1 0 1

рефлексивно, симметрично, не антисимметрично, транзитивно.





0 0 1 0

г) [P ] =



0 1 1 0

 

0 0 1 0

  

1 0 0 1

не рефлексивно, не симметрично, антисимметрично, не транзитивно.





1 0 0 1

д) [P ] =



0 1 0 0

 

0 1 1 0

  

1 0 0 1

рефлексивно, не симметрично, не антисимметрично, транзитивно.





1 0 0 0

e) [P ] =



1 1 1 1

 

1 0 1 0

  

1 0 0 1



 

, [P−1] =



, [P−1] =



1 1 1 0



0 0 1 0

 

0 0 1 0 0 1 1 1



1 0 1 1



0 1 0 0

 

1 0 1 1 1 0 1 1



1 0 1 0



0 1 0 1

 

1 0 1 0 0 1 0 1



0 0 0 1



0 1 0 0

 

1 1 1 0 0 0 0 1



1 0 0 1



0 1 1 0

 

0 0 1 0 1 0 0 1



1 1 1 1



0 1 0 0

 

0 1 1 0 0 1 0 1



  



  



  



  



  



 

;



;

рефлексивно, не симметрично, антисимметрично, транзитивно.

1.3.2 а) δP= ρP= R, не рефлексивно, не симметрично, антисимметрично, транзи- тивно; б) δP= ρP= R, не рефлексивно, не симметрично, не антисимметрично, не транзитивно; в) δP= ρP= N, не рефлексивно, симметрично, не антисимметрично, не транзитивно; г) δP= ρP= N, рефлексивно, симметрично, не антисимметрично, транзитивно; д) δP= ρP= N, не рефлексивно, симметрично, не антисимметрично, не транзитивно; е) δP= R, ρP= R∗не рефлексивно, не симметрично, антисиммет-

124 Ответы

рично, транзитивно; ж) δP= ρP= N, рефлексивно, не симметрично, антисиммет- рично, транзитивно; з) δP= ρP= Z, не рефлексивно, не симметрично, антисиммет- рично, транзитивно; и) δP= R, ρP= (−2, ∞), не рефлексивно, не симметрично, не антисимметрично, не транзитивно.

1.3.3 а) A = N, P = {(m, n) |m четно, m = n}; б) A = R, P = {(x, y) | x, y ∈ R\{0}}; в) см. а); г) A = N, P = {(m, n) |m + n + 1 не делится на 4}; д) A = R, P = {(x, y) |x2> y2}. 1.3.4 а) нет; б) да (половина студентов получила ”2“ по предмету X и ”3“ по предмету Y, а остальные студенты — наоборот); в) да (каждый студент получил одинаковые оценки по всем предметам); г) да (см. п. в)).

1.4

1.4.1 а) да, каждый класс эквивалентности состоит из чисел вида n + α, где n ∈ Z,

произвольное α ∈ [0, 1) — фиксированное; б) да, каждый класс эквивалентности состоит из чисел, соответствующих точкам комплексной плоскости, лежащих на окружности фиксированного радиуса с центром в начале координат; в) да, каждый класс эквивалентности состоит из комплексных чисел с фиксированной мнимой частью; г) да, каждая прямая задает класс эквивалентности, состоящий из всех параллельных ей прямых; д) нет; е) да, каждый класс эквивалентности состоит из чисел вида 2ab, где a ∈ N, b ∈ 2N + 1; ж) нет. 1.4.2 а) не предпорядок; б) предпо- рядок, но не порядок; в) не предпорядок; г) порядок частичный, но не линейный, наименьший и минимальный элемент (0, 0), наибольших и максимальных нет; д) порядок линейный, но не полный, наибольших, максимальных, наименьших, минимальных элементов нет; е) полный порядок, наименьший и минимальный элемент (0, 0), наибольших и максимальных нет; ж) порядок частичный, но не линейный, наименьших и минимальных элементов нет, наибольший и максимальный элемент 1; з) предпорядок, но не порядок; и) порядок линейный, но не полный, наибольший и максимальный элемент 0, наименьший и минимальный элемент −1; к) не предпорядок; л) порядок линейный, но не полный, наибольших, максимальных, наименьших, минимальных элементов нет; м) порядок линейный, но не полный, наибольший и максимальный элемент 9, наименьший и минимальный элемент 0; н) порядок частичный, но не линейный, минимальные элементы — все окружности радиуса 1, проходящие через точку O, наименьших, наибольших и максимальных элементов нет; о) предпорядок, но не порядок. 1.4.3 |A| = 1. 1.4.4 P = {(a, a) |a ∈ A}.

r

1.4.6. а)

" 



H

 H (

h 





"



H 

H (



r

"



H 

H

(



(2,1)

r

(3,2)

r

r r r r

6 9 7 10

8



C



C

r

4

г)



r

(2,3)

H



r

h

(1,3) (3,1)

H

(1,2)



"



C



" Q



H  h

(

r

H

C

 Q



H 

h

( H



r



AA

1

r

(3,3)

H



r

(2,2)

H

(

h 

r

(1,1)

AA

"

r r r

Q

2 3 5

 H

 h

H

б)

r r r r

5 8 6 7

A

Q



r

4





A





r r

H

2 3

H

1.4.7 нет

r r

@



r r

 

H

@ 

Q



H



r

@

1



@

 Q



r

 @

Q



A @

Q 

в)

A

A Q

@

A





r

(1,3)

@



r

(2,3)

@

@ 



r

(1,2)

@

(3,3)

@

@ 



r

(2,2)

@

@ 



r

(1,1)

r

(3,2)

@

@ 



r

(2,1)

r

(3,1)

1.4.9 а) нет; б) да.

Ответы 125

1.5

1.5.1 а) да, изоморфизм ϕ определен следующим образом: ϕ(1) = e, ϕ(2) = d,

ϕ(3) = a, ϕ(4) = c, ϕ(5) = b; б) нет; в) нет; г) да, изоморфизм ϕ определен следующим образом: ϕ(1) = b, ϕ(2) = f , ϕ(3) = d, ϕ(4) = c, ϕ(5) = e, ϕ(6) = a. 1.5.2 а) да, изоморфизм ϕ определен следующим образом: ϕ((m, n)) = (m + 1, n + 1); б) нет; в) да, изоморфизм ϕ определен следующим образом: ϕ(2m3n) = 2n3m; г) нет. 1.5.3 а) да, ϕ(2n) = 3n; б) да, ϕ(α) = −ctg α; в) да, ϕ(x) = ln x; г) нет; д) нет.

1.6

1.6.6 б) n = 60. 1.6.10 Рассуждения, приведенные в индукционном переходе, не

верны при k = 1.

1.7

1.7.7 а) да, б) да, в) да, г) да.

К главе 2

2.1

2.1.1 Да. 2.1.2 Нет. 2.1.3 Нет. 2.1.4 Нет. 2.1.5 Нет. 2.1.6 Нет. 2.1.7 Да.

2.1.8 Нет. 2.1.9 Нет. 2.1.10 Да. 2.1.11 Нет. 2.1.12 Нет. 2.1.13 Нет. 2.1.14 Нет.

2.1.15 Да. 2.1.16 Нет. 2.1.17 Да. 2.1.18 Нет. 2.1.19 Нет. 2.1.20 Нет.

2.1.21 Да. 2.1.22 Нет. 2.1.23 Нет. 2.1.24 Да. 2.1.25 Нет. 2.1.26 Да.

2.1.27 Нет. 2.1.28 Да. 2.1.29 Нет. 2.1.30 Нет. 2.1.31 Да. 2.1.32 Да, при n = m и нет, иначе. 2.1.33 Нет. 2.1.34 Нет. 2.1.35 Да. 2.1.36 Да. 2.1.37 Да.

2.1.38 а) моноид; б) моноид; в) группа; г) моноид; д) моноид; е) группа; ж) моноид;

з) группа; и) группа; к) группа; л) группоид; м) полугруппа; н) моноид; о) группа; п) моноид; р) моноид; с) моноид; т) полугруппа. у) группа.

2.2

2.2.2 а)

∗ e a a2a3a4a5a6a7a e e a a2a3a4a5a6a7a

8

a a a2a3a4a5a6a7a8e a2a2a3a4a5a6a7a8e a a3a3a4a5a6a7a8e a a2; a4a4a5a6a7a8e a a2a a5a5a6a7a8e a a2a3a a6a6a7a8e a a2a3a4a a7a7a8e a a2a3a4a5a

3

4

5

6

126 Ответы

б)

∗ 1 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 1 1 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 5 5 25 35 19 29 13 23 7 17 1 11 31

7 7 35 13 5 19 11 25 17 31 23 1 29 11 11 19 5 13 35 7 29 1 23 31 17 25 13 13 29 19 35 25 5 31 11 1 17 7 23 17 17 13 11 7 5 1 35 31 29 25 23 19 ; 19 19 23 25 29 31 35 1 5 7 11 13 17 23 23 7 17 1 11 31 5 25 35 19 29 13 25 25 17 31 23 1 29 7 35 13 5 19 11 29 29 1 23 31 17 25 11 19 5 13 35 7 31 31 11 1 17 7 23 13 29 19 35 25 5 35 35 31 29 25 23 19 17 13 11 7 5 1

в)

∗ 1 −1 i −i j −j k −k 1 1 −1 i −i j −j k −k

−1 −1 1 −i i −j j −k k i i −i −1 1 k −k −j j

−i −i i 1 −1 −k k j −j ; j j −j −k k −1 1 i −i

−j −j j k −k 1 −1 −i i k k −k j −j −i i −1 1

−k −k k −j j i −i 1 −1

г)

+ (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 1) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (0, 2) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1) , (1, 0) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 2) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (0, 2) (0, 0) (0, 1)



где (a, b) обозначает

2.2.3 а) 0 1 2 3 4

a 0 0 b



.

группа; б) 1 2 3 4 5 6

0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3

группа;

1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 4 4 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 6 6 5 4 3 2 1

Ответы 127

в)

+

−

+

−

+

a

+

a

+

−

a

+ +

a

−

a

−

+

b

+

−

b

+ +

b

−

b

−

+

−

a

+

−

+

a

+

−

a

−

+

a

−

+

b

+

−

b

+

−

+

b

−

+

−

b

−

+

a

−

+

−

a

−

+

a

−

+

−

a

+

−

+

a

+

−

b

+

−

+

b

+

−

b

−

+

b

−

+

−

b

+

−

b

+

−

+

b

+

−

b

−

+

b

−

+

a

+

−

a

+

−

+

a

−

+

−

a

−

+

г)

e σ+σ−τuτrτ

e e σ+σ−τuτrτ σ+σ+σ σ−σ

−

τuτuτlτ τrτrτ

τlτlτrτuσ+σ

e τlτuτ

−

e σ+τrτlτu,

e σ+σ

r

σ

uτl

e σ

−

e

−

д)

◦ e σ1σ2σ3τvτhτiτ e e σ1σ2σ3τvτhτiτ σ1σ1σ2σ3e τiτdτhτ

σ2σ2σ3e σ1τhτvτdτ σ3σ3e σ1σ2τdτiτvτh, τvτvτdτhτie σ2σ3σ τhτhτiτvτdσ2e σ1σ τiτiτvτdτhσ1σ3e σ τdτdτhτiτvσ3σ1σ2e

2.2.4

∗ (123) (132) (213) (231) (312) (321) (123) (123) (132) (213) (231) (312) (321) (132) (132) (123) (231) (213) (321) (312) (213) (213) (312) (123) (321) (132) (231) (231) (231) (321) (132) (312) (123) (213) (312) (312) (213) (321) (123) (231) (132) (321) (321) (231) (312) (132) (213) (123)

+

−

b

−

+

−

b

−

+

b

−

+

−

b

+

−

+

b

+

−

a

+

−

+

a

+

−

a

−

+

a

−

+

где a

∗

b

=

◦

,



∗

=

◦



∗1 0

0 ∗1

◦1 0

0 ◦1



, группа;

где e — тождественное преобразование,

l

σ±— поворот на угол

l

в положительном или отрицательном на-

r

правлении, τu— симметрия относительно

2π

соответственно

3

вертикальной оси симметрии, τr— симметрия относительно оси симметрии, проходя-

−

щей через правую вершину треугольника, а

+

τl— симметрия относительно оси симмет-

рии, проходящей через левую вершину треугольника, группа;

где e — тождественное преобра-

d

v

i

зование, σm— поворот на угол

mπ

в положительном направ-

2

лении, τv— симметрия относительно вертикальной оси симметрии, τh— симметрия относи-

1

3

тельно горизонтальной оси симметрии, τi— симметрия относительно оси симметрии, про-

2

ходящей через диагональ, идущую из левой нижней вершины, τd— симметрия относительно оси симметрии, проходящей через диагональ, идущую из левой верхней вершины.

,

где (ijk)— это матрица, в которой единицы стоят на позициях (1, i), (2, j) и (3, k).

128 Ответы

2.2.5 а)

⊕ 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 0 2 2 3 4 5 6 7 0 1 3 3 4 5 6 7 0 1 2 4 4 5 6 7 0 1 2 3 5 5 6 7 0 1 2 3 4 6 6 7 0 1 2 3 4 5 7 7 0 1 2 3 4 5 6

∗ 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 0 2 4 6 3 0 3 6 1 4 7 2 5

,

4 0 4 0 4 0 4 0 4 5 0 5 2 7 4 1 6 3 6 0 6 4 2 0 6 4 2 7 0 7 6 5 4 3 2 1

;

б)

⊕ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 4 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 5 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4

,

6 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 7 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 8 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7

9 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

в)

∗ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10

3 0 3 6 9 0 3 6 9 0 3 6 9

4 0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8

5 0 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7

6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6

7 0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5

8 0 8 4 0 8 4 0 8 4 0 8 4

9 0 9 6 3 0 9 6 3 0 9 6 3 10 0 10 8 6 4 2 0 10 8 6 4 2 11 0 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

⊕ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 4 4 6 8 10 12 14 16 18 0 2 6 6 8 10 12 14 16 18 0 2 4 8 8 10 12 14 16 18 0 2 4 6

,

10 10 12 14 16 18 0 2 4 6 8 12 12 14 16 18 0 2 4 6 8 10 14 14 16 18 0 2 4 6 8 10 12 16 16 18 0 2 4 6 8 10 12 14 18 18 0 2 4 6 8 10 12 14 16

;

Ответы 129

∗ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 4 0 8 16 4 12 0 8 16 4 12 6 0 12 4 16 8 0 12 4 16 8 8 0 16 12 8 4 0 16 12 8 4

;

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 14 0 8 16 4 12 0 8 16 4 12 16 0 12 4 16 8 0 12 4 16 8 18 0 16 12 8 4 0 16 12 8 4

г)

⊕ (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 1) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (0, 2) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (2, 2) (2, 0) (2, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 0)

,

(1, 2) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (2, 2) (2, 0) (2, 1) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (2, 0) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 2) (2, 2) (2, 0) (2, 1) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1)

∗ (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 0) (2, 0) (1, 0) (0, 1) (2, 1) (1, 1) (0, 2) (2, 2) (1, 2) (0, 2) (0, 0) (1, 0) (2, 0) (0, 2) (1, 2) (2, 2) (0, 1) (1, 1) (2, 1) (1, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (1, 1) (0, 0) (2, 1) (1, 2) (1, 1) (0, 2) (2, 0) (2, 2) (1, 0) (0, 1) (1, 2) (0, 0) (1, 1) (2, 2) (1, 2) (2, 0) (0, 1) (2, 1) (0, 2) (1, 0) (2, 0) (0, 0) (0, 2) (0, 1) (2, 0) (2, 2) (2, 1) (1, 0) (1, 2) (1, 1) (2, 1) (0, 0) (2, 2) (1, 1) (2, 1) (1, 0) (0, 2) (1, 2) (0, 1) (2, 0) (2, 2) (0, 0) (1, 2) (2, 1) (2, 2) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (2, 0) (0, 2)

где (a, b) обозначает a + b√2; д)

⊕ (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 1) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (0, 2) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (2, 2) (2, 0) (2, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 2) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (2, 2) (2, 0) (2, 1) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (2, 0) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 2) (2, 2) (2, 0) (2, 1) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1)

,

130 Ответы

∗ (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 1) (0, 1) (0, 2) (0, 2) (0, 2) (0, 2) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 2) (0, 2) (0, 2) (0, 1) (0, 1) (0, 1) (1, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (1, 1) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 2) (2, 0) (2, 1)

,

(1, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (2, 0) (0, 0) (0, 2) (0, 1) (2, 0) (2, 2) (2, 1) (1, 0) (1, 2) (1, 1) (2, 1) (0, 0) (0, 2) (0, 1) (2, 1) (2, 0) (2, 2) (1, 2) (1, 1) (1, 0) (2, 2) (0, 0) (0, 2) (0, 1) (2, 2) (2, 1) (2, 0) (1, 1) (1, 0) (1, 2)

где (a, b) обозначает a + b√3;

е)

⊕ (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 1) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (0, 2) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (2, 2) (2, 0) (2, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 0)

,

(1, 2) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (2, 2) (2, 0) (2, 1) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (2, 0) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 2) (2, 2) (2, 0) (2, 1) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1)

∗ (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 0) (2, 0) (1, 0) (0, 1) (2, 1) (1, 1) (0, 2) (2, 2) (1, 2) (0, 2) (0, 0) (1, 0) (2, 0) (0, 2) (1, 2) (2, 2) (0, 1) (1, 1) (2, 1) (1, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (1, 1) (0, 0) (2, 1) (1, 2) (1, 1) (0, 2) (2, 0) (2, 2) (1, 0) (0, 1) (1, 2) (0, 0) (1, 1) (2, 2) (1, 2) (2, 0) (0, 1) (2, 1) (0, 2) (1, 0) (2, 0) (0, 0) (0, 2) (0, 1) (2, 0) (2, 2) (2, 1) (1, 0) (1, 2) (1, 1) (2, 1) (0, 0) (2, 2) (1, 1) (2, 1) (1, 0) (0, 2) (1, 2) (0, 1) (2, 0) (2, 2) (0, 0) (1, 2) (2, 1) (2, 2) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (2, 0) (0, 2)

где (a, b) обозначает a + bi;

ж)

⊕ (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 1) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (0, 2) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (2, 2) (2, 0) (2, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 2) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (2, 2) (2, 0) (2, 1) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (2, 0) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 1) (2, 2) (2, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (2, 2) (2, 2) (2, 0) (2, 1) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1)

,