Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по дискретной математике. Учебное пособие
.pdf
Глава 2
Алгебраические системы
2.1 Определение алгебраических систем. Алгебры. Группы
Пример 2.1. Являются ли алгебраическими системами данные мно-
жества с операциями? Какие из алгебраических систем являются алгебрами?
1. h2Z + 1; ·i; 2. hZ; +, ·, 6i; 3. hQ∗; ·, :, 4i; 4. hZ; :i; 5. hQ; +, ·,√2i.
Решение. 1. Множество является алгебраической системой, так как
произведение двух нечетных чисел — нечетное число. Более того, так
как сигнатура функциональна (см. [5], § 2.1), данная система является
алгеброй.
2. Это множество также является алгебраической системой, так как и
сумма, и произведение двух целых чисел являются целыми числами,
однако данная система не является алгеброй, так как система содержит предикатный символ 6.
3. Множество является алгеброй, так как сигнатура функциональна и
множество Q∗замкнуто относительно умножения и деления, и константа также принадлежит Q∗.
4. Это множество не является алгебраической системой, так как множество Z не является замкнутым относительно деления (делимое не
может быть равным нулю, а также, например, (1 : 3) 6∈ Z).
5. Это тоже не алгебраическая система, так как√2 6∈ Q.
Пример 2.2. Дана алгебра A = hR2; ×i, где бинарная операция опре-
делена следующим образом: (a1, b1) × (a2, b2) = (a1a2, b1b2). Является
ли A группой? В случае отрицательного ответа выяснить, является ли
эта алгебра моноидом, полугруппой, группоидом.
Решение. Лучше начинать решение “с конца”. Итак, операция × бинар-
ная, причем, для любых (a1, b1), (a2, b2) ∈ R2имеем (a1, b1) ×(a2, b2) ∈
42 Глава 2. Алгебраические системы
R2. Следовательно, A — группоид.
Пусть (a1, b1), (a2, b2), (a3, b3) ∈ R2. Имеем
((a1, b1) ×(a2, b2)) ×(a3, b3) = (a1a2, b1b2) ×(a3, b3) =
= ((a1a2)a3, (b1b2)b3) =
= (a1(a2a3), b1(b2b3)) =
= (a1, b1) ×(a2a3, b2b3) =
= (a1, b1) ×((a2, b2) ×(a3, b3)).
Следовательно, A — полугруппа.
Легко видеть, что (a, b) ×(1, 1) = (a, b) = (1, 1) ×(a, b) для любого
элемента (a, b) из R2. Таким образом, A — моноид.
Наконец, пусть (a, b) ∈ R2, тогда проверим, существует ли элемент
(x, y), такой что (a, b) ×(x, y) = (x, y) ×(a, b) = (1, 1). Так как (a, b) ×
(x, y)) = (ax, by) = (xa, yb) = (x, y) × (a, b), получаем x =
1
и y =
a
1
b
Таким образом, элемент (a, b)−1определен только если a 6= 0 и b 6= 0.
.
Следовательно, A не является группой.
2.1. Задачи
Для каждого множества с заданными на нем операциями выяснить, являются ли оно алгеброй.
2.1.1. hN; +, ·i.
2.1.2. hN; −i.
2.1.3. hN; +, ·,√2i.
2.1.4. hQ; +, :i.
2.1.5. hZ∗; :i.
2.1.6. hR; lni.
2.1.7. hR; +, sqi, где sq(x) = x2.
2.1.8. hR; −, sqrti, где sqrt(x) =√x.
2.1.9. hQ; ·, cbrti, где cbrt(x) =
2.1.10. hR; ·, cbrti, где cbrt(x) =
√
3
√
x.
3
x.
2.1.11. hN; ·, ∗i, где x ∗y = xy.
2.1.12. hZ∗; ·, ∗i, где x ∗ y = xy.
2.1.13. hQ∗; +, ∗i, где x ∗ y = xy.
2.1.14. hR\Q; ·, +i.
2.1.15. hC; ·, sqrti, где sqrt(0) = 0 и, если x 6= 0, то sqrt(x) — это тот
квадратный корень из x, аргумент которого лежит в промежутке [0, π).
x + y
2.1.16. h2Z; ⊕i, где x ⊕ y =
.
2
2.1. Определение алгебраических систем. Алгебры. Группы 43
2.1.17. h2Z; ⊗i, где x ⊗ y =
.
2
2.1.18. hR; 6, +i.
2.1.19. h(N + iN)\{0}; +, ·i.
2.1.20. h(Z + iZ)\{0}; ·, :i.
2.1.21. hV3; +, ×i, где V3— множество геометрических векторов про-
странства.
2.1.22. hV ; −, ×i, где V — множество геометрических векторов вида
(x, x, y).
2.1.23. hV3; ( , )i, (u, v) — скалярное произведение.
2.1.24. hR[x]; +, ·, −i.
2.1.25. hR3[x]; +, −i.
2.1.26. hR63[x]; +, −i.
xy
2.1.27. hR63[x]; ·i.
d
2.1.28.R[x];
dx
, I, где I(f(x)) =
Z
x
0
f(y)dy.
d
2.1.29.S;
, I, где S — множество функций, представимых в виде
dx
n
X
aixi, для некоторых m, n ∈ N, где ai∈ R, i пробегает целые значе-
i=−m
ния от −m до n, I(f(x)) =
Z
x
0
f(y)dy.
2.1.30. hM (R), +i.
2.1.31. hM
2.1.32. hM
n×m
n×m
(R), +i.
(R), ·i.
2.1.33. hMn(R), deti.
2.1.34. hM
k,l
, +, ·i, где M
держащее матрицы (aij)
2.1.35. hM
, +, ·i, где M
k,l
держащее матрицы (aij)
k,l
— подмножество множества M
, такие что aij= 0, если i > k и j > l.
n×n
— подмножество множества M
k,l
, такие что aij= 0, если i > k или j > l.
n×n
n×n
n×n
(R), со-
(R), со-
2.1.36. hC0(R), +i, где C0(R) — множество последовательностей действительных чисел, в каждой из которых все элементы, начиная с некоторого, равны 0, а операция “+” определяется поэлементно, то есть
(a0, a1, . . . ak, . . . ) + (b0, b1, . . . bk, . . . ) = (a0+ b0, a1+ b1, . . . ak+ bk, . . . ).
2.1.37. hl2(R), +i, где l2(R) — множество последовательностей действительных чисел (a0, a1, . . . , ak, . . . ), таких что ряд
P
∞
i=0
2
a
сходится, а
i
операция “+” определена, как в предыдущей задаче.
2.1.38. Проверить, является ли группой каждая из следующих алгебр.
44 Глава 2. Алгебраические системы
В случае отрицательного ответа выяснить, является ли система моноидом, полугруппой, группоидом:
а) hN; +i; б) hZ; ·i; в) hZ[x]; +i; г) hQ[x]; ·i;
д) hM
з) hM
лителем равным 1, все элементы которых — целые числа;
(N); +i; е) hM
n×m
0
(Z); ·i, где M
n
(Z); +i; ж) hMn(R); ·i;
n×m
0
(Z) — множество матриц размера n × n с опреде-
n
a b
и) hM \{O}; ·i, где M — множество матриц вида
, a, b ∈ R;
−b a
к) hA; +i, где A — множество всех рациональных чисел, представимых
a
в виде
, где a ∈ Z, n ∈ N;
n
2
л) hQ; ⊕i, если a ⊕ b = a + 2b; м) hZ∗; ∗i, если a ∗ b = 2ab;
н) hQ, ⊗i, где a ⊗ b = ab + a + b;
о) hQ\{−1}, ⊗i, где a ⊗ b определено, как в п. н);
п) hMn({0, 1}), ∗i, где операция “∗” определена, как в [5], § 1.5, см. так-
же раздел 1.3;
р) hMn({0, 1}), ◦i, где операция “◦” определена, как в [5], § 1.5, см. так-
же раздел 1.3;
с) hR[x], ◦i, где операция “◦” определена по следующему правилу:
f ◦ g(x) = g(f(x));
т) heR[x]; ·i, гдеeR[x] — множество многочленов с действительными ко-
эффициентами, без свободных членов;
у) h2Z; ◦i, где операция “◦” определена по следующему правилу: a ◦b =
ab
.
2
2.2 Таблицы Кэли
Пример 2.3. Доказать, что множество A всех (комплексных) корней
восьмой степени из 1 с операцией умножения является группой. Построить ее таблицу Кэли.
Решение. 1. Ассоциативность умножения на множестве A следует из
ассоциативности умножения на множестве C.
2. Нейтральным элементом, очевидно, является 1. Это число принадлежит множеству A, так как 18= 1.
3. Напомним, что любой элемент z множества A может быть пред-
2πki
ставлен в виде z = e
2π(8−k)i
· e
2π·8i
8
= e
e
2πki
8
8
, где k = 0, 1, . . . , 7. Соответственно, имеем
= e
2πi
= 1.
8
2.2. Таблицы Кэли 45
4. Пусть z1= e
2πki
8
, z2= e
2πli
8
. Имеем z1z2= e
2πki
8
· e
2πli
8
= e
2π(k+l)i
8
Если k + l 6 7, то произведение уже представлено в требуемом виде.
Если же k + l > 8, то, очевидно, k + l 6 7 + 7 = 14 и мы получаем
z1z2= e
2π(k+l)i
8
= e
2π(k+l−8)i
8
· e
2πi
= e
2π(k+l−8)i
8
· 1 = e
2π(k+l−8)i
8
, причем
0 6 k + l 6 6, следовательно, и в этом случае произведение представимо в требуемом виде. Таким образом, мы доказали, что hA; ·i является
группой.
2πki
Для построения таблицы Кэли введем обозначения εk= e
8
для
k = 1, 2, . . . , 7, тогда таблица примет следующий вид:
· 1 ε1ε2ε3ε4ε5ε6ε
1 1 ε1ε2ε3ε4ε5ε6ε
7
7
ε1ε1ε2ε3ε4ε5ε6ε71
ε2ε2ε3ε4ε5ε6ε71 ε
ε3ε3ε4ε5ε6ε71 ε1ε
ε4ε4ε5ε6ε71 ε1ε2ε
ε5ε5ε6ε71 ε1ε2ε3ε
ε6ε6ε71 ε1ε2ε3ε4ε
ε7ε71 ε1ε2ε3ε4ε5ε
1
.
2
3
4
5
6
.
Пример 2.4. Рассмотрим множество {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Проверить, явля-
ется ли это множество группой относительно операции ”∗“, определенной следующим образом: a ∗ b = остатку от деления ab на 6. В случае
отрицательного ответа выяснить, является ли это множество моноидом,
полугруппой, группоидом.
Решение. Достаточно очевидно, что наше множество является группоидом.
Чтобы доказать, что для данного множества с данной операцией выполнено свойство ассоциативности, докажем, что остаток от деления на
некоторое число n произведения двух чисел зависит только от остатков от деления сомножителей на n. Действительно, пусть a = kn + r,
а b = ln + s, где 0 6 r, s 6 n − 1. Имеем ab = (kn + r)(ln + s) =
kln2+ ksn + rln + rs = n(kln + ks + rl) + rs. Таким образом, для любых
двух чисел остаток от деления их произведения на n равен остатку от
деления на n произведения остатков от деления сомножителей на n.
Из определения операции ∗ следует, что (a ∗ b) ∗ c равно остатку от
деления (a ∗ b)c на 6. Так как a ∗ b равно остатку от деления ab на
46 Глава 2. Алгебраические системы
6, в силу только что доказанного свойства получаем, что остатки от
деления на 6 чисел (a ∗ b)c и (ab)c равны. Аналогично доказывается,
что a ∗ (b ∗ c) равно остатку от деления a(bc) на 6. Осталось отметить,
что (ab)c = a(bc), так как умножение на множестве Z ассоциативно.
Следовательно, (a ∗ b) ∗c = a ∗ (b ∗ c).
Построим таблицу умножения для операции ∗:
∗ 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
.
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
Легко видеть, что данная таблица не удовлетворяет свойству таблиц
Кэли для групп, например, в первой ее строке элемент 0 повторяется
6 раз. Следовательно, данное множество с данной операцией не может
быть группой. С другой стороны, элементы в строчке, соответствующей
элементу 1 равны соответствующим элементам в заголовках столбцов,
а элементы в столбце, соответствующем элементу 1 равны соответствующим элементам в заголовках строк. Следовательно, наше множество
является моноидом.
Пример 2.5. Рассмотрим множество {0, 1, . . . , 5} и определим на нем
операции ⊕ и ∗ следующим образом: a ⊕ b = остатку от деления a +
b на 6, a ∗ b = остатку от деления a · b на 6. Для операции ∗ таблица
Кэли уже была построена в примере 2.4, построим таблицу Кэли для
операции ⊕:
⊕ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
.
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
2.2. Задачи
2.2.1. Пусть A — группа с конечным носителем. Доказать, что в каж-
дом столбце таблицы Кэли этой группы все элементы встречаются по
одному разу.
2.2. Таблицы Кэли 47
2.2.2. Построить таблицу Кэли для следующих алгебр:
a) C9;
б) группа, состоящая из всех чисел от 0 до 35, взаимно простых с 36,
если операция ”∗“ определена так: a ∗ b = остатку от деления ab на 36
∗
36
);
(Эта группа обозначается Z
в) группа кватернионов H;
a10
г) группа матриц вида
0 a
, где a1∈ {0, 1}, a2∈ {0, 1, 2}, а
2
операция задана следующим образом:
a10
⊕
b10
=
c10
,
0 a
2
0 b
2
0 c
2
где c1= остатку от a1+ b1на 2, а c2= остатку от деления a2+ b2на 3.
2.2.3. Построить таблицы Кэли для каждой из следующих алгебр. Оп-
ределить, является ли алгебра группой, моноидом, полугруппой, группоидом:
а) hA; ⊕i, где A = {0, 1, 2, 3, 4}, а a ⊕b — это остаток от деления числа
a + b на 5;
б) hB; ∗i, где B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, а a ∗b — это остаток от деления числа
ab на 7;
в) hC; ·i, где C =
±1 0
0 ±1
,
0 ±1
(всего восемь матриц);
±1 0
г) hT3, ◦i, где T3множество всех симметрий равностороннего треугольника, а операция ◦ определена следующим образом: τ ◦ ρ — это суперпозиция (то есть последовательное выполнение) преобразований τ и ρ;
д) hT4, ◦i, где T4— множество всех симметрий квадрата, а операция
определена, как в п. г).
2.2.4. Доказать, построив таблицу Кэли, что множество, состоящее из
всех квадратных матриц третьего порядка, в каждой строке и в каждом
столбце которых ровно по одной единице и по два нуля, образует группу
относительно матричного умножения.
2.2.5. Построить таблицы Кэли для следующих алгебр.
а) Z8; б) Z12;
в) множество четных чисел от 0 до 18, с операциями, определенными,
как в Z20;
г) {a + b√2 |a, b = 0, 1, 2} относительно операций сложения и умноже-
ния, определенных следующим образом: (a+b√2)⊕(a0+b
где c и d равны соответственно остаткам от деления a + a0и b + b0на
3, а (a + b√2) ∗(a0+ b
√
0
2) = c + d√2, где c и d равны соответственно
√
0
2) = c+d√2,
48 Глава 2. Алгебраические системы
остаткам от деления aa0+ 2bb0и ab0+ a0b на 3;
д) {a + b√3 |a, b = 0, 1, 2} относительно операций сложения и умноже-
ния, определенных следующим образом: (a+b√3)⊕(a0+b
где c и d равны соответственно остаткам от деления a + a0и b + b0на
3, а (a + b√3) ∗(a0+ b
√
0
3) = c + d√3, где c и d равны соответственно
√
0
3) = c+d√3,
остаткам от деления aa0и ab0+ a0b на 3;
е) {Z3+ iZ3|a, b = 0, 1, 2} относительно операций сложения и умножения, которые индуцируются операциями в Z3и C.
ж) множество матриц из M2(Z3), вторая строка которых состоит из
нулей, относительно операций матричного сложения и умножения.
2.3 Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебраических систем
Пример 2.6. Даны алгебры A = hR; +i и B = h[0, 1); ⊕i, где a ⊕ b =
{a+b}. Проверить, является ли гомоморфизмом алгебры A в алгебру B
функция ϕ : R → [0, 1), определенная следующим образом: ϕ(a) = {a}
для любого a ∈ R.1({x} — это дробная часть числа x, то есть число из
интервала [0, 1) такое что x − {x} целое.)
Решение. Необходимо проверить, что для любых a,b ∈ R выполнено
ϕ(a+b) = ϕ(a)⊕ϕ(b), то есть надо показать, что справедливо равенство
{a + b} = {a} ⊕ {b}. (2.1)
Пусть a = n + {a}, а b = m + {b}. Вычислим выражения в правой и
левой частях равенства (2.1). В левой части имеем
{a + b} = {n + {a}+ m + {b}} = {{a} + {b}}.
С другой стороны, вычисляя выражение в правой части, получаем
{a} ⊕{b} = {n + {a}}⊕{m + {b}} = {a} ⊕ {b} = {{a} + {b}}.
Итак, для данных алгебраических систем и данного отображения равенство (2.1) выполнено, а значит, функция ϕ является гомоморфизмом
A в B.
1
На первый взгляд может показаться, что условие данной задачи некорректно, так как сигнатуры алгебр различны (в первом случае сигнатура состоит из функционального символа +, в то
время, как во втором — из функционального символа ⊕). Однако, можно считать, что сигнатура
одна и та же, состоящая из одного функционального символа, соответствующего бинарной функции, а различия в обозначениях обусловлены тем, что обозначение “+” имеет достаточно широкое
распространение и вполне конкретный смысл. Наиболее дотошный читатель может считать, что
обе алгебры имеют сигнатуру Σ = {f }, где fA(a, b) = a + b для a,b ∈ R, а fB(a, b) = a ⊕ b для
a, b ∈ [0, 1).
2.3. Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебраических систем 49
Пример 2.7. Доказать, что алгебраические системы A = hR+, ·, 6i и
B = hR; +, 6i изоморфны.
Доказательство. Рассмотрим функцию ϕ : R+→ R, определенную по
правилу ϕ(a) = ln a.
Докажем, что ϕ — гомоморфизм. Для любых a, b ∈ R+имеем
ϕ(a ·b) = ln(a ·b) = ln a + ln b = ϕ(a) + ϕ(b).
Кроме того, если a 6 b, то ϕ(a) = ln a 6 ln b = ϕ(b), что и требовалось
доказать.
Далее, докажем, что ϕ — биекция. Пусть ϕ(a) = ϕ(b), тогда ln a =
ln b, следовательно, a = e
ln a
= e
ln b
= b, то есть ϕ инъективна. Пусть
c ∈ R. Рассмотрим ec, имеем ϕec= ln ec= c. Итак, ϕ сюръективна, а
значит, и биективна.
Наконец, очевидно, что ϕ−1(c) = ec. Для любых c, d ∈ R имеем
ϕ−1(c + d) = e
c+d
= ec· ed= ϕ−1(c) ·ϕ−1(d).
Кроме того, если c 6 d, то ϕ−1(c) = ec6 ed= ϕ−1(d). Таким образом,
ϕ−1— также гомоморфизм. Следовательно, ϕ — изоморфизм.
2.3. Задачи
2.3.1. Является ли гомоморфизмом алгебры A с носителем A в алгеб-
ру B с носителем B функция ϕ : A → B, если:
a) A = hZ; ·i, B = hZ
+
; ·i, ϕ(z) = |z|;
0
б) A = hC; ·i, B = hR; ·i, ϕ(z) = |z|;
в) A = hC; ·i, B = hR, ·i, ϕ(z) = −|z|;
nπ
i
г) A = hZ; +i, B = h{z ∈ C ||z| = 1}; ·i, ϕ(n) = e
д) A = hR; +i, B =z ∈ C
|z| = 1; ·, ϕ(x) = eix;
3
;
е) A = h{0, 1, 2, . . . , 35}; ⊕1i, где a⊕1b равно остатку от деления a+b на
36, B = h{0, 1, 2, . . . , 7}; ⊕2i, где c ⊕2d равно остатку от деления c + d
на 8, ϕ(n) равно остатку от деления числа 2n на 8;
ж) A = B = hR; ·i, ϕ(x) = x2;
з) A — множество квадратных матриц n-ого порядка с операцией умножения матриц B = hR; ·i, ϕ(C) = det C, для любой матрицы C порядка
n.
2.3.2. Доказать, что следующие алгебры изоморфны:
а) hZ; +i и hA; ·i, где A = {3n|n ∈ Z};
б) hA; ·i и hB; ·i, где A определено, как в п. а), а
B = {2m|m ∈ Z};
50 Глава 2. Алгебраические системы
в) hC; ·i и hD; ·i, где C = {a + b√2 |a, b ∈ Z},
a b
D =
2b a
г) hC; +, ·i и hE; +, ·i, где E =
a, b ∈ Z;
a b
−b a
a, b ∈ R;
д) hZ2; ⊕i, если (a, b) ⊕(c, d) = (a + c, b + d) и hF, ·i, где
F = {2m· 3n|m, n ∈ Z};
е) hR+; ·i и hR; +i;
ab
ж) hZ; ·i и h2Z; ◦i, где операция “◦” определена, как a ◦b =
.
2
2.4 Подсистемы
Пример 2.8. Являются ли подалгебрами алгебры A = hZ; +, ·, 6i мно-
жества:
1. B = h2Z; +, ·, 6i; 2. C = h2Z + 1;+, ·, 6i?
Доказательство. 1. Множество B, очевидно, является подсистемой.
Действительно, как сумма, так и произведение двух четных чисел является четным.
2. С другой стороны, C = h2Z + 1; +, ·, 6i не является подсистемой, так
как это множество не является алгебраической системой (сумма двух
нечетных чисел является четным числом, то есть для a, b ∈ 2Z + 1
получаем a + b 6∈ 2Z + 1).
Пример 2.9. Найти все подалгебры, то есть все подсистемы алгебраической системы A из примера 2.3.
Решение. Общий метод решения подобных задач состоит в следующем:
рассматривается некоторое множество X элементов алгебры. Если подалгебра содержит все элементы X, то она должна содержать и все элементы, получающиеся в результате применения операций из сигнатуры
алгебры A к элементам из X. Соответственно, если все такие элементы лежат в X, то X и является подалгеброй. В противном случае, как
только найден элемент, не лежащий в X, добавляем его в X и продолжаем процедуру для расширенного множества. Если в алгебре конечное количество элементов, то на конечном шаге получается множество,
замкнутое относительно всех операций из сигнатуры алгебры A. Это
множество и будет являться подалгеброй исходной алгебры. Легко видеть, что задачи данного типа требуют проведения довольно большого
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]