Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по дискретной математике. Учебное пособие
.pdf
Ответы 141
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
;
0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
в) Если ребра пронумерованы в следующем порядке:
[2, 3], [1, 8], [4, 8], [5, 6], [3, 4], [4, 5], [1, 2], [1, 6], [6, 7], [7, 8], [3, 7], а остов состоит из последних 7 ребер, то матрица фундаментальных разрезов имеет вид
0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
;
1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
г) Если ребра пронумерованы в следующем порядке:
[1, 2], [3, 4], [5, 6], [6, 7], [1, 6], [4, 7], [2, 3], [4, 5], [1, 8], [7, 8], [3, 7], [3, 6], [2, 5], а остов состоит из последних 7 ребер, то матрица фундаментальных разрезов имеет вид
1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
;
0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
д) Если ребра пронумерованы в следующем порядке:
[1, 2], [4, 5], [2, 3], [3, 6], [1, 8], [5, 7], [2, 4], [1, 5], [4, 5], [6, 7], [7, 8], [3, 8], а остов состоит из
последних 7 ребер, то матрица фундаментальных разрезов имеет вид
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0
;
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
е) Если ребра пронумерованы в следующем порядке:
[2, 8], [3, 4], [1, 3], [7, 8], [2, 3], [2, 5], [4, 7], [4, 5], [5, 6], [1, 6], [1, 8], а остов состоит из последних 7 ребер, то матрица фундаментальных разрезов имеет вид
0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
.
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
142 Ответы
5.5
5.5.3 а) e(1) = 4, e(2) = 3, e(3) = 4, e(4) = 3, e(5) = 2, e(6) = 3, e(7) = 3,
e(8) = 3, r(G) = 2, d(G) = 4; не эйлеров, множество покрывающих цепей:
{(1, 4, 5, 6, 3, 2, 5, 8, 2); (4,7, 8)}; б) e(1) = 4, e(2) = 3, e(3) = 4, e(4) = 3, e(5) = 2,
e(6) = 3, e(7) = 4, e(8) = 3, r(G) = 2, d(G) = 4; эйлеров, множество покрывающих
цепей: {(1, 2, 5, 4, 3, 8, 4, 7, 8, 5, 6, 1)}; в) e(1) = 3, e(2) = 3, e(3) = 3, e(4) = 3, e(5) = 3,
e(6) = 2, e(7) = 3, e(8) = 3, r(G) = 2, d(G) = 3; не эйлеров, множество покрываю-
щих цепей: {(1, 6, 7, 5, 2, 4, 8, 1, 3, 7); (4, 6)}; г) e(1) = 4, e(2) = 4, e(3) = 4, e(4) = 3,
e(5) = 2, e(6) = 3, e(7) = 4, e(8) = 3, r(G) = 2, d(G) = 4; не эйлеров, множество
покрывающих цепей: {(2, 6, 1, 4, 5, 8, 7, 3, 8); (5, 6)}; д) e(1) = 2, e(2) = 2, e(3) = 2,
e(4) = 2, e(5) = 2, e(6) = 2, e(7) = 2, e(8) = 2, r(G) = d(G) = 2; не эйлеров, множе-
ство покрывающих цепей: {(2, 5, 6), (4, 1, 8, 3, 4, 6, 7); (5, 3, 7, 1, 2, 6, 8)}; е) e(1) = 3,
e(2) = 2, e(3) = 2, e(4) = 3, e(5) = 3, e(6) = 2, e(7) = 2, e(8) = 2, r(G) = 2, d(G) = 3;
эйлеров, множество покрывающих цепей: {(1, 2, 3, 6, 2, 8, 1, 7, 6, 5, 4, 8, 3, 1)}. 5.5.4 а)
2; б) 2. 5.5.5 а) 1; б) 2; в) 12. 5.5.6 а) нет; б) да; в) нет; г) нет; д) да; е) нет. 5.5.7
n = 1, 2, 3, 4.
5.6
5.6.1 Остовы могут отличаться от приведенных в ответе.
а)
q
P
P
3
@
@
@
q
@
q
2
q
1
@
Вес остова 70.
г)
q
3
q
2
H
H
H
H
q
1
@
@
@
H
q
Вес остова 79
P
@
4
q
P
P
P
P
q
5
@
@
@
@
q
6
q
78
4
q
B
@
B
@
@
q
5
B
B
B
H
H
B
H
H
B
q
6
q
78
б)
q
3
q
2
1
P
P
P
P
q
Вес остова 80.
г)
q
3
q
2
H
H
H
H
q
1
q
Вес остова 72
H
P
H
P
P
H
q
B
q
4
B
78
q
B
q
H
4
B
q
5
B
B
B
B
Bq
q
6
78
в)
P
@
@
P
P
@
4
q
q
5
@
@q
q
6
q
78
q
3
@
q
2
1
P
@
P
P
P
q
Вес остова 84
е)
q
5
B
B
B
B
H
B
q
6
q
3
q
2
q
1
q
q
@
q
4
@
@
q
5
q
6
78
Вес остова 81
5.6.4 а) ρ(v5, v1) = 23, ρ(v5, v2) = 20, ρ(v5, v3) = 10, ρ(v5, v4) = 7, ρ(v5, v6) = 13; б)
ρ(v3, v1) = 18, ρ(v3, v2) = 21, ρ(v3, v4) = 5, ρ(v3, v5) = 10, ρ(v3, v6) = 14; в) ρ(v1, v2) =
18, ρ(v1, v3) = 12, ρ(v1, v4) = 7, ρ(v1, v5) = 13, ρ(v1, v6) = 25; г) ρ(v4, v1) = 16,
ρ(v4, v2) = 6, ρ(v4, v3) = 21, ρ(v4, v5) = 7, ρ(v4, v6) = 12; д) ρ(v8, v1) = 18, ρ(v8, v2) =
30, ρ(v8, v3) = 10; ρ(v8, v4) = 22, ρ(v8, v5) = 16, ρ(v8, v6) = 6, ρ(v8, v7) = 23; е)
ρ(v7, v1) = 15, ρ(v7, v2) = 17, ρ(v7, v3) = 21; ρ(v7, v4) = 4, ρ(v7, v5) = 27, ρ(v7, v6) = 9,
Ответы 143
ρ(v7, v8) = 24. 5.6.5 a) ρ(v2, v1) = 6, ρ(v2, v3) = 7, ρ(v2, v4) = 4, ρ(v2, v5) = 15,
ρ(v2, v6) = 18; б) ρ(v5, v1) = 11, ρ(v5, v2) = 19, ρ(v5, v3) = 16, ρ(v5, v4) = 5, ρ(v5, v6) =
10; в) ρ(v3, v1) = 20, ρ(v3, v2) = 11, ρ(v3, v4) = 5, ρ(v3, v5) = 7, ρ(v3, v6) = 16; г)
ρ(v6, v1) = 16, ρ(v6, v2) = 21, ρ(v6, v3) = 18, ρ(v6, v4) = 12, ρ(v6, v5) = 5; д) ρ(v4, v1) =
20, ρ(v4, v2) = 22, ρ(v4, v3) = 29; ρ(v4, v5) = 21, ρ(v4, v6) = 9, ρ(v4, v7) = 8, ρ(v4, v8) =
25; е) ρ(v7, v1) = 18, ρ(v7, v2) = 34, ρ(v7, v3) = 4; ρ(v7, v4) = 21, ρ(v7, v5) = 22,
ρ(v7, v6) = 18, ρ(v7, v8) = 30.
К главе 6
6.1
6.1.1 Обозначим формулу из условия задачи через ϕ.
а) x y ϕ
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
г) x y z ϕ
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
6.1.2 а) да; б) нет; в) нет; г) нет; д) да; е) нет. 6.1.4 а) нет, A = {x ∈ R |x > 1},
B = {x ∈ R |x > 2}, C = {x ∈ R | x > 3}; б) да; в) нет, A = {z ∈ C
B = {z ∈ C
б) x y ϕ
0 0 0
;
0 1 0
;
1 0 0
1 1 0
д) x y z ϕ
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
;
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
|z| 6 2}, C = {z ∈ C
в) x y ϕ
0 0 0
0 1 1
;
1 0 1
1 1 1
е) x y z ϕ
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
;
0 1 1 1
.
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
|z| 6 3}; г) нет, A = {n ∈ Z |n делится на 2},
|z| 6 1},
B = {n ∈ Z |n делится на 3}, C = {n ∈ Z |n делится на 5}; д) да; е) да.
6.2
6.2.1 а) ¯x ∨ y ∨ ¯z; б) x ∨ ¯yz ∨ y ¯z; в) ¯xyz ∨ x¯y ∨ x¯z; г) x¯y ¯z ∨ ¯xy ∨ ¯xz; д) ¯x ∨y;
е) ¯xz ∨ yz ∨x; ж) x¯yz. 6.2.2 а) ¯x ∨ ¯y ∨ z; б) (x ∨y)(¯x ∨ ¯y)¯z; в) ¯x ∨ y ∨z;
г) (¯x ∨ z)y; д) (x ∨ y ∨ z)(x ∨ ¯y ∨ ¯z); е) (x ∨ ¯y)(¯y ∨ ¯z). 6.2.3 а) xy ∨ ¯xy ∨ ¯x¯y, ¯x ∨ y;
б) СДНФ не существует, (x ∨ y)(¯x ∨ y)(x ∨ ¯y)(¯x ∨ ¯y); в) ¯xy ∨ x¯y ∨ xy, x ∨ y; г)
xyz ∨xy¯z ∨x¯yz∨, x¯y ¯z∨¯xyz ∨¯xy¯z ∨¯x¯yz ∨¯x¯y¯z, СКНФ не существует; д) xy¯z∨x¯y ¯z ∨¯xyz ∨
¯xy¯z ∨¯x¯yz ∨¯x¯y¯z, (¯x∨y ∨¯z)(¯x ∨¯y ∨¯z); е) xyz ∨xy¯z ∨x¯yz ∨x¯y ¯z ∨¯xyz ∨¯x¯yz ∨¯x¯y¯z, x ∨¯y ∨z.
6.2.4 а) ¯x¯yz; б) xy¯z ∨ x¯yz ∨ ¯xyz ∨ ¯x¯y ¯z; в) xyz ∨ x¯yz ∨x¯y ¯z ∨ ¯xyz ∨ ¯xy ¯z ∨ ¯x¯yz ∨ ¯x¯y ¯z;
г) xy ¯z ∨x¯yz ∨x¯y¯z ∨ ¯xy¯z ∨ ¯x¯yz ∨ ¯x¯y ¯z; д) x¯y ¯z ∨ ¯xy ¯z ∨ ¯x¯yz ∨ ¯x¯y¯z; e) xy¯z ∨ x¯y¯z ∨ ¯xyz.
6.2.5 а) (x ∨ y ∨z)(x ∨y ∨ ¯z)(x ∨ ¯y ∨z); б) (x ∨y ∨ ¯z)(x ∨ ¯y ∨ z)(x ∨ ¯y ∨ ¯z)(¯x ∨y ∨z)
(¯x ∨y ∨ ¯z)(¯x ∨ ¯y ∨z)(¯x ∨ ¯y ∨ ¯z); в) (x ∨ ¯y ∨z)(x ∨ ¯y ∨ ¯z)(¯x ∨ y ∨z)(¯x ∨ ¯y ∨ z)(¯x ∨ ¯y ∨¯z);
г) (x ∨y ∨ z)(x ∨ y ∨ ¯z)(x ∨ ¯y ∨z)(x ∨ ¯y ∨ ¯z)(¯x ∨y ∨ z)(¯x ∨ y ∨ ¯z)(¯x ∨ ¯y ∨z)(¯x ∨ ¯y ∨ ¯z);
д) (x ∨y ∨ ¯z)(x ∨ ¯y ∨ ¯z)(¯x ∨y ∨¯z)(¯x ∨ ¯y ∨z); е) (x∨y ∨ ¯z)(x ∨ ¯y ∨ ¯z)(¯x ∨ ¯y ∨z)(¯x ∨¯y ∨¯z).
144 Ответы
6.3
6.3.1 а) тупиковая и минимальная: ¯x ∨ z; б) тупиковые и минимальные: ¯x¯z ∨
xz ∨ y¯z, ¯x¯z ∨ xz ∨ xy; в) тупиковая и минимальная: ¯xy¯z ∨ yt ∨ xz; г) тупиковая и
минимальная xy ∨¯t; д) тупиковые: ¯x¯z ∨ ¯xyt ∨xzt ∨x¯yt ∨y¯z¯t, ¯x¯z ∨ ¯xyt ∨xzt ∨ ¯y¯zt ∨y¯z¯t,
¯x¯z ∨ xzt ∨ ¯y¯zt ∨ y¯z¯t ∨yzt, тупиковая и минимальная ¯x¯z ∨ x¯yt ∨ y¯z¯t ∨yzt. 6.3.2 а)
тупиковая и минимальная: ¯xz; б) тупиковые и минимальные: (¯x ∨ z)(¯x ∨ y)(x ∨ ¯z),
(¯x∨z)(y ∨¯z)(x ∨¯z); в) тупиковая и минимальная: (¯x∨¯y)(¯y ∨¯t)(¯x∨¯z ∨t); г) тупиковая
и минимальная: (¯x∨¯z)(x∨z)(y ∨t); д) тупиковые: (x∨¯y)(¯y∨t)(¯z ∨¯t)(¯x∨z ∨t)(¯x∨y ∨¯t),
(x ∨ ¯y)(¯y ∨ ¯z)(¯z ∨¯t)(¯x ∨ z ∨ t)(¯x ∨ y ∨ z), (x ∨ ¯y)(¯y ∨ ¯z)(¯z ∨¯t)(¯x ∨ z ∨ t)(¯x ∨ y ∨¯t),
тупиковая и минимальная: (¯x ∨ ¯y)(¯y ∨ t)(¯z ∨¯t)(¯x ∨ y ∨ z). 6.3.3 а) тупиковые и
минимальные: xz∨¯x¯z∨¯y ¯z, xz∨¯x¯z∨x¯y; б) тупиковые: ¯x¯z ∨¯yz ∨xz ∨y¯z, ¯x¯y ∨y¯z∨xy ∨¯yz,
¯x¯y ∨¯x¯z ∨xy ∨xz, тупиковые и минимальные: ¯x¯z ∨¯yz ∨xy, ¯x¯y ∨y¯z ∨xz; в) тупиковая и
минимальная: x¯t∨yt∨¯x¯zt; г) тупиковая и минимальная: xz∨x¯t∨yz∨z¯t; д) тупиковые
и минимальные: ¯x¯z ∨y¯z ∨¯z¯t∨zt, ¯x¯z ∨yt ∨¯z¯t∨zt, ¯xt ∨y¯z ∨¯z¯t∨zt, ¯xt ∨yt ∨ ¯z¯t∨zt. 6.3.4
а) тупиковые и минимальные: (¯x∨z)(x ∨¯z)(¯x∨¯y), (¯x∨z)(x∨¯z)(¯y ∨¯z); б) тупиковые и
минимальные: (¯y ∨z)(y ∨¯z)(x ∨ ¯y), (¯y ∨z)(y ∨ ¯z)(x ∨ ¯z); в) тупиковая и минимальная:
(¯x ∨¯t)(¯z ∨ t), г) тупиковая и минимальная: (x ∨ ¯z ∨ t)(¯x ∨ y ∨ z)(z ∨¯t)(¯y ∨ ¯z) д)
тупиковые: (¯z ∨¯t)(¯x ∨y ∨ t)(x ∨ y ∨¯t)(y ∨ z ∨t), (¯z ∨¯t)(¯x ∨y ∨ ¯z)(x ∨y ∨z)(y ∨z ∨t),
(¯z∨¯t)(¯x∨y ∨¯z)(x∨y ∨¯t)(y∨z ∨t), тупиковая и минимальная: (¯z ∨¯t)(¯x∨y ∨t)(x∨y ∨z).
6.3.5 а) P (x, y) = xy; б) P (x, y) = x ∨y.
6.4
6.4.1 а) xyz ⊕xz ⊕x ⊕1; б) xyz ⊕xy ⊕xz ⊕yz ⊕x ⊕y; в) xy ⊕yz ⊕x ⊕y; г) xz; д)
1⊕y ⊕yz ⊕xyz; е) 1⊕x ⊕z ⊕xz. 6.4.2 а) ¯xy ∈ P0, x → y ∈ P1; да, да; б) ¯x → y ∈ P0,
y¯x ∈ P1; да, да; в) x ↔ y ∈ P1, L, x ∨y ∈ P0, P1, M ; нет; г) ¯x ∈ S, L, x ∨ ¯y ¯z ∈ P1; да,
да; д) x ∨ y ∈ P0, P1, M , (x → y)¯z не лежит ни в одном из классов Поста; да, нет; е)
x ↔ y ∈ P1, L, ¯x ∈ S, L, ¯x ↔ y ∈ L; нет; ж) x ↓ ¯y ∈ P0, ¯x|y, x → y ∈ P1; да, нет; з)
x ∨y ∈ P0, P1, M , (x ↔ y)z ∈ P0, P1, x ↓ (yz) не лежит ни в одном из классов Поста;
да, нет. 6.4.3¯(P0∪ P1) ⊆¯M.
Библиографический список
[1] Асс П. Н., Бегемотов Н. О. Штирлиц или Как размножаются ежи-
ки — Л.: Наука, 1990.
[2] Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по дискретной ма-
тематике. — М.: Наука, 1977.
[3] Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Задачи и упражнения по курсу
дискретной математики. — М.: Наука, 1992.
[4] Порошенко Е. Н., Чехонадских А. В. Дискретная математика. — Но-
восибирск, Изд-во НГТУ, 2010.
[5] Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Дискретная математика. —
Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2010.
[6] Яблонский С. В. Введение в дискретную математику — М.: Наука,
1979.
Оглавление
Предисловие ко второму изданию 3
Предисловие к первому изданию 4
Список обозначений 6
1 Элементы теории множеств 9
1.1 Множества и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Отношения и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Матрицы бинарных отношений. Специальные бинарные
отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Эквивалентности и порядки . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Изоморфизмы частично упорядоченных множеств . . . . 31
1.6 Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Мощность множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Алгебраические системы 41
2.1 Определение алгебраических систем. Алгебры. Группы . 41
2.2 Таблицы Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебраических систем . 48
2.4 Подсистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Дистрибутивные решетки и булевы алгебры 56
4 Числовые системы 61
4.1 Системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Делимость. Алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Линейные диофантовы уравнения. Сравнения . . . . . . 64
4.4 Многомодульная арифметика . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Оглавление 147
5 Теория графов 78
5.1 Способы задания графов. Изоморфизмы графов . . . . . 78
5.2 Операции над графами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3 Маршруты. Достижимость. Связность . . . . . . . . . . . 89
5.4 Остовы. Фундаментальные циклы. Фундаментальные
разрезы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5 Расстояния в графах. Эйлеровы графы. Планарные графы 94
5.6 Взвешенные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Алгебра логики 107
6.1 Формулы алгебры логики. Таблицы истинности. Эквива-
лентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3 Тупиковые и минимальные ДНФ и КНФ . . . . . . . . . 114
6.4 Полином Жегалкина. Полные системы функций . . . . . 117
Ответы 121
Библиографический список 145
Порошенко Евгений Николаевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Учебное пособие
3-е издание, исправленное и дополненное
В авторской редакции
Издание подготовлено в LATEX 2
с использованием кириллических шрифтов семейства
Computer Modern Roman
ε
Компьютерная верстка Е. Н. Порошенко
Подписано в печать 06.12.2023
Бумага офсетная, Изд. № 244
Заказ №301.
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Формат 60 ×84 1/16.
Уч-изд. л. 8,6.
Печ. л. 9,25.
Тираж 100 экз.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]