Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
В. Б. СМИРНОВА, М. Ю. ФЕДОРОВА, Л. Е. МОРОЗОВА
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
В. Б. СМИРНОВА, М. Ю. ФЕДОРОВА, Л. Е. МОРОЗОВА
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебное пособие
Под редакцией Е. К. Ершова
Санкт-Петербург
2016
1
УДК 517(07)
KKM
KKM
MN
N
M
x
M
N
L
K
K
x
fx
f
K
ББК 22.1я73
С50
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент А. Е. Михайлов (СПбГАСУ);
канд. физ.-мат. наук, доцент А. И. Шепелявый (СПбГУ)
Смирнова, В. Б.
Производная и дифференциал функции одной переменной:
учеб. пособие / В. Б. Смирнова, М. Ю. Федорова, Л. Е. Морозова;
под ред. Е. К. Ершова ; СПбГАСУ. – СПб., 2016. – 154 с.
ISBN 978-5-9227-0629-2
Пособие содержит необходимый теоретический материал по разделу
«Производная и дифференциал функции одной переменной» курса высшей
математики, проиллюстрированный многочисленными примерами. Оно
снабжено также большим количеством задач с подробными решениями, что
позволяет студентам самостоятельно освоить приемы и методы, лежащие
в основе решения стандартных задач.
Предназначено для студентов всех специальностей.
Ил. 32. Библиогр
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0629-2
.: 6 назв.
В. Б. Смирнова, М. Ю. Федорова,
Л. Е. Морозова, 2016
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2016
2
K
KM
K
K
M
MN
N
x
M
N
L
K
K
x
f
x
f
Введение
Рассмотрим задачи, приводящие к понятию производной.
0.1. Задача о касательной
Прежде всего дадим определение касательной к плоской кри-
вой
в точке
.
Определение 0.1. Касательной к кривой
называется предельное положение секущей
лении точки
к точке M вдоль этой кривой (рис. 1).
при стрем-
в точке
y
)(
xxf
O
)(0xf
x
0
0
0
Рис. 1
Рассмотрим следующую задачу.
Пусть кривая
y
точки
)(
x
0
предполагается непрерывной в некоторой окрестности
. Написать уравнение касательной к кривой K в точке
)(,
xfxM .
00
задана уравнением
y
)(
Известно, что уравнение прямой, проходящей через точку
, имеет вид
)(,
xfxM
00
kxxkxfy
00
),()()(
xx
. Функция
3
или
x
fy
MN
x
M
N
x
x
x
MN
x
M
N
M
x
MNL
K
x
x
x
xf
x
x
f
K
.
xx
0
Для того чтобы составить уравнение касательной, нужно
найти значение углового коэффициента
tgk , где
– угол
наклона касательной, или установить, что углового коэффициента у
касательной нет.
Рассмотрим случай, когда функция
ет в какой-то окрестности
)(,
xVxx , то )()(
021
xV
xfxf
21
точки
)(
0
.
Найдем угловой коэффициент секущей
Пусть точка N имеет координаты
, то есть, если
x
0
строго возраста-
)(
, если
,
)(,
xxfxx
00
xx
при
21
. Угол
0
xx
MN
наклона секущей обозначим через и вычислим его, воспользовавшись треугольником MNL (см. рис. 1):
yy
MN
tg
k
MN
xx
x
)()(
xfxxf
00
. (1)
Из определения 0.1 следует, что
.
k
tglim
MN
Поскольку
0
, то
. Тогда
0
xfxxf
)()(
k
lim
0
x
Найдем теперь угловой коэффициент секущей
(рис. 2).
xx
MN
Координаты точки N имеют вид
00
. (2)
, когда
)(,
xxfxx
00
, 0
Вычислим тангенс угла наклона секущей , воспользовавшись треугольником
NL (см. рис. 2):
yy
NM
k
MN
tg
xx
xxfxf
)()(
x
)(
xfxxf
)()(
0000
.
x
.
.
4
x
y
M
N
L
K
x
x
x
x
fy
x
x
f
K
)(0xf
)(
xxf
O
Рис. 2
0
xx
0
x
0
Мы снова получили формулу (1). Теперь
и
0
.
0
Для углового коэффициента касательной получим выражение, аналогичное выражению (2):
xfxxf
)()(
k
limtglim
xx
00
00
. (3)
Если пределы в формулах (2) и (3) существуют и совпадают,
то, объединяя их, получим выражение для углового коэффициента
касательной к кривой )(
в точке
)(,
xfxM
00
xfxxf
)()(
k
lim
x
0
00
. (4)
Легко проверить, что формула (4) сохраняется и в случае
строгого убывания, и в случае постоянства функции
ности
.
xV
)(
0
в окрест-
)(
Замечание 0.1. Пределы в формулах (2) и (3) могут не суще-
ствовать. Тогда не существует и касательная к графику функции
в точке
)(,
xfx . Если оба предела (2) и (3) существуют, но не
00
равны друг другу, то касательной в исследуемой точке к кривой
5
тоже нет. Простым примером такого случая является отсутствие
x
x
x
x
x
O
M
S
S
M
S
S
l
S
S
x
f
X
x
xx
x
f
x
x
xx
x
x
f
X
x
x
касательной к кривой
y
в точке
||
.
00x
Действительно, по формуле (2) получим:
x
k
1lim
0
x
,
а по формуле (3) получим:
x
)(
k
lim
x
0
1
.
Замечание 0.2. Особо следует рассмотреть случай, когда от-
ношение
xfxxf
)()(
00
является бесконечно большой величиной при
. Тогда у каса-
0
тельной нет углового коэффициента и ее уравнение имеет вид
. (5)
xx
0
0.2. Задача о скорости
Пусть (материальная) точка M начинает свое движение от некоторой начальной точки
Положение точки
на прямой l в момент времени t определяется
ее расстоянием
и движется вдоль некоторой прямой l.
до точки O (рис. 3). Время отсчитывается
)(t
от момента начала движения.
O
)(t
Рис. 3
Движение считается заданным, если известно уравнение движения )(
ток времени
t
. Величина средней скорости движения за промежу-
вычисляется по формуле
ttt
),(
00
S
,
v
ср
t
6
где
x
f
X
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
X
x
x
. Мгновенная скорость в момент
)()(
tSttSS
00
tt
0
определяется предельным переходом
)()(
tSttS
00
lim)(
tv
0
0
t
t
. (6)
Формулы (4) и (6) однотипные. Они приводят нас к обобща-
ющему их понятию
производной.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Определение 1.1. Пусть функция
множестве
(
ции
0
y
или
. Пусть
) так, чтобы
0
по переменной x при
)(
Xx
0
ношения приращения функции
. Придадим
0
y
, вычисленного в этой точке,
y
Xxx
называется предел от-
xx
0
к вызвавшему его приращению аргумента
последнего к
, то есть
0
определена на
)(
приращение
x
0
. Производной функ-
при стремлении
xfxxf
y
limlim
xx
00
)()(
00
, (1.1)
если этот предел существует.
Если предел в формуле (1.1) существует, то существует про-
изводная при значении
число. В этом случае говорят, что функция
xx
при
. Если производная существует при всех
0
является функцией переменной
x переменной
0
.
и она представляет собой
дифференцируема
)(
, то она
Производная обозначается следующим образом:
dy
xfy
dx
xdf
)(
,),(,
.
dx
В скобках при этом указывается значение переменной, при котором берется производная. Если есть необходимость указать, по
какой переменной вычисляется производная, то эта переменная
указывается как нижний индекс:
.
)(,
xfy
0
xx
7
Итак, согласно определению 1.1 имеем:
x
x
f
l
t
S
x
f
x
f
x
x
x
x
xx
x
f
x
xfy
x
x
xfy
lim)(
x
0
Процесс вычисления производной называется
ванием функции
.
xfxxf
)()(
. (1.2)
дифференциро-
Геометрический смысл производной
Из п. 0.1 введения следует, что производная функции
y
, вычисленная при
)(
, равна угловому коэффициенту k
xx
0
касательной, проведенной к графику этой функции в точке
)(,
xfxM , то есть
000
. (1.3)
kxf )(
0
Уравнение данной касательной имеет вид
))(()(
xxxfxfy
. (1.4)
000
Механический смысл производной
Из п. 0.2 введения следует, что мгновенная скорость точки,
движущейся вдоль некоторой прямой
расстояния
, вычисленной в момент
)(
, равна производной от ее
tt , то есть
0
. (1.5)
)()(
tStv
00
Непрерывность функции, имеющей производную
Теорема 1.1.
Если функция
водную, то функция
в точке
y
непрерывна в точке
)(
)(
x
имеет произ-
x
0
.
0
Доказательство. Из определения производной следует, что
y
)(0xf
,
где величина
является бесконечно малой при
. Тогда
0
)(
0
8
xxxfy
, (1.6)
x
x
x
x
x
f
xy
xfy
x
x
где
равенства (1.6) вытекает, что если
– величина более высокого порядка малости, чем
0
бесконечно малому приращению аргумента
конечно малое приращение функции y
делению непрерывности функция
. Согласно второму опре-
непрерывна в точке
)(
, то и 0
y , то есть
соответствует бес-
x .
0
. Из
Теорема доказана.
Замечание 1.1.
непрерывность функции в точке
чае существования производной при
Утверждение, обратное теореме 1.1, неверно:
не обеспечивает в общем слу-
x
0
. Это может быть про-
xx
0
иллюстрировано следующим примером.
Пример 1.1.
Пользуясь определением 1.1, найдем производ-
ную функции
xx
,0,
xx
0,
в точке
xxf
||)(
. Поскольку односторонние пределы в этой точке,
0
x
0
вычисленные ранее в замечании 0.1, различны, то предела, определяющего значение производной в этой точке, не существует. Таким
образом, функция ||
хотя и непрерывна в точке 0
x , не яв-
0
ляется дифференцируемой в этой точке.
Замечание 1.2.
Если в определении 1.1 заменить предел (1.1)
на односторонние пределы, то получится определение односторонних производных функции
в точке
)(
. Производной спра-
x
0
ва назовем предел
xfxxf
)()(
xf
lim)(
0
0
x
00
, (1.7)
производной слева – предел
xfxxf
)()(
xf
lim)(
0
0
x
00
. (1.8)
9
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]