Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
0
x
x
4
x
0
lim
x
1
3
x
24
x
xx
x
16
22ln)4(
3
2ln2
x
.
0
1
3
x
3
x
0
x
x
4
xx
x
lim
Ответ.
lim
x
2
1ln
x
lim2ln4
x
4
lim
x
2
1ln
П. е). Перед нами неопределенность типа
x
4
22ln4
13
3
lim2ln4)3(2lim2ln4
x
.
02lim
1
2
x
2
3
2
6
xx
x
4
x
44
22ln)4(
0
. Чтобы рас-
крыть ее, запишем выражение, стоящее под знаком предела, в виде
дроби и преобразуем ее:
3
xx
8
3
8
xx
3
x
8
.
x
4cos
xx
lim
cos
0
lim
xx
8
3
8
x
4cos
3
ctg4tglim
8
sin
4sin
3
8
lim
8
x
x
Получили неопределенность типа
cos4sin
sin4cos
x
0
0
cos
lim
xxx
888
, для раскрытия которой
воспользуемся правилом Лопиталя:
3
sin
x
8
x
1
.
4
44sin
lim
8
cos
3
8
4cos
0
x
0
lim
x
xx
8
80
3
x
x
Ответ.
x
8
ctg4tglim
8
П. ж). Перед нами неопределенность типа
1
xx
.
4
. Для того
чтобы раскрыть ее, приведем дроби к общему знаменателю, полу-
0
чим неопределенность типа
, к которой дважды применим пра-
0
вило Лопиталя:
0
x
1
lim
1
x
Ответ.
lim
x
lim
x
1
1
x
x
e
1
1
x
1
1
x
1
e
1
1
xx
exe
)1(1
1
1
x
1
e
lim
1
11
1
x
0
0
lim
1
x
1
.
2
П. з). Исследуем сначала выражение
представляет собой неопределенность типа ]0[
0
к виду
бой неопределенность типа
ние под знаком предела на
чим неопределенность типа
и воспользуемся правилом Лопиталя:
0
1ln
x
x
lim
3
3
1lnlim
Отсюда следует, что
0
x
x
lim
x
lim
xx
3
. Разделив и умножив выраже-
3
, перейдем в нем к частному, полу-
0
, к которой применим правило
0
3
0
0
x
3
23
x
3
1
32
xx
1ln2lim
1
ex
e
lim
xxx
x
x
x
3
x
0
xe
1
1
)1)(1(
1
111
xxx
exee
)1(
3
x
2
3
1lnlim
x
. Преобразуем ее
3
xx
)3(
4
x
3
.
представляет со-
.
. Оно
Лопиталя:
81
3
x
x
x
z
x
x
x
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
z
1
lim
x
3
)3(
xx
4
.
32
xx
3
1ln2lim
x
0
0
lim
x
xx
2
x
2
3
1ln2
x
3
x
Нетрудно заметить, что полученное выражение снова пред-
0
ставляет собой неопределенность типа
3
0
0
)3(
xx
xx
3
1ln2lim
x
Ответ.
lim
x
2
x
2
4
3
x
32
xx
П. и). Перед нами неопределенность типа ]1[
x
ctg
xxy
)2(cos)( . Прологарифмируем эту функцию:
x
)2ln(cos
. Вычислим предел
xx cos
ctg)2ln(cos
x
. Преобразуем его:
0
6
xx
lim
x
.
23
)3(3
. Рассмотрим
.
sin
0
вая неопределенность типа
x
lim
)2ln(cos
sin
lim
0
sin
Поскольку 0)(lnlim
x
Ответ.
xy
0
0
xx
x .
П. к). Перед нами неопределенность типа ]0[
xb
a
xy
sin)(. Прологарифмируем эту функцию
b
x
x
a
. Будем вычислять предел )(xz , раскрывая неопреде-
sinln
x
по теореме 4.1:
0
0
0
x
)2ln(cos
lim
xx
, получаем 1)(lim
ctg
12coslim
xx
limcoslimcos
xxx
000
2sin2
0
x
cos2cos
0
x
sin
0
.
0
exy
0
. Рассмотрим
0
0
, раскры-
)(
)2ln(cos
.
xyxz )(ln)(
xyxz )(ln)(
82
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
z
ленность типа
по теореме 4.3 и выполняя затем ряд преобразо-
ваний:
a
lim
b
sinln
x
x
b
cos
lim
a
x
sin
a
)(
2
x
a
ab
lim
xxx
cos
2
sin
x
ab
a
limcoslim
x
1
sin
x
lim
ab
a
xxx
1
a
22
sin
x
Вычислим предел выражения в знаменателе дроби, заменяя
при
бесконечно малую функцию
конечно малой
a
:
a
sin эквивалентной бес-
a
x
a
.
a
x
limsinlim
xx
a
22
x
откуда получим:
b
sinln
xy
lim)(lnlim
xx
или
0
.
1)(lim
exy
Ответ. 1sinlim
x
x
/
xb
a
x
.
П. л). Перед нами неопределенность типа ][
x
sin
1
xy
)(. Прологарифмируем эту функцию:
x
, приводя возникшую неопределенность типа
)(
x
2
1
xx
lnsin
x
2
)2ln(sin
. Вычислим предел функции
83
,
a
x
0
0
. Рассмотрим
)(ln)( xyxz
0 к неопре-
x
x
x
x
fy
x
fy
x
f
x
f
x
f
xfxf
деленности типа
, для раскрытия которой используем правило
Лопиталя. После преобразований получим:
0202
xxxy
1
x
lim
02
1
lim
cos
Нетрудно заметить, что
определенность типа
2
2
cossin
1
x
0
, для раскрытия которой снова используем
0
lim
0202
x
xx
sin
lim
lim
xx
02
2
x
02
sin
1
x
)2(
2
x
2
правило Лопиталя:
0
2
0
x
lim
sin
02
lim
02
xx
2
1
Следовательно,
0)(lnlim
xy
02
x
и
0
1)(lim
exy
.
1
Ответ.
x
lim
x
02
sin
1
02
x
x
2
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть функция )(
ке
и ее окрестности. Пусть далее функция
Xx
0
производную
имеет производную )(
)()( xfy в точке
. Она называется
x
0
0
lim)2ln(sinlim)(lnlim
xxx
02
sin
2
x
sin
cos)2(
sin
lim
xxx
02
x
)2ln(
x
1
xx
2
x
.
2
представляет собой не-
cossin2
xx
.
0
.
в точ имеет
y
)(
производ-
84
ной второго порядка или второй производной функции
x
f
x
f
x
fy
x
f
точке
. Обозначения второй производной:
x
0
2
,
y
xf
0
yd
,
dx
,
2
)(
2
)(dxxfd
0
.
2
y
в
)(
Таким образом,
. (5.1)
yy
)(
Далее, если функция
в точке
)(
0
y
и ее окрестности и у функции
Xx
существует производная в точке
третьего порядка
или третьей производной в точке
имеет вторую производную
)(
y
, то она называется производной
x
0
. Ее обо-
x
0
)(
значения:
3
3
,
y
xf
0
yd
,
dx
,
3
)(
)(dxxfd
0
.
3
Таким образом,
yy . (5.2)
)(n
n
Производная порядка
n
yd
. Справедливо равенство
n
dx
обозначается так:
n
)1()( nn
yy . (5.3)
Производные второго порядка и выше называются
ными высших порядков
. Их вычисление называется повторным
y
)(
,
производ-
)(
xf
0
дифференцированием.
Пример 5.1.
Найдем производные порядка n функции
x
ey4
выполняя повторное дифференцирование:
x
;
ey44
eey
16)4(
4 .
xx
44
;
xnn
4)(
ey
xx
44
; … ;
eey
64)16(
Замечание 5.1.
Вторая производная имеет следующий меха-
нический смысл. Из курса физики известно, что ускорение )(ta есть
85
,
,
скорость изменения скорости. Скорость, согласно формуле (1.4),
t
S
tSt
v
t
S
x
fy
x
x
y
x
x
x
y
x
y
x
Tt
равна производной расстояния
:
)(
. Следовательно,
)()(
ускорение представляет собой производную скорости и равно второй производной функции
:
)(
. (5.4)
)()()()( tStStvta
Замечание 5.2. Для производных четвертого, пятого и т. д.
порядков допустимы также следующие обозначения:
IV
V
,
y
, … .
y
Замечание 5.3.
Для вычисления производной порядка n про-
изведения двух функций полезна следующая формула:
n
n
!
k
где
C
n
В частности, при 2
n
.
)!(!
knk
n имеем
)(
k
0
n
kknk
)()(
xvxuCxvxu
)()()()( , (5.5)
. (5.6)
)()()()(2)()()()( xvxuxvxuxvxuxvxu
5.1. Повторное дифференцирование функции, заданной неявно
Если у функции
F
через
, существует производная
0),( y
и y:
)(
, заданной неявно уравнением
, то она выражается
y
x
x
. (5.7)
),( yxGy
Дифференцируем полученное равенство (5.7), имея в виду, что
переменная
y является сложной функцией переменной
от
ченном равенстве производную
ражение второй производной
является функцией переменной x и любая функция
. Заменяя в полу-
по формуле (5.7), получим вы-
y
x
y
через x и y .
x
86
Пример 5.2. Найдем вторую производную
x
y
x
y
Tt
заданной уравнением
22
arctg)ln(
yx
y
. Первая производная
функции
y
x
этой функции была вычислена в примере 2.9:
y
x
yx
. (5.8)
yx
22
Продифференцируем равенство (5.8), считая, что
функцией переменной
y
x
.
. Приведя подобные члены, будем иметь:
)2()2()2()2(
yxyxyxyx
2
)2(
yx
)2()21()2()2(
yxyyxy
2
)2(
yx
242242
)2(
yx
yyyxyxyyyxyx
Подставляя в последнее выражение значение производной
(5.8), получим:
yx
2
5
y
x
5
.
yx
)2(
5
22
22
xyxyyx
3
)2(
yx
10
32
yx
)2(
22
yx
3
)2(
yx
yx
2
xy
5.2. Повторное дифференцирование функции,
заданной параметрически
Пусть зависимость переменной
от переменной x задается
системой уравнений:
),(tytx
(
)(
).
55
yx
yxxyxy
)2()2(
является
yxy
22
)2(
)(xy
,
y
x
y
x
87
Тогда ее производная выражается через параметр t по формуле
tat
n)(
tat
tat
tat
n
ttn
n
xxy
n
xyy
y
y
y
xx
xyy
yyy
xxxxn
n
xxn
),(
y
Применяя формулу (2.9) для дифференцирования
tx
)(
t
x
(5.9)
.
)(
t
, получим:
y
x
tx
y
x
),(
y
)(
.
(5.10)
tx
t
)(
Выполняя дифференцирование:
y
)(
y
x
tx
t
)(
t
)(
t
)(
t
)(
,
2
t
))((
t
))((
t
)(
)()()()(
tttt
3
tttt
)()()()(
окончательно получим:
tx
y
x
),(
tttt
)()()()(
(5.11)
3
t
))((
.
Пример 5.3. Найдем вторую производную функции, заданной
параметрически системой уравнений
),cos1(
tax
).sin(
ttay
Здесь )cos1()( tat
, )sin()( ttat . Продифференциру-
ем эти функции:
,
si
,
cos)(
88
)(
,
)cos1()(
.
si
По формуле (5.11) получим:
t
t
n
n
xxy
n
xyy
y
y
y
x
x
xyy
yyy
xexexex
n
n
xex
n
)()()()(
y
x
))((
t
.
tttt
22
coscossin
si
a
ttt
a
si
333
sin
ta
cos1
t
33
)cos1(cossinsin
tatatata
Тогда
),cos1(
sin
tax
cos1
t
.
3
ta
y
x
Задачи к § 5
Задача 5.1. Показать, что функция
ет уравнению
.
44
удовлетворя-
2si
Решение. Вычислим производную функции y :
Теперь вычисляем вторую производную функции
Подставим полученное выражение второй производной
функцию
в левую часть заданного уравнения и приведем подоб-
xxxy 2cos212sin
.
:
xxy 2sin42cos21
.
и саму
ные члены. Получим:
xxxxyy 42sin442sin44
.
Показано, что функция
нию
.
44
Задача 5.2. Показать, что функция
ет уравнению
y 2sin
.
0294
удовлетворяет уравне-
x
2
удовлетворя-
xey
5sin
Решение. Вычислим производную функции y :
xx
22
.
xexey
5cos55sin2
Вычислим вторую производную:
xx
e
4
e
22
22
215cos20
xexey
5cos55sin2
xxxx
2222
xx
255cos105cos105si
.
5si
5si
Подставим полученные выражения производных в левую
часть заданного уравнения и приведем подобные члены. Получим:
89
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]