Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
Задача 12.4. Составить дифференциалы второго, третьего, …,
x
x
N
N
n -го порядка функций:
а)
б)
y 2cos3sin .
;
xy 21
Решение. Дифференциалы выражаются через производные
высших порядков по формуле (12.7).
П. а). Последовательно дифференцируем функцию и составля-
ем дифференциалы соответствующих порядков:
y ,
Обобщая результаты, при
где
Ответ.
nn
nn
)1(
yd
1
21
x
213
получим
2n
.
)32(...531!)!32(
n
1
x
21
21
xy ,
xy … .
!)!32(
dx
12
n
2/1
21
x
2/3
2/5
2/)12(1)(
nnn
)21(!)!32()1(
xny
n
,
2
n
,
.
П. б). Для выполнения повторного дифференцирования пред-
ставим произведение в виде суммы:
1
2cos3sin xxxxy .
)sin5(sin
2
Далее выполняем дифференцирование:
1
xxy cos5cos5
,
2
1
xxy sin5sin25
,
2
1
xxy cos5cos125
,
2
1
IV
xxy sin5sin625
2
и т. д.
Обобщая результаты, для производных четного и нечетного
порядков получим:
1
nnn
2)2(
)1(
xxy
sin5sin5
,
,
n
2
150
Nn
Ответ.
1
nnn
12)12(
)1(
1
)1(
2
2
1
)1(
2
cos5cos5
xxy
cos5cos5
, ...,2,1,0
n .
sin5sin5
dxxxyd
nnnn
dxxxyd , ...,2,1,0
)2(2)2(
nnnn
,
)12(12)12(
n .
,
151
Рекомендуемая литература
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление : в 2 т.
Т. 1 / Н. С. Пискунов. – М. : ФМЛ, 2008. – 300 с.
2. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа : в 3 т. Т. 1 /
Л. Д. Кудрявцев. – М. : ФМЛ, 2005. – 687 с.
3. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике : в 4 ч. Ч. 1 /
Д.
Письменный. – М. : Айрис-Пресс, 2006. – 281 с.
4. Кудрявцев Л. Д. Сборник задач по математическому анализу : в 3 т.
Т. 1 / Л. Д. Кудрявцев [и др.]. – М. : ФМЛ, 2003. – 495 с.
5. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу / Б. П. Демидович. – М. : Наука, 1990. – 624 с.
6. Берман Г. Н. Сборник задач по
учеб. пособие / Г. Н. Берман. – СПб. : Профессия, 2003. – 432 с.
курсу математического анализа :
152
Оглавление
Введение …………………………………………………...............................
§ 1. Определение производной.......................................................................
§ 2. Вычисление производной........................................................................
2.1. Вычисление производных некоторых основных элементарных
функций........................................................................................................
2.2. Простейшие правила дифференцирования........................................
2.3. Производная обратной функции.........................................................
2.4. Производная сложной функции.........................................................
2.5. Дифференцирование функции, заданной неявно.............................
2.6. Логарифмическое дифференцирование.............................................
2.7. Дифференцирование функций, заданных параметрически............
2.8. Сводная таблица формул и правил дифференцирования.................
§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления...........................
§ 4. Раскрытие неопределенностей
0
4.1. Неопределенность
4.2. Неопределенность
4.3. Неопределенности
4.4. Неопределенности
§ 5. Производные высших порядков..............................................................
5.1. Повторное дифференцирование функции, заданной неявно...........
5.2. Повторное дифференцирование функции, заданной
параметрически..........................................................................................
§ 6. Условия постоянства и монотонности дифференцируемой
функции...........................................................................................................
§ 7. Максимумы и минимумы функции. Необходимое условие
экстремума дифференцируемой функции. Достаточное условие
экстремума дифференцируемой функции.....................................................
§ 8. Асимптоты................................................................................................
8.1. Вертикальные асимптоты....................................................................
8.2. Наклонные асимптоты.........................................................................
§ 9. Выпуклость функции. Точки перегиба..................................................
§ 10. Схема полного исследования
§ 11. Формула Тейлора...................................................................................
§ 12. Дифференциал функции. Дифференциалы высших порядков..........
Рекомендуемая литература..........................................................................
0
с помощью производных.....................
.......................................................................
.......................................................................
0 и
]1[
, ]0[0, ][
...................................................
0
.................................................
функции. Построение графиков..........
3
7
16
16
18
19
21
23
23
25
25
58
70
70
73
75
76
84
86
87
97
100
110
110
111
115
124
130
141
152
153
Учебное издание
Смирнова Вера Борисовна,
Федорова Мария Юрьевна,
Морозова Лидия Евсеевна
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебное пособие
Редактор А. В. Афанасьева
Корректор К. И. Бойкова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 10.06.2016. Формат 6084 1/16. Бум. офсетная.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
Отпечатано на ризографе. 190005,
Усл. печ. л. 9,0. Тираж 100 экз. Заказ 81. «С» 22.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Санкт-Петербург, ул. Егорова, д. 5/8, лит. А.
154
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
155
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
156
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]