Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
x
x
x
f
f
f
x
f
y
x
L
L
K
x
fy
x
r
L
r
xfy
L
L
x
xfy
r
L
L
x
x
П. г). Функция
xf
sin
)( определена и непрерывна
cos2
на промежутке
ей
. Учтем, что
],[
, поэтому исследуем ее поведение лишь на про-
)()( xfxf
является нечетной функци-
)(
межутке ],0[ . Вычислим производную и приравняем ее к нулю:
sinsin)cos2(cos
)(
xf ,
)cos2(
x
xxxx
1cos2
x
0
22
)cos2(
x
откуда находим корень этого уравнения:
f
3
f
наименьшего значения в точке
3
3
,
3
3
.
3
Ответ. Функция
. В силу нечетности функции находим
0)()0(
достигает на промежутке
)(
x и
3
шего значения – в точке
x и
3
f .
3
3
3
x . Вычисляем:
0
3
f , наиболь-
3
3
3
§ 8. АСИМПТОТЫ
Определение 8.1.
движении точки
22
yx. Если расстояние r от точки на кривой K до пря-
мой
мая
стремится к нулю при
является асимптотой кривой K.
Пусть K – плоская кривая и пусть при
вдоль кривой K выполняется соотношение
),(
22
yx
, то говорят, что пря-
8.1. Вертикальные асимптоты
Пусть кривая
ная асимптота
– это график функции )(
. Вертикаль-
к графику функции возникает, если при
xx
функция терпит бесконечный разрыв, стремясь к бесконечности то-
к
го или иного знака при стремлении
слева или справа. В этом
x
0
],[
110
случае расстояние r от точки
L
xfy
L
L
x
xfy
r
L
x
x
равно
2
)(
xy к бесконечности (рис. 8.1). Таким образом, вертикальная
прямая с уравнением
)(
тогда и только тогда, когда
. Стремлению r к 0 соответствует стремление
||
xx
0
будет асимптотой графика функции
xx
0
до вертикальной прямой
)(, xfxM
)(lim
xf
0
xx
0
.
8.2. Наклонные асимптоты
Пусть прямая
при
асимптотой для графика функции
(рис. 8.2) вместе с
скольку
. Таким образом,
2
, имеющая уравнение bkxy
, является
)(
стремится к 0 и разность ординат || yyL , по-
cos/|| ryy
, где – угол наклона асимптоты
0))((lim)(lim
bkxxfbkxy
xx
, (8.1)
или
)(
xf
lim
x
x
x
Поскольку x есть бесконечно большая, то функция
является бесконечно малой, то есть
xf
)(
k
lim
x
. Если последний предел существует и угловой коэф-
фициент k найден, то из (8.1) получаем
b
.
k
lim
x
0
x
x
, откуда
b
)(
xf
k
xf )(
x
b
0
x
xf
)(
k
lim
x
,
x
. (8.2)
))((lim kxxfb
Обратно, если существуют пределы (8.2), то справедливо ра-
венство (8.1).
Доказана следующая теорема.
. Тогда
b
k
x
, откуда
111
Теорема 8.1. Пусть функция
x
f
x
x
f
x
x
x
x
r
r
x
r
xfx
M
k
x
f
x
x
kk
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
жутке
),[ a. Для того чтобы ее график при
наклонную асимптоту
бы существовали пределы
(8.2).
y
, необходимо и достаточно, что-
bkxy
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 8.2.
жутке
наклонную асимптоту
Пусть функция
. Для того чтобы ее график имел при
],( a
y
y
, необходимо и достаточно, что-
bk
бы существовали пределы в равенствах
xf
,
lim
k
x
x
определена на проме-
)(
определена на проме-
)(
)(lim kxxfb
. (8.3)
имел
y
О
Рис. 8.1
))(,(
y
О
Рис. 8.2
Замечание 8.1.
зонтальную асимптоту
Если в (8.2)
графика функции
случай наклонной асимптоты. Для того чтобы by
зонтальной асимптотой графика при
)3.8( 0
, мы получаем гори-
y
)(
служила гори-
(или при
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
xx
)(limlim xfyb
xx
limlimили
xfyb
– частный
),
. (8.4)
112
x
k
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
зонтальная прямая
поскольку в этом случае
является асимптотой. Искать k не нужно,
by
0
.
Пример 8.1. График функции
ет, так как функция непрерывна и
Задачи к § 8
Задача 8.1.
а)
Найти асимптоты графика функции )(
12
x
)(
xf ;
2
)(
xf ;
б)
в)
г)
3
2
32
xx
|1|
x
x
4
exxf
)32()(
;
.
)3)(21()( xxxf
Решение
П. а): 1. При
функция терпит бесконечный разрыв,
2
причем
lim
02
x
Следовательно, прямая
x
2
является вертикальной асимптотой.
2
12
2. Используя замечание 8.1, рассмотрим предел (8.4):
xfb
следовательно,
и у графика есть горизонтальная асимптота
0
k
2y .
Ответ. Вертикальная асимптота
тота
.
2
y
П. б): 1. При 1
функция терпит бесконечный разрыв,
причем
lim
x
2
01
32
xx
|1|
x
,
bxf
)(lim
3
xfx)(
lim
12
lim
lim
x
02
2
12
x
2
, горизонтальная асимп-
2
2
01
x
,
x
lim)(lim
xx
x
, то гори-
bxfx)(limили
2
асимптот не име-
)1( xxy
.
y :
.
2
,
32
xx
.
|1|
113
Следовательно, прямая
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xexx
x
x
x
x
x
xxxx
x
x
f
x
x
y
x
f
X
xfxf
x
f
xx
fX
x
f
xfx
является вертикальной асимп-
1
тотой.
2. Вычислим:
lim
|1|
2
2
x
32
lim
x
32
xx
)1(
x
32
xx
x
exxf
)32()(
x
)1(
, наклонные асимпто-
1
x
4
определена и непрерывна
lim
2
)(
xf
lim
k
xx
x
lim
))((lim
xkxfb
x
Следовательно, прямая 1
при
, прямая 1
lim
y является наклонной асимптотой
y – при
Ответ. Вертикальная асимптота
ты: 1
y при
, 1xy – при
П. в): 1. Функция
при
, следовательно, вертикальных асимптот нет.
Rx
xx
xx
2. Исследуем поведение функции при
4
xx
exxfb
поэтому 0y – горизонтальная асимптота при
xxx4
)32(
поэтому при
xf
)(
lim
наклонной асимптоты нет.
lim
Ответ. 0y – горизонтальная асимптота при
асимптоты нет.
П. г): 1. Функция
рывна при
, следовательно, вертикальных асимптот нет.
R
3
)3)(21()( xxxf
2. Исследуем ее поведение при
lim
xx
3
3
xx
при
xf
k
lim
)(
наклонных асимптот нет.
Ответ. Асимптот нет.
2
2
x
32
xx
xx
xx
xx
lim
xx
lim
xx
,1
)1(
32
,1
)1(
3
x
,1
1
x
3
x
x
1
.
.
:
x
,
0)32(lim)(lim
;
,
; при
определена и непре-
:
)3)(21(
,
0
)3)(21(lim)(lim xxkxxfb
,
.1
114
§ 9. ВЫПУКЛОСТЬ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
x
f
x
x
y
x
f
xf
x
f
x
f
x
f
X
x
f
xfx
Определение 9.1.
на на промежутке
бесконечном). Она называется
Пусть функция
(замкнутом или открытом, конечном или
X
y
выпуклой вниз (выпуклой вверх) на
Х, если все точки ее графика на этом промежутке лежат
под) любой касательной, построенной к графику функции на дан-
(
задана и непрерыв-
)(
над
ном промежутке.
На рис 9.1 представлен график функции, выпуклой вниз,
а на рис. 9.2 – график функции, выпуклой вверх на промежутке
y
.
),( ba
a
О
Рис. 9.1
b
a
О
Рис. 9.2
Теорема 9.1 (необходимое условие выпуклости). Пусть
функция
рую производную )(
на
X , то
задана на промежутке X и имеет внутри него вто-
)(
. Тогда, если )(
0)(
0)(
xf для x, лежащих внутри X .
выпукла вниз (вверх)
Доказательство. Пусть для определенности функция )(
выпукла вниз. Возьмем произвольные точки
ри промежутка
жутке ],[
xx график функции
21
, такие что
xx
. Пусть ),(21xxx
21
лежит над любой своей каса-
)(
, xx , лежащие внут-
21
. На проме-
тельной. Следовательно,
))(()()(
).
xfxf
xxxfxfxf
11
)()(
(касательная проведена в точке ))(,(
Тогда, поскольку 0
xx , получаем
1
)(.
xf
1
xx
1
b
115
В силу существования второй производной
x
f
x
f
x
f
X
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
M
x
x
f
f
xxx
x
X
x
f
xf
x
f
x
)()( xfxf по
теореме о непрерывности функции, имеющей производную, функция
в полученном неравенстве к пределу при
непрерывна на промежутке
)(
)(
xf
2
. Поэтому, перейдя
xx
],[
21
xx , будем иметь
2
)()(
xfxf
21
.
xx
21
Аналогично
xxxfxfxf
))(()()(
22
и
)(
xf
Переходя к пределу при
ной
получим
)(
)(
xf
1
Теперь ясно, что )()(
растает на
рицательна:
. Следовательно, по теореме 6.2 ее производная неот-
внутри X.
0)(
Аналогично доказывается, что если
промежутке
X , то
внутри X .
0)(
2
2
xx , в силу непрерывности производ-
1
xfxf
12
xx
12
xfxf
21
.
xx
)()()()(
xfxf
21
.
xx
21
, значит, функция
)(
выпукла вверх на
воз-
)(
)()(
xfxf
Теорема 9.2 (достаточное условие выпуклости). Пусть
функция
внутри него вторую производную
(
задана и непрерывна на промежутке X и имеет
)(
. Тогда, если
)(
) внутри X, то функция выпукла вниз (вверх) на X.
0)(
Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая
0)(
функции
. Пусть Xxx,
в точке
y
)(
1
. Уравнение касательной к графику
)(,11xfx имеет вид
))(()(
xxxfxfy
.
111
Рассмотрим разность между значением функции )(xfy
и значением
касательной в точке
y
N
NM
:
))(()()(
xxxfxfxfyy
.
111
По теореме Лагранжа
))(()()(
(
xxcfxfxf
11
xcx или xcx
1
1
).
0)(
116
Тогда
x
f
f
x
x
x
x
X
x
f
x
fy
x
f
x
NM
Применим теперь теорему Лагранжа к функции
межутке ],[
xc или ],[1cx :
1
))(()()(
xcdfxfcf
(
11
В результате получим
NM
Но
и 0))((
0)(
d
xxxc (рис. 9.3).
11
.
)()()(
xxxfcfyy
11
xdc
или cdx
1
1
))()((
xxxcdfyy
.
11
)(
на про-
).
c
x
1
d
d
c
Рис. 9.3
x
1
Следовательно,
своей касательной на промежутке
, и график функции лежит над любой
yy
NM
.
Теорема доказана.
Пусть функция
непрерывна в точке
)(
Определение 9.2. Говорят, что в точке
функции )(
жуток, где функция
имеет перегиб, если точка
выпукла вверх, от промежутка, где
)(
.
x
0
)(,
xfxM
000
x отделяет проме-
0
функция выпукла вниз.
Пример 9.1. Точка
функций
3
xy (рис. 9.4) и
разделяет промежутки
пуклости. Точка
(рис. 9.6) не является: на промежутках
||3xy
является точкой перегиба графиков
)0,0(O
3
xy (рис. 9.5), так как точка
,
)0,(
точкой перегиба графика функции
)0,0(O
с разным направлением вы-
),0(
и
)0,(
график имеет одинаковые направления выпуклости. Точка
график
0
),0(
)0,0(O
117
является точкой перегиба графика функции
x
x
О О
x
x
О
x
f
x
f
X
X
xfx
f
xfx
f
xfx
fx
f
X
xfx
f
xfx
fx
f
x
x
x
f
xf
x
f
x
f
(рис. 9.7): на промежутке
функция выпукла вверх, на про-
)0,(
межутке ),0( – выпукла вниз.
3
xx
,0,
y
x
xe
0,1
y
Рис. 9.4
y
3
xy
y
Рис. 9.5
3
xy
y
1xey
||3xy
3
xy
О
Рис. 9.6 Рис. 9.7
Теорема 9.3 (необходимое условие перегиба). Пусть функ-
ция )(
производную
и
то
задана на промежутке X и имеет внутри него вторую
. Тогда, если
)(
xf
0
)(,
xfxM является точкой перегиба графика функции,
000
.
0)(
лежит внутри промежутка
x
0
118
Доказательство. Пусть
X
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
X
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
f
xf
x
f
x
f
ba ),(
и
ленности будем считать, что на промежутке
выпукла вниз, а на промежутке
),(
bx функция )(
0
вверх. Тогда, по теореме 9.1 на интервале
ция
возрастает, на интервале
)(
убывает. Таким образом, при
)('
bx
0
xx
функция
0
максимума. Поскольку внутри промежутка
производную
, по теореме Ферма
)(
xf
xa
0
),(
функция
0
. Для опреде-
),(0bax
функция
),(
xa
0
),(
0)(
.
0)(
и функция
Аналогично рассматривается случай, когда функция
промежутке
выпукла вверх, а на промежутке
),(
xa
0
ция выпукла вниз. Теорема доказана.
На рис. 9.8, 9.9 геометрически проиллюстрировано убывание
и возрастание производной
при выпуклости функции
)(
вверх и вниз соответственно.
выпукла
и функ-
0)(
достигает
)(
имеет
)(
на
)(
функ-
),(0bx
)(
)(
О
y
3
0
Рис. 9.8 Рис. 9.9
1
2
a
b
О
y
1
0
a
Замечание 9.1. Условие
условием перегиба графика в точке
xf
является необходимым
0)(
0
)(,
xfxM
000
достаточным для перегиба. Так, график функции
перегиба не имеет, но
)0,0(O
y
ладающих второй производной )(
шении перегиба» являются лишь те точки, где
Точки, в которых
не существует, также являются «подозри-
)(
. Для функций
0)0(
, «подозрительными в отно-
)(
тельными в отношении перегиба» (см. рис. 9.5–9.7).
Сформулируем достаточное условие перегиба графика.
119
2
3
b
, но не является
4
в точке
xy
, об-
y
)(
обращается в 0.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]