Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие

x

g

x

y

x

f



g

x





x

y

g

y

g



x

xyx



x

y

n



x

y

x

n



x

x

y

n





x

x

x



x

x





x

xxy





xyx





xxyx

y

x





y

x











x





xxz

x

xx



z

xzy

x

z



x



z





x

xxx





О

)(

a

Рис. 2.1

)(y



b

y

Доказательство.

в точке

y . Тогда переменная )(y

0

Пусть y – приращение переменной y

 получит приращение

. Если 0y , то и

ygyygx 

)()(

00

, поскольку

0

строго монотонная функция. В силу непрерывности вия

следует, что

0y



yg



0

, поэтому имеем

0

x



limlim)(

y



00

xy



y



11



lim

x





0

1



.



)(

xf

0

Теорема доказана.

Пример 2.4. Пусть

arcsi

, ]1,1[



,



y .

,



2



Вычислим производную этой функции. Для этого рассмотрим

функцию

,

si

для которой функция

Так как



cos

y





y

x

arcsi

, то

yx

cos



x

y

Полученная формула верна для

производная



обращается в

x

y





y

 

11



y

0



, ]1,1[

,



2



является обратной.

1

sin1





1



1



, так как при

)1,1(

.

,

.

22

xy



20

из усло-

)(



 

2



–

)(

1

Пример 2.5. Пусть

x



x



x









x





x

y





x

y

x





x

y

x

y





x





y

x











x

xx





x

z





z

xzy

z



x



z





x



xzx

x



дая, как в примере 2.4 (



arccos



x



Пример 2.6. Пусть

смотрим функцию

tg,

для которой функция



y



x

y arccos

y

cos

,

1



sin

)(cos

arctg,





y ,



2



1

yy



,

2

,



,0y , ]1,1[



1

 



,

]1,1[

,0y

), найдем:

1

,

2

x





,

),(



y . Рас-



2



,

),(

arctg является обратной. Тогда имеем:

11

cos

1

2

y



x

y

1



tg1



1



.

22

1

xy





. Рассуж-

.

)1,1(





,



2



Пример 2.7. Пусть

суждая, как в примере 2.6 (

arcctg



arcctg, ),(

сtg,





1

2.4. Производная сложной функции

Теорема 2.4.

ную



ную

. Пусть функция

)(xz

. Тогда сложная функция

)(zy

Пусть функция

имеет в точке

)(zy

изводную и







x

Доказательство. Придадим аргументу

Тогда функция щение

где

y

, вызванное приращением z. По формуле (1.6) имеем

стремится к 0 при

почленно на

получит приращение

z

. Получим

y



z



y

z

,

,0y ,

1

,

2

.

),(

 ,0y . Рас-

), найдем

),( 

имеет в точке x производ-

)(

производ-

)(xzz

имеет в точке x про-

))((



)())(())(( xzxzyxzy

. (2.2)



приращение

, а функция y – прира-

z

zzyy

,

. Разделим данное равенство

0z



.



21

Перейдем теперь к пределу при

x



x



x

z

xzz

x



z

y

z



z2

zyy



tzz



x









z

yyxy

x

xx

y

x



x











и, следовательно,

0z

z



0

x



а производная

y вычисляется в точке



. Замечаем также, что

0

y



)(lim

xz

;





x

0









z

. Замечаем, что тогда

0





)(lim

xzy



x







,

. Таким образом,

)(

.

)()())(( xzxzyxzy

Теорема доказана.

Пример 2.8. Пусть

y 

x

. Найти

)2sin(

. Представим y как

y

x

«цепочку функций»:

x

.

2

xx

2ln2)2cos()2sin( 

.

x

.



Так как zy

cos

Здесь производная

,

sin

x



,

z 

x



вычисляется в точке

y

z

, то по формуле (2.2) найдем

2ln2



x

Замечание 2.1. Коротко формулу (2.2) можно записать в виде







. (2.3)

zyy

xzx

Замечание 2.2. Сложная функция может быть получена в ре-

зультате нескольких суперпозиций. Например,

, то есть

)(

tt 



))(( xtzyy

. Тогда теорему 2.4 ( формулу (2.3))

следует применить несколько раз:







. (2.4)

tzyy

xtzx

Пример 2.9.

y 

x

. Найти

)2arctgsin(

, u

arctg , xu 2.

zy sin

. Представим y в виде

y

x

Тогда

1







cos

zuzyy 



xuzx



1



x

2

u

2ln2

или





x

22

1

)2arctgcos()2arctgsin(





x

2ln2



x

2

)2(1

,

)(

,

)(

.

2.5. Дифференцирование функции, заданной неявно

y



y

x

y

x



y

x



x













Пусть функция

аргумента x задается неявно уравнением

. (2.5)

F

0),(

Предположим, что функция y имеет производную по аргументу x в области своего задания. Тогда вычислить ее можно следующим образом.

Продифференцируем равенство (2.5) как тождество, имея в виду, что переменная

довательно, любая функция от ременной

. Затем выразим производную

является функцией переменной x и, сле-

y является сложной функцией пе-

через x и y.

y

x

Пример 2.10. Функция

22



yx arctg)ln(

y

. Найти

.

y

x

задана уравнением

Продифференцируем заданное равенство по

:

yxy

x





22

yyx

x



22



yx

2

x

,

2

y

1



2

или

22 ,

yxyyyx

xx

откуда



y



x

yx

.

yx

22

2.6. Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим показательно-степенную функцию

)()(xv



xuy  . (2.6)

Чтобы найти ее производную, прологарифмируем ее:



)(ln)()(ln xuxvxy

.

23

Продифференцируем теперь функцию

x







x











x















t

T

t





x



x





x



как функцию, заданную

)(

y

неявно:

)(

xy







)(

xy



)(ln)(

xuxv

)()(

xuxv

,

)(

xu

откуда





)(

xv





 







)(ln)()()(

xuxvxuxy



)()(

xuxv

. (2.7)



)(

xu

Пример 2.11.

y :

цию

xxysin



. Найти

y lnsinln 



. Прологарифмируем функ-

y

x

,

а затем продифференцируем получившееся равенство:

y

x

xx

lncos 

y

sin

x

.

x

В итоге получим

x

sin



x

 

xxxy

lncos





x

sin



.



x



амечание 2.3. Логарифмическое дифференцирование удобно

применять при определении производной произведения

).

(

2n

n функций

Пример 2.12.

. Найти

yyyy 

321

.

y

x

Решение

lnlnlnln yyyy 

,

321



y

x

1





y

1

Умножим обе части равенства на





x

1





32

2

y

2

31

y

3



y

3

. Тогда

y





3

.

. (2.8)

yyyyyyyyyy

21

Получили формулу для дифференцирования произведения трех функций.

24

2.7. Дифференцирование функций, заданных параметрически

x















t

T

t





x



x









x



Зависимость переменной y от переменной дана не непосредственно, а с помощью третьей переменной t,

называемой параметром:

  

Предположим, что обе функции

и что существует обратная функция водную. Тогда

Используя теоремы 2.4 и 2.3, получим



или

2.8. Сводная таблица формул и правил дифференцирования





tx

 



y





),(tytx

(

),(







1



)(

xy

x



),(

tx





)(



x

t







)(

t

).

Tt

и  имеют производные

.

)(1xy





t





),(

,

(2.9)

может быть за-

1

, имеющая произ-

)(

xt



)(1

t





)(

t





1.

2.

частные случаи:

3.

частный случай:

4.

log 



частный случай:

5.



0const .

xx ;

xx

ln



1

1

aaa

;



1

;

a

ln



x1ln .

xx cossin 

.

1



,

x



xx

ee .

25



,



2

x



11

 



.



2

x



x

a

6.

x

n

xx



xuk

x













x

f

x







xxf



xxf







xxf





xxf



xxf

n

xxf

x

f

x

f





x

f

x

f







x

f





7.

8.

9.

10.

11.

12.









tg 

x



ctg 



x



arcsinxx



arccosxx

cos



xx sincos 

.

1

.

2

1

.

2

si

1

2

1



1



arctg



arcctg







.

2

1



2

1

.

2

.

I.











. (2.10)

)()()()( xvxuxvxu





II.









частный случай:

ku





. (2.12)

)())((



III.







)(

xu











)(

xv



2



)()()()(

xvxuxvxu

)(

xv

IV.







x



. (2.14)

)())(())(( xzxzyxzy



xz



tx ),(



y

(2.15)

t





y

x



x

t

V.

  

 

для параметрически заданной функции



)(

VI.

)(

xv



 



xv





)()()()()()( xvxuxvxuxvxu

; (2.11)

. (2.13)

  

xuxvxuxu

)(ln)()())((

),(tytx

).(







xuxv

)()(



.



xu

)(

26

Задачи к § 2

x

f

x









xxf



xxf







xxf





xxf



xxf

n



xxf











x

f

x

f





x

f





x

f







x

f





Задача 2.1.

xx  ? Если существует, то найти ее, пользуясь формулами и пра-

0

Существует ли у функции

производная при

)(

вилами дифференцирования, для следующих функций:

1

xf 

а)

б)

в)

г) |43|)(

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

)(

)( xxf  , 0

xf 5)(  ,

)(

xf

)(

xf

arccos)(



3

x

log)(

arcsi

arctg)(

  

2

 

 



,

x ;

2

x ;

,

|2|)(

, 1

|12|)(

,

xxf

2/1

, 0

,

, 7

xx

x

4

0

3

x

0

x ;

0

x ;

0

x

0

x

0

x ;

0

x

0

x ;

0

;0,sin

xx



x

xx

8

;

1

2

,0),1ln(



;

1

;

1

;

2



;

0

x

0

),1,2[,

x

.

1

0

],2,1[,arcctg

Указание 2. Здесь нужно сначала определить производную



)(

по формулам и правилам дифференцирования, затем подста-

вить в формулу для определена при оказаться, что при

разные:



при

)( xf

ния существования

значение

)(

, то значение

xx

0

и

xx 

0

при



xx  и

)(

формулы для вычисления

xx

0

при

)( xf

следует воспользоваться усло-

xx

0

. Если функция

xx

0

не существует. Может

)('

xf

0

xx

. Тогда для определе-

0

вием (1.9) для значений





0





xfxf

0

xx

0

и )(lim)(

)(lim)(





0





.

xfxf

0

xx

0



не

)(



)(

27

Решение

x



x



x



x

f



f

x





xxf





f



f



xxf

f





f



xxf





xxf

x



Rx





x

1

)(

П. а). Функция

пользуя таблицу производных, находим:

5



2

x 

3

Тогда

3

2

5

x

)8( f .

.

xf  определена при всех

3

2

1



48

Ответ.

1

)8( f .

48

3

П. б). Функция

)( xxf  определена при всех

зуя таблицу производных, находим:

2

3



)()(



3

При

)(

не определена. Следовательно, значения )0(



0

существует.

Ответ.

П. в).



не существует.

)0(





|2|)(

xxf

 



,2,2

xx



.2,2

xx

Используя правила дифференцирования, при 2

иметь



Ответ.

П. г).





. Таким образом,

1)2()(

.

1)3(



xxf







|43|)(

 

.

1)3(

4



,43

,34

,

xx

3

4



.

xx

3

Воспользовавшись правилами дифференцирования, найдем

производную при

:

x



. Таким образом,

3)34()(

4



3



.

3)1( 

Ответ.

П. д).



.

3)1(

28

1



,12

,21

,

xx

2

1



.

xx

2



xxf







|12|)(

 

. Ис-

0





. Исполь-

R

1



3

xxxf 

будем

2

3



)()( xxf

2

3

не



.

x

Следуя указанию 2, вычислим производные по правилам диф-



xxf





xxf

x



Rx





x

ференцирования:

1

при

2)12()(

x ,

2

1

при

2)21()(

x .

2

1

А при

x

2

1







f



2







2





Поскольку односторонние производные при

1





xf 5)( 



f





2





x

определена при всех

то согласно замечанию 1.2

1





Ответ.



не существует.

f





2





П. е). Функция

таблице производных функция 5ln5)(

всех

. Тогда 5ln5)1(

Ответ.

)1( f .

1

f .

5ln

1







,

f





2



.

2



 

не существует.

xf 

x

также определена при



1

x

0

2

R

5

xxf

П. ж). Функция

log)(

Используя таблицу производных, находим:

а затем вычисляем:



)2( 

f .

1

определена при всех 0x.

2/1

1

)('

xf  ,

ln

x

2ln2

Ответ.



)2( 

f .

1

2ln2

П. з).







)(arccos)(

xxf

1



. Производная определена

2

1

x



при всех x, удовлетворяющих неравенству



)0(

f .

1



01



1



2

не равны,

. Согласно

1

x

2

. Тогда

1|| 

2ln

29