Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
Доказательство. Поскольку
x
f
M
Mxf
x
t
Mmx
f
x
x
f
x
M
x
f
M
f
f
x
faf
x
f
x
f
x
f
f
x
fff
x
ff
fAx
f
A
A
A
A
A
x
A
f
f
промежутке
ba,, то по теореме Вейерштрасса она принимает на
непрерывна на замкнутом
)(
нем свои наименьшее и наибольшее значения. Первое из них обозначим через
m, а второе – через М.
Рассмотрим два случая:
1.
m
заключаем, что
0)(
.
),( ba
2.
равны, то либо значение m, либо значение
],[ ba
. В силу того, что
для любых
m
. Поскольку значения )(
)(
m )(
при любых
cons
и c – любая точка из промежутка
],[ ba
нимает внутри промежутка, то есть в какой-то точке
гда по теореме Ферма
. Теорема доказана.
0)( c
для любых
. Но тогда
],[ ba
на концах промежутка
функция при-
bac ,. То-
Теорема 3.2 проиллюстрирована рис. 3.2.
y
)()( b
)(c
,
],[ ba
О
Рис. 3.2
c
ba
Следствие 3.1. В условиях теоремы Ролля между двумя нуля-
ми функции
существует по крайней мере один нуль ее произ-
)(
водной.
Теорема 3.3 (теорема Лагранжа).
Пусть функция
на и непрерывна на замкнутом промежутке
водную
гда существует такая точка
по крайней мере в открытом промежутке
)(
bac , , что
и имеет произ-
],[ ba
зада-
)(
ba, . То-
afbf
cf
)( . (3.3)
60
)()(
ab
Доказательство. Составим вспомогательную функцию
f
x
fafbf
x
fbf
f
A
x
f
A
A
A
A
A
x
A
f
f
)()(
)()( ax
xfx
.
afbf
)(
ab
Эта функция удовлетворяет в промежутке
ремы Ролля. Действительно,
при
bax ,,
xfx
)()(,
ba
afbf
)()(
ba, условиям тео-
,
)()()( a
непрерывна
)(
bax ,
.
ab
Тогда для некоторого
bac , выполнено
)()(
afbf
)()(
cfc ,
0
ab
откуда следует (3.3). Теорема доказана.
Замечание 3.2.
Формула (3.3), записанная в виде
, (3.4)
))(()()( abc
называется формулой конечных приращений, поскольку связывает
между собой приращение аргумента
ции
в промежуточной точке
)(c
на конечном промежутке
)()( a
.
c
, приращение функ-
ab
и производную
],[ ba
Геометрический смысл теоремы Лагранжа
Рассмотрим дугу
фика функции
точка
, )(afy
имеет координаты
ax
координаты bx
y
, а точка B –
B
, )(bfy
B гра-
. Пусть
)(
B
y
B
)(b
(рис. 3.3). Угловой коэффициент
k хорды
k
AB
B
B имеет вид
)()(
afbf
.
ab
О
)(a
a
c
Рис. 3.3
b
61
Обозначим через k угловой коэффициент касательной, прове-
x
f
f
x
f
A
x
f
x
g
x
f
x
g
x
g
gbg
g
f
t
fx
f
x
f
f
f
ff
x
f
денной к графику функции
как согласно теореме Лагранжа выполняется равенство (3.3), то
внутри промежутка
ная, проведенная к графику функции )(
раллельна хорде, стягивающей точки
Теорема 3.4 (теорема Коши). Пусть функции
даны и непрерывны на замкнутом промежутке
производные
),( ba. Пусть 0)(
чение
Доказательство. Заметим сначала, что
тельно, в противном случае по теореме Ролля для некоторого
мы получили бы
),( ba
теоремы.
Составим вспомогательную функцию
, что
),( bac
)(
и
y
ba, существует такая точка c, что касатель-
хотя бы в открытом промежутке
)(
при ),( bax . Тогда существует такое зна-
)()( agxg
xfx
в точке
)(
y в точке
)()(
afbf
)()(
agbg
, что противоречит условию
0)(
afbf
)()(
agbg
c . Тогда
и B.
)(
],[ ba
)(
cf
. (3.5)
)(
cg
)()( a
)()(
.
)()(
. Так
kс
)(
)(, cfc , па-
и
и имеют
. Действи-
)(
за-
Она удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно, она
непрерывна,
и имеет вид
По теореме Ролля существует такая точка
откуда следует (3.5). Теорема доказана.
ba
, и производная ее существует
)()()( a
)()(
afbf
)()( xg
xfx
)()(
cfc ,
62
.
)(
)()(
agbg
),( bac
)()(
afbf
0)(
cg
)()(
agbg
, что
Геометрический смысл теоремы Коши
t
f
x
f
x
f
f
f
f
f
x
f
Пусть имеется параметрически заданная функция
),(
)()(
Тогда
точки
ная этой функции в некоторой промежуточной точке
равная угловому коэффициенту касательной к кривой в этой точке.
Таким образом, геометрический смысл теоремы Коши заключается
в следующем: на параметрически заданной кривой
, найдется точка
],[ bat
в которой будет параллельна хорде, стягивающей концы этой кривой
Задача 3.1.
функции
для которого
Решение. В условиях теоремы Ролля требуется, чтобы функ-
ция )(
том промежутке
была определена и непрерывна на замкнутом промежутке
8,0, существовала производная
Найдем производную заданной функции:
Очевидно, что в открытом промежутке
существует, а на замкнутом промежутке
)(
afbf
– угловой коэффициент хорды, стягивающей
)()(
agbg
)(),( afagA ,
)(),( afagA ,
Проверить справедливость теоремы Ролля для
3
8)( xxxf на промежутке ]8,0[. Найти значение c ,
.
0)(
c
8,0 и выполнялось равенство
tgx
2
где
),(
tfy
)(),( bfbgB ее графика, а
)(),( bfbgB .
Задачи к § 3
0)0(
)(
xf
3
.
],[ ba
cf
– производ-
)()(cg
,
)(),( cfcg
по крайней мере в откры-
)(
,
83
.
0)8(
28
x
.
2
2
xx
, касательная
),( bac
производная
)8,0(
8,0
),(
. Имеем
)8()0(
функция
)(),( cfcg ,
tfy
tgx
),(
63
3
x
x
f
x
xxxxf
f
x
f
f
x
y
x
f
f
fxfx
x
8)( xxxf непрерывна. Теорема Ролля справедлива. Очевид-
но, что при
2
производная
4
обращается в
)(
.
0
c ,
2
3
,0
2
)()0(
cfff
Ответ. Теорема Ролля справедлива,
Задача 3.2. Проверить справедливость формулы (3.4) для
функции
Решение. Функция xxf
,0. Найдем ее производную:
2
Заметим, что производная тоже непрерывна на всем проме-
жутке. Таким образом, условия теоремы Лагранжа выполнены.
Вычислим значения функции на концах промежутка:
f
или
откуда
,
12
2
на промежутке
xxf
sin)(
2
sin)( непрерывна на промежутке
. Составим формулу конечных приращений (3.4):
0)0(
2
2sin1
2
при
08
xx
. Найти значение c.
2sincossin2)(
.
2
.
4
22sin c ,
1
2arcsin
c .
2
Заметим, что, поскольку
Ответ. c2sin
Задача 3.3. Для функции
значение
sin
2
c , чтобы касательная к графику функции, проведенная
arcsin0
,
22
0sin
2
2
, где 2arcsin
64
4,0c
2
c .
3
)1( xy
1
2
, ]3,1[
.
найти такое
в точке с координатами
f
f
x
y
x
f
f
cf
x
f
3
)1(, cc , была параллельна хорде, стя-
гивающей концы этого графика.
Решение. На промежутке
функция
]3,1[
3
)1()( xxf
удо-
влетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Значения функции на
концах промежутка
,
0)1(
. Тогда найдется такое
8)3(
3,1c , что касательная к графику функции, проведенная в точке
3
с координатами
этого графика
и
)0,1(
, параллельна хорде, стягивающей точки
)1(, cc
.
)8,3(
Составим уравнение хорды:
.
)1(4
Ее угловой коэффициент 4
3
)1()( xxf :
Она равна угловому коэффициенту касательной
k . Найдем производную функции
1
2
.
)1(3)( xxf
k . Воспользовав-
1
шись геометрическим смыслом производной, приравняем угловые
коэффициенты касательной и хорды. Получим
2
,
c
4)1(3
2
c . Учтем, что
откуда
1
3,1
c .
3
Ответ.
2
.
1
c
3
Задача 3.4. Найти ошибку в следующем рассуждении:
2
5
«Значения функции
]1,1[ равны:
кое
c
, что
)1,1(
)(
, тогда по теореме Ролля существует та-
)1()1(
. Но
0)(
xxf
на концах промежутка
4
2
202
xxf
)(
и
5
, если
0)( c
)1,1(10 c . Следовательно, теорема Ролля неверна».
Решение. Теорема Ролля неприменима к функции )(xf
2
5xx
на промежутке ]1,1[
4
, поскольку функция при 0x тер-
65
пит бесконечный разрыв. Таким образом, условия непрерывности
x
f
x
f
x
f
x
x
f
x
P
xxxxxP
PPPnP
x
P
x
P
x
P
x
P
x
f
fff
fxxxx
fxfx
fx
f
xx
x
f
xx
f
x
x
xx
x
xxf
функции на замкнутом промежутке ]1,1[ , и существования произ-
водной )(
хотя бы в промежутке )1,1( нарушены.
Задача 3.5.
Показать, что на отрезке ]2,1[
неприменима к функции
3
2
1)( xxf . Объяснить, почему нельзя
теорема Лагранжа
применять теорему Лагранжа на этом промежутке.
Решение. Найдем производную функции
1
2
3
)(
xxf
.
:
)(
3
3
2
Теорема Лагранжа неприменима к функции
1)( xxf на
промежутке ]2,1[ , поскольку условие существования производ-
ной
хотя бы в промежутке
)(
нарушено: при
)2,1(
0
не существует.
Задача 3.6. [4]
,
)1,( nn
корню производной
Решение. Числа 0,1...,,2,1,
многочлена, поскольку
Доказать, что на каждом из интервалов
, …,
)2,1( nn
многочлена
)(
существует ровно по одному
)0,1(
)(...)2)(1()( n
.
nnn являются корнями
. Со-
0)0()1()2(...)(
гласно следствию 3.1 теоремы Ролля хотя бы в одной точке каждого из интервалов
)1,( nn
обращается в 0. Поскольку
производная
представляет собой многочлен степени
)(
, …,
)(
,
)1,2(
производная
)0,1(
– многочлен степени
, его
1
n
n
и вследствие основной теоремы алгебры не может иметь более n
различных корней. Поэтому )(
точке каждого из интервалов
обращается в 0 ровно в одной
, …,
)1,( nn
,
)1,2(
и все
)0,1(
корни производной многочлена находятся на этих интервалах.
Задача 3.7. [4] Не решая соответствующего уравнения, отве-
тить, сколько корней на промежутке
функции
3
имеет производная
]4,1[
.
)4)(3)(2)(1()( xxxxxf
)(
)(
66
Решение. Функция
x
f
fff
f
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
xx
x
f
x
x
f
x
x
xx
xxf
жутке ]4,1[, причем 0)4()3()2()1(
определена и непрерывна на проме-
)(
. Найдем ее произ-
водную:
)(
xf .
3
Производная существует при
23
5070304
xxx
2322
)4()3()2()1(3
xxxx
,
)2,1(
,
)3,2(
)4,3(
Используем следствие 3.1 теоремы Ролля: между двумя корнями
функции находится хотя бы один корень ее производной. Приходим к выводу, что на каждом из интервалов
имеется хотя бы один корень
иметь не может. Следовательно,
Ответ. )(
имеет три корня.
. Но более трех корней
)(
имеет три корня.
)(
,
)2,1(
,
)3,2(
)4,3(
)(
Задача 3.8. [4]
Доказать, что уравнение
4
не
0316416
может иметь двух различных вещественных корней на промежутке
.
]1,0[
Решение. Используем следствие 3.1. Найдем производную
функции 316416)(
Если бы на промежутке ]1,0[ у функции )(
то у ее производной при
промежутке
4
корней нет.
)1,0(
xxxf :
23
xxxxxf .
)1)(1(646464)(
было два корня,
был бы хотя бы один, а у
)1,0(
на
)(
Задача 3.9. [4] С помощью теоремы Лагранжа доказать нера-
венства:
.
а)
б)
в)
sin
x
2
1
)1ln( при 0x.
ctgctg
sin
2
, где
при
0
;
0
22
xxx
)1ln(
;
2
Решение
П. а). Рассмотрим функцию
],[ , где
0
, функция определена и непрерывна.
. На промежутке
ctg)(
2
67
Ее производная
x
xxf
xxf
x
xxf
x
f
f
x
x
x
x
f
ff
xfx
f
xx
x
x
f
ff
xxf
xxfxxf
xxf
xxxf
xx
x
xxfxf
],[ . Поэтому
xf
)(
1
также непрерывна на промежутке
2
sin
на промежутке ],[
ctg)(
удовлетворяет
всем условиями теоремы Лагранжа. Согласно равенству (3.4) имеем:
, где
2
c
sin
1
, получим
222
ctgctg
Поскольку
sin
ctgctg
1
1
sin
sin
sin
c
П. б). Функция
, определена и непрерывна. Ее производная
0b
c
22
sin
2
)1ln()(
xxxf на промежутке
.
),(
.
],0[ b
)(
1
2
1
также непрерывна на этом промежутке. Поэтому ln()( xxf
)12x
на промежутке
удовлетворяет всем условиям тео-
],0[ b
ремы Лагранжа. Тогда, поскольку
2
)1ln()0()(
bbfbf ,
bcf
b
1)(c
,
2
,
),0( bc
по формуле (3.3) получим:
b
)1ln(
xxx
)1ln()(
определена и непрерывна на
.
2
1
c
2
bbb
)1ln(
.
для всех 0x.
Так как
1
1
cb
1
1
1
В силу произвольности
x
2
1
П. в). Функция
промежутке
,
],0[ b
2
bb
)1ln(
1
для bc 0, придем к неравенству
22
b
2
b
0b получим
2
0b , и имеет на этом промежутке непрерывную
,
68
производную xxf
fbf
x
x
x
x
f
f
f
x
f
x
f
x
x
x
x
f
f
f
xxf
xxf
xxf
xxf
x
xxf
x
x
x
xxf
x
f
1
)(, то есть удовлетворяет всем условиям
1
теоремы Лагранжа. Тогда, поскольку
)(
b
,
bcf
1
c
по формуле (3.3) получим:
b
b
1)1ln( ,
b
c
или в силу произвольности
0b :
)1ln(
,
Задача 3.10. [4] Функция )(
промежутке ]1,0[,
том промежутке
Лагранжа, доказать, что
,
1)0(
, причем
)1,0(
– линейная функция.
)(
определена и непрерывна на
, имеет производную в откры-
3)1(
Решение. Возьмем произвольное )1,0(
],0[
и ]1,[
Лагранжа. Поэтому найдутся такие ),0(
функция
удовлетворяет всем условиям теоремы
)(
1
выполнены равенства
1
2
Подставляя значения
cf , 2)(
2)(
1
cf , перейдем к неравенствам
2
и
1)0(
21)(
откуда получим:
12)(
12)(
Таким образом, для любого
того, что
воду, что
при
12
равно 1, а при
0
на промежутке ]1,0[, следовательно,
12)(
представляет собой линейную функцию.
,
)1ln()0()( b
,
),0( bc
),0( bc
.
0
. Используя теорему
2)(
. На промежутках
xc
и )1,(2xc
,
xcffxf
)0)(()0()(
)1)(()()1(
xcfxff
.
и используя условия
3)1(
,
,
)1(2)(3
,
.
)1,0(
равно 3, придем к вы-
1
. С учетом
12)(
, что будут
)(
69
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]