Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
Следовательно, функция выпукла вверх на промежутке
x
f
X
x
f
x
f
x
x
x
x
f
x
x
f
x
выпукла вниз на промежутках
и
M
являются точками перегиба графика функции.
)0,1(
2
)0,(
и
),1(
Строим график функции (рис. 10.6).
y
1
)1,0(
, точки )1,0(1M
,
0 1
Рис. 10.6
x
§ 11. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пусть функция
и
. Предположим, что в точке a функция
a
определена на некотором промежутке X
)(
имеет произ-
)(
водные до порядка n включительно. Составим многочлен степени n:
)(
af
afxP )(
n
)()(
)(
!1
af
ax
)(
)(
2
ax
...)(
!2
n
af
)(
n
!
n
ax
. (11.1)
Определение 11.1. Многочлен (11.1) называется многочле-
ном Тейлора
.
a
порядка n функции
, соответствующим точке
)(
130
Вычислим производные многочлена
x
x
x
f
x
x
f
x
)(
n
)()(
afxP
n
af
!1
...)()(
afxP ,
…
n
)(
k
n
xP
, если
0)(
Вычислим теперь значение многочлена
ных при
:
a
n
n
n
…
n
:
)( xP
n
n
)(
)(
...)(
ax
n
)(
af
)!2(
n
)()(
nn
afxP
)()(
nk
,
)()( afaP
)()( afaP
,
, (11.2)
)()( afaP
)()(
nn
afaP
)()(
af
)!1(
n
)(
ax
ax
2
n
)(
,
.
1
)(xP
и его производ-
n
.
1
n
,
)(
Таким образом, в точке
значения многочлена Тейлора
a
и его производных до порядка n включительно совпадают с соответствующими значениями функции )(
что при значениях
, близких к a , значения )(
и ее производных, так
и )(xPn доста-
точно близки. Приближенное равенство
(11.3)
)()( xPxf
n
тем точнее, чем ближе
к a и чем больше значение n .
Оценим погрешность приближенного равенства (11.3). Соста-
вим для этого функцию
. (11.4)
)()()( xPxfxR
nn
Тогда
(11.5)
)()()( xRxPxf
nn
или
)()( ax
afxf
)(
ax
)(
af
!1
n
)(
)(
...
af
!
n
n
131
)(
af
2
)(
!2
(11.6)
).()(
xRax
n
Определение 11.2. Равенство (11.6) называется формулой
x
f
x
f
x
,
x
x
Тейлора
порядка n функции
. Функция
)(
называется
)( xR
n
остаточным членом формулы Тейлора.
Найдем выражение для остаточного члена. Из формул (11.4)
и (11.2) вытекают равенства
0)( aR
n
n
,
,
0)( aR
…
)(
n
n
.
aR
0)(
Предположим дополнительно, что в некоторой окрестности
точки
ка
функция
a
)1( n включительно, и пусть
Из формулы (11.4) и равенства
имеет непрерывные производные до поряд-
)(
принадлежит этой окрестности.
)1(
n
n
следует, что
0)(
xP
)1()1(
nn
n
. (11.7)
xfxR
)()(
Введем в рассмотрение функцию
1
n
)()(
axx .
Вычислим ее производные:
)(
n
n
,
axnx ))(1()(
)1(
n
)!1()(
nx
.
1
n
, …,
)()1()(
axnnx
)()!1()(2...)1()1()(
axnaxnnnx
,
Заметим, что
,
0)( a
Рассмотрим отношение
,
a
0)(
xR
n
и применим к нему теорему Коши.
)()(x
, …,
0)( a
n
.
0)()( a
Тогда
)(
xR
)(
x
)()(
aRxR
)()(
ax
)(
cR
nnnn
1
, где xca
)(
c
1
или acx
1
1
Теперь последовательно будем применять теорему Коши n раз:
)(
cR
1
c
1
)(
)()(
aRcR
1
1
)()(
ac
)(
cR
2
nnnn
)(
c
2
.
132
)(
x
x
cR
2
)(
c
2
2
2
)()(
aRcR
)()(
ac
)(
cR
nnnn
3
,
)(
c
3
…
)(
n
cR
n
n
)(
n
c
n
n
)(
n
n
)(
n
)()(
n
)()(
aRcR
nn
)()(
n
)()(
ac
)1(
n
)(
R
n
n
)1(
)(
)1(
n
f
)!1(
n
В этой цепочке равенств либо
... ,
n
xcccca
123
либо
...
321
n
.
accccx
В результате получим, что
xR
n
f
)(
x
)(
,
)!1(
n
)1(
n
)(
или
)1(
n
)(
где
f
)(
xR
n
a
или
a
n
.
)!1(
)1(
n
, (11.8)
)(
ax
Из равенств (11.5) и (11.8) следует, что
n
)1(
)(
n
)!1(
n
f
)()(
xPxf , (11.9)
1
n
)(
ax
или
)(
af
...)(
)()(
afxf
)(
ax
!1
n
)(
af
!
n
f
n
)(
ax
)(
af
2
ax
!2
)1()(
n
)(
)!1(
n
1
n
)(
ax
. (11.10)
Определение 11.3.
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
Формула (11.10) называется формулой
.
Заметим, что существуют и другие формы для остаточного
)( xR
члена
.
n
Формула (11.8) не дает возможности точно найти остаточный
член, но ее можно использовать для его оценки.
)(
.
133
Пример 11.1. Записать формулу Тейлора порядка
xxf
n
xxf
n
xxf
xxf
n
xxf
f
f
f
f
x
x
f
xxf
xxf
f
xfyxxf
xxf
n
xxf
функции
)(
при
si
. Найти оценку остаточного члена на
0a
интервале )5,0;5,0( .
Решение. Вычислим все необходимые производные:
,
si
)(
IV
xxf sin)(
, xxf cos)(V , xxf sin)(
,
cos)(
VIII
VI
)(
xxf sin)(
,
si
, xxf cos)(
;
VII
n
cos)(
,
7
,
для
,
0)0(
V
1)0(
1)0(
f , 0)0(VIf , 1)0(
Формула Тейлора порядка
sin)(
,
имеет вид
7n
1
!3
,
0)0(
VII
1
1
!5
Оценим остаточный член по формуле (11.8):
Если
sin
|)(|
7
5,0||
, то 000000097,0
|)(|
xR .
7
!8
1
25632040
8
||
xxR
x
Задачи к § 11
Задача 11.1.
функции
а)
б)
y
Выписать формулу Тейлора порядка
. Найти оценку остаточного члена:
)(
x
,
exf )(
, на интервале
0
a
,
)1ln()(
a
, на интервале
0
Решение
П. а). Вычислим все необходимые производные:
)(
xn
exf )(
, 1)0()(
f ,
n
n
Формула Тейлора примет вид
x
1)(
exf
n
7
n
x
!
n
1
.
)(
xR
7
, 0)0(IVf ,
1)0(
f .
753
!7
8
||
.
!8
;
)5,0;5,0(
)5,0;0(
...,1,0
xxxxxxx
)(
xRxxxxxxf .
7
для
7
n
.
.
765432
)(
xR
7
!7!6!5!4!3!2!1
134
Запишем остаточный член в форме Лагранжа (11.8):
xxf
f
xfy
xxf
xxf
n
xxf
e
8
.
!8
)(
exR
256!8
00000016,0
.
Отсюда, если
1
, то
0
x
2
0 x , то
1
2
0
)(
exR
7
256!8
xR
7
)( x
7
000000097,0
П. б). Вычислим все необходимые производные:
nnn
xnxf
)1()1()!1()(
, )!1()1()0(
0)0(
,
)1ln()(
1)(
nn
nf
1)(
, ...,2,1
n .
Формула Тейлора примет вид
765432
)1ln()(
xxxf
n
x
1
n
n
)()1(
xR
7
n
7
1
xxxxxx
7
765432
.
Запишем остаточный член в форме Лагранжа (11.8):
8
.
8
)1(8)(
1
00049,0
2568
Если
0 x , то
1
2
7
|)(|
xR .
7
xxR
8
1
2
8
Задача 11.2. Используя формулу Тейлора порядка n при
0a , найти приближенное значение функции
при
)(
и оценить его погрешность:
;
xR
. Если
)(
xx
0
а)
б)
в)
,
cos)(
arcsi
)(
arctg)(
,
6
n
,
, 3
0
,
3
n
n , 125,0
x .
;
x
8
;
x
0
2,0
0
Решение
П. а). Вычислим все необходимые производные:
IV
, xxfxf sin)()(
IV
VI
ff , 0)0()0()0(
1)0()0(
xxfxf cos)()(
,
xxfxf cos)()(
fff , 1)0()0(
135
V
VIII
,
VIIIII
;
xxfxf sin)()(
VI
ff .
Формула Тейлора имеет вид
xxf
f
f
f
f
xxf
f
f
f
f
x
f
x
xxf
xxf
x
xxfxxf
n
1
1cos)(
1
!2
1
642
!4
!6
6
Вычислим приближенное значение функции:
642
1
f .
8
cos
1
8
8!2
Оценим остаточный член при
sin
|)(|
xxR
!7
Ответ.
cos
8
923879519,0
1
006
8!4
xx .
0
||
x
7
0
||
!7
,
1
7
|
8!6
7
R
6
7
!78
8
923879519,0
000000285,0
000000285,0|
П. б). Вычислим необходимые производные:
xxf ,
,
1)0(
)1()(
)1)(21(5)1(4)( xxxxxxf
2/722
)1)(23(3
xxx
;
,
0)0(
.
1)0(
arcsin)( ,
2/7222/52IV
,
0)0(
2/12
Формула Тейлора примет вид
1
arcsin)(
3
6
)(
xRxxxxf .
3
Вычислим приближенное значение функции:
3
arcsin)(
Оценим остаточный член при
2
)23(3
03
Ответ.
xxR .
)(
4
0
2/72
)1(!4
20133,0)2,0arcsin(
1
3
2,0
0000
6
:
xx
0
,
R
3
)2,0(
xxxxf
6
)08,03(6,0
)04,01(!4
4
27
000142,0|)2,0(|
П. в). Вычислим необходимые производные:
12
arctg)(
,
,
)1()(
xxf
42232IV
)1)(13(6)1(6(2)( xxxxxxf
0)0(
, 1)0(
, 0)0(
, 2)0(
136
.
)(
xRxxxxxf
)1()(
xxxf ,
)1)(21()1(3)1()(
xxxxxxf
20133,0
000142,0)2,0(
.
)1(2)(
xxxf
)1)(13(2)1(8)1(2)(
xxxxxxf ,
.
.
.
2/32
2/5222/5222/32
,
.
22
,
32232222
)1)(1(24
xxx ;
422
Запишем формулу Тейлора:
x
f
x
xxf
xxf
x
xxf
xxf
1
arctg)(
3
3
)(
xRxxxxf .
3
Вычислим приближенное значение функции:
arctg)(
1
3
Оценим остаточный член при
2
)1(24
0
42
)1(!4
12434896,0125,0arctg
Ответ.
xxR .
)(
03
0000
1
125,0
33
xxxxf .
3
:
xx
0
125,024
44
!4
,
R
3
Задача 11.3. Выписать формулу Тейлора для функции
в окрестности точки
а)
x
exf2)( , 1
a ;
a
для произвольного значения порядка n :
12434896,0)125,0(
0000305,0)125,0(
0000305,0|)125,0(|
.
)(
б)
,
3cos)(
;
a
2
,
в)
ln)(
.
1
a
Решение
П. а). Найдем все необходимые производные:
x
exf2)( ,
2)(
nn
2)1( ef
, ...,2,1
n .
xnn
2)(
exf
2)( ;
Запишем формулу Тейлора:
22
x
2
2
)1(21)(
2
xxeexf
!2
n
2
...)1(
!
n
n
n
Составим выражение для остаточного члена в форме Лагранжа:
n
21
2
)(
xR , где ),1(
n
e
n
x
)!1(
1
n
)1(
.
П. б). Вычислим производные:
3cos)(
,
3
, xxf 3cos3)(
xxf 3sin3)(
, xxf 3sin3)(
3sin3)(
, xxf 3cos3)(
4IV
Таким образом, справедлива формула при
1
n
n
)(
n
)(
xf
n
2
n
2
knx
n :
knx
2
5V
, … .
...,2,1,0
число, четное2 если,3cos)1(3
,
число; нечетное12 если,3sin)1(3
.
)()1(
xRx
137
откуда
k
xxf
f
x
x
f
xxf
x
x
f , 0
2
121)12(
kkk
3)1(
k
f ,
)2(
2
.
...,1,0
Составим формулу Тейлора:
12
121
l
3cos)(
xxf
0
k
kk
3)1(
k
k
2)!12(
)(
xRx
12
l
и выражение для остаточного члена в форме Лагранжа:
22
1
l
)(
xR , где
12
l
l
3cos)1(
x
l
2)!22(
x,2.
П. в). Вычислим все необходимые производные:
ln)(
,
,
0)1(
nn
1)(
)!1()1()(
1)(
, ...,2,1
n .
nf
)!1()1()1(
nnn
xnxf
;
Выпишем формулу Тейлора:
i
n
ln)(
xxf
1
i
1
)1(
i
i
.
)()1(
xRx
n
Составим выражение для остаточного члена в форме Лагранжа:
1
nn
n
n
)(
xR
)1(
)1(
)1(
x
, где
1
n
.
),1(
Задача 11.4. Используя решение предыдущих примеров, вы-
писать формулу Тейлора порядка
а)
)32sin()(
1
a ;
,
для функции
7n
:
)(
4
2
xx
б)
)( ,
2
exf
a
.
1
Решение
1
П. а). Значению
a соответствует многочлен Тейлора, раз-
4
1
ложенный по степеням
. Преобразуем функцию:
x
4
cos
5
2
5
1
2sin)32sin( xxxx
2
4
1
2sin
4
5
sin
2
2cos
1
.
4
138
x
x
Сделаем замену переменной
2 xt и воспользуемся решени-
ями примера 11.1 и задачи 11.2 а):
1
2sin
2cos
,
sin
4
s
|)(|
7
1
4
c
|)(|
7
1
!3
sin
,
1
!8
1
1cos
!2
cos
.
2
!8
Тогда получим:
5
cos)32sin( ttttx
2
5
sin
2
1
1
!2
5
cos
1
1
!4
2
Вернемся к переменной
8
5
cos
2
!3
64
1
4
5
sin
2
!6
:
cos2
5
2
128
5
2
cos
!7
5
sin)32sin()( xxxxf
2
16
sin
!4
1
.
4
Остаточный член можно оценить как
8
1
x
4
!8
. Преобразуем функцию:
)1(
xR .
7
П. б). Значению 1
ложенный по степеням
8
2
2
x
a соответствует многочлен Тейлора, раз-
)(
1
4
1
1
!7
!5
8
||
t
8
||
ttR
s
753
)(
tRtttttx
7
!8
1
8
||
ttR
1
!4
!6
8
||
t
c
642
,
)(
tRttttx
7
!8
1
1
!5
!3
1
642
!6
5
sin
2
1
4
32
1
4
5
2
4
315
22
)1(12
xxx
eeexf
753
cs
777
!5
!7
,
)(
tRttt
7
.
xRxRxR
2
xxx
xRxx
1
4
543
1
4
5
4
sin
2
!2
5
cos
2
76
1
4
7
8
1
4
,
139
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]