Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие

сделаем замену переменной

x







x

t

x



x









xfy



X

x



x

f

xfyxx

f



x



yxf

xxfx

xyy



xxf

x

xxf

xxx

xx

2

)1(  xt и воспользуемся формулой

Тейлора из задачи 11.1 а):

2

Вернемся к переменной

1





1)(



!1



)( 

xR

7

tx

7

e



)( t

tR



:

)1(

x

!8

 



e

8

!2

!1

,

1



1

!8

1

...)1(

!2

16

,

)1(

1

7211)1(1

...



!7

.

),0(t

1

14421

!7

2

)1(,0  x .



,

)(

tRttteeeee



7







)()1(

xRxxxexf

,



7



Задача 11.5. Не применяя повторное дифференцирование,

найти

IX

функции

)0(

f

2

.

)31ln()(

xxxf 

Решение. Воспользуемся решением задачи 11.3 в):

i



1

)1(



i

ˆ

.

)1(

и умножая его на

13 

)(

tRt



n

2

, будем

ln

t





i

Полагая в этом равенстве

n

1



иметь:

21



2

n

)31ln(

xx





1



i

iii

3)1(

x



i

2

ˆ

n

,

)31(

xRx



или

97645342

3

32

3)31ln(

xxx  

3

2

3

4

3

xxxx

2

ˆ

7

9

.

)31(

xRx

С другой стороны, воспользуемся формулой Тейлора (11.6) для

,

0a

Сравнивая две формулы для функции

емся в том, что для нахождения искомой величины )0(

точно приравнять друг другу коэффициенты при

f

ем

:

9n



)0(





f

)0()0()(

xffxf 



2

x

!2

7IX

3

)0(

!9

.



7

...

IX

)0(

f

9

!9

2

f доста-

9

. Тогда получа-

.

)(

xRx

9

, убежда-

)31ln()(

xxxf 

IX

140

7









xfy



X

x



x

f

xfy

x

f



x



y

xdf

xxf

xdf

x

ydy



xxf

x

xxf

xxx



x

xdx





Ответ.

IX

3!9

f

)0(

.

7

Задача 11.6. Без использования формулы бинома Ньютона

5



разложить выражение

Решение. Введем функцию

13 x по степеням x.

5



13)(  xxf и найдем ее произ-

водные:

n



n

xf

)(

3!5





x

n

)!5(

n



5)(

,



n

f

)13(

)(

0)(

xf

Составим формулу Тейлора при

5

13)(



xxf 

n



)0(

при ...,7,6

n .

0

a

5







n

0

n



3!5

n



)!5(

n



5)(

,



)1(

:

nn

5

)1(3!5



nn



n

x

!)!5(

или

5



5432

2434052709015113 xxxxxx  .

§ 12. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция



)(

.

в точке

)(

имеет производную

Определение 12.1. Дифференциалом функции

в точке щение

называется произведение производной

независимой переменной x.

Дифференциал обозначается как

d

)()(

или

на прира-

)(

:

)(

или

. (12.1)

Пример 12.1.

кущей точке образом, дифференциал независимой переменной

Найдем дифференциал функции

. Поскольку 1)(

, то

dx 

равен ее при-

)(

. Таким

ращению:

. (12.2)

141



в те-

;

5...,,1,0n

)(

Из формул (12.1) и (12.2) следует, что

xxf

xdf

x

ydy

xfy



x



x



x

xxxxfy





x

xdf

y



x

xdf

x

f

x

y

x

f







x

K













K

x

f

K

x

f

x











K

L

N

xfy



t

















x











)()(

d

или



. (12.3)

d



Связь дифференциала функции и ее приращения

Обратимся к определению производной функции







xf

Отсюда по определению предела следует, что

y





y

lim)(.

x

 0





)()( xxf

,

:

)(

где

или, в силу (12.3),

где



если

ляет главную, линейную по да также следует, что

и это равенство тем точнее, чем меньше

y  и касательная к нему в точке

Рассмотрим прямоугольный треугольник

(рис. 12.1), то



Из формул (12.4) и (12.5) следует, что дифференциал состав-

На рис. 12.1 изображен график строго возрастающей функции

)(

L имеем

при 0

0)( 

– величина более высокого порядка малости, чем

.

0)( 

Геометрический смысл дифференциала

KMKL

0

. Тогда





)(

, часть приращения функции. Отсю-



,



d

. Так как

tg||||



)()(||

xdfxxfKL 

00

(12.4)



)()(

, (12.5)

.

x

)(,

xfxM . Пусть 0

000

KLM

. Для длины катета

0

,

)(tg

xf

0

, то есть длина

0

равна

L

||

,

)(

.

||

xKM

142

дифференциалу функции

x

f

K

x

f

x











K L

N

xfy



t











x











является приращением ординаты касательной.

||

L

Аналогичный вывод можно сделать как для

и в случае убывающей функции

Итак, дифференциал представляет собой приращение орди-

наты касательной, проведенной к графику функции в точке дифференцирования.

в точке

)(

. С другой стороны, длина

x

0

.

)(

, так

0

y

)(

xxf

0

В силу формулы (12.3) и таблицы производных основных эле-

ментарных функций получаем таблицу их дифференциалов:

1)

(d

2)

частные случаи:

3)

частный случай:

4)



частный случай:

M

)(0xf

0

Рис. 12.1

Правила вычисления дифференциала

;

0)cons

1

dxxxd 

;



xd



xx



log 

xd

a

dxaaad

ln ;

 ;

dx

;

a

ln

xd ln ;



0

x

0

dx

2

xx

dxeed

dx

,

x

1





d 





x





dx

x

)(

xx

0

;

2

5)

6)



cossin ;



sincos ;

dxxxd

143

x

cos

x



x



x









x



xfy



txx







x

xf

X

x



x

f



x

f

x

xf

Xx











x

f

x

xd



dx

2

dx

;

2

sin

dx

 ;

1

dx

 ;



1

dx

 ;

2

1

dx

 .

1





2

)()()()( xdvxduxvxud 

)()()()()()( xdvxuxduxvxvxud 

)()( xcduxcud  (

)()()()(

xdvxuxduxv

(0)(

)(

xv

v ).

);

constc



7)

8)

9)

10)

11)

12)

В силу формулы (12.3) и правил дифференцирования (теорема 2.1

и следствие 2.1) получаем следующие свойства дифференциала:



I.



II. частный случай

d

III.

Доказательство. Докажем лишь последнее свойство, так как

первые три доказываются аналогично.

xd

tg  ;



ctg 



arcsin



arccos



arctg



arcctg

 ;

 ;





)(

xu



)(

xv









2

xv

)(

)()()()(

xuxdvxvxdu





xxt



)(



, а

xuxvxvxu

)()()()(

dx

dxxfdttxtxfdttxfdy

)()(')())((



.

. Тогда,

)(

. (12.6)



dx





2

)(

xv



144



xu

)(



d



xv

)(





Инвариантность (неизменяемость) формы дифференциала

Формула (12.3) верна независимо от того, является ли x неза-

висимой переменной или функцией переменной t.

Действительно, предположим, что

используя правило (2.14) дифференцирования сложной функции, имеем:



xu

)(













xv

)(













Пример





x

fy

X

x



x

f



xdf

x



x

fy

Xx











x

f

2

1

xx 

cossin2.

dx

x

2

Замечание 12.1. Следует отметить, что в отличие от формулы

(12.3) формула (12.1) справедлива лишь в случае, когда симая переменная.

Дифференциалы высших порядков

Пусть производная ствует вторая производная ренциала

, считая dx постоянным множителем:

)(

   



Полученное выражение носит название

рого порядка

значается как

. Дифференциал второго порядка для краткости обо-

2

и, таким образом, имеет вид

)(

xfd

определена при

)(

. Составим дифференциал диффе-

)(









)()()()( dxxfdxdxxfdxxdfxdfd

дифференциала вто-

22





)()( dxxfxfd

или

22

dxyyd ,

2

где



2

dxdx  .

В предположении, что производные соответствующих порядков функции

при

)(

существуют, получим выражения

для дифференциалов любого порядка:

323





где через

n

обозначено

dx

n

dx)(.

Таким образом, приходим к определению

рядка

n , аналогичному определению 12.1.







, …,

)()()( dxxfdxxfdxfd

nnnnn

)()1()1(

dxxfdxxfdxfd )()()(

,

дифференциала по-

Определение 12.2. Дифференциалом порядка n функции

)(

в точке x называется выражение

nnn

dxxfxfd )()()(

или

nnn

dxyyd)( . (12.7)

 xdxxxdxxd cossin2sinsin2sin

– незави-

, и суще-

2

.

145

Замечание 12.2. Из определения дифференциала следует, что

x

fy



f

xdf











f

x

f



ttn



x

y





x

y







производная порядка

n связана с дифференциалом порядка n ра-

венством:

n

)(

y 

yd

. (12.8)

n

d

Замечание 12.3.

Свойство инвариантности формы для диффе-

ренциалов порядка выше первого не выполняется.

Задачи к § 12

Задача 12.1.

в точке

:

x

0

а)

б)

в) 1





г)







)( ,

Записать дифференциал функции

2

xx

3

exf





xxf , 1

33

 xyxy ,

5

,cos

tx

0

5

,sin

ty

;

x

0

1



x

)1ln()(

x

0

2

(

x

 ex ;

0

;

1

).

 t0

8

Решение

П. а). Вычислим производную:

2

xx

3









exxf

)32()(

3)0( 

;

.

По формуле (12.3) составим дифференциал:

.

dxdf 3)0( 

Ответ.

.

d

3)0(

П. б). Используем логарифмическое дифференцирование для

вычисления производной показательно-степенной функции:



 xxxf ,

)1ln(ln)1()(ln

)(

xf



)(

xf



1





x

 



146

)1ln(ln

1



xxxf

.

1)1( e

,

)1ln(



x



1

)1ln(ln1ln)(



x

,



)1ln(



Составляем дифференциал по формуле (12.3):

xedf















t

n



xdy





xdy





.

)1(

d

Ответ. dxedf

П. в). Значению

)1(.

соответствует значение

1

x

0

. Вычис-

10y

лим производную неявно заданной функции:

22



2

3



y



x

3



)1( 



y .

x



,

033





yxyxyy

xx

yx



,

2

xy



1

13

2

13

По формуле (12.3) составляем дифференциал:

1

.

dxdy



2

Ответ. dxdy

1

 .

2

П. г). Значению

0

соответствует значение

x

8

Вычислим производную параметрически заданной функции:

4

cossin5



y

x

cos5

tt

4

si

3



,

t

tg



.

t

0

4



y

x

3

tg



при

1

4

2

.

x

0

8

По формуле (12.3) составляем дифференциал:

.

d

Ответ.

.

d

Задача 12.2. Найти приращение функции

переходе от значения с дифференциалом функции в точке

а)

x ; 6,0

б)

x ; 501,0

в)

5,0

0

x

0

x ;

1

; 51,0

x ;

5,0

1

5,0

x .

1

к значению

xx

0

x

0

147

xx

и сравнить его

1

:

при

xy 2arctg

Решение

x







x



y



y

x



x





y





y





y



y





y

y. xfy



xx







x











П. а). Найдем приращение функции

0455,01arctg2,1arctg)()(

01

 xfxfy .

Составим дифференциал. Для этого найдем приращение аргумента

xxx .

01



1,05,06,0

По определению 12.2

dx .

1,0

Вычислим производную:

1



xf

1

)( 



21



x



xf

,

2

.

5,0)(0

Тогда дифференциал

05,01,05,0 dy .

Разница между приращением и дифференциалом

Ответ. 0455,0y ;

d

;

05,0

 d

0045,0||

d

.

П. б). Приращение функции

00495,01arctg02,1arctg y .

Найдем приращение аргумента

xxx

:



.

01

01,05,051,0

По определению 12.2

dx .

01,0

Тогда дифференциал

dy .

005,001,05,0 

Разница между приращением и дифференциалом

00005,0

.

Ответ. 00495,0y ;

d

;

 d

005,0

.

00005,0||

П. в). Приращение функции

000499,01arctg002,1arctg y .

По определению 12.2 дифференциал

.

xxdx

01

001,05,0501,0

Тогда дифференциал

d

.

0005,0001,05,0 

Разница между приращением и дифференциалом

000001,0

.

Ответ. 000499,0y ;

d

;

0005,0

 d

000001,0||

:

.

0045,0||

||

dyy

||

d

148

Задача 12.3. Составить выражения для дифференциалов

xfy



x



x









x













функций

:

)(

а)

б)

в)

x



xy  ,

333

xxxy  ,

;

0

yxyx

.

;

0

Решение. Для составления выражения дифференциала ис-

пользуем формулу (12.3).

П. а). Используем правило дифференцирования сложной функции (2.14):



1





.



x

2







1



2



xx

Ответ.





y

1

2



dxydy



 

1

 



xxx

1

2

1



1



2



 

1

 

xxx





 

xx

1



2

П. б). Используем правило дифференцирования показательностепенной функции:



lnln  ,

x

xxy ln

x

2

x

2ln1

,

x

4

2ln

.

Ответ.

y



ln



2

y

2





x





 



xdy

 

x





xy

 

2ln

x

4

x

dx





x





x



x

  

4

.

1

1 



1





.

dx



x



П. в). Используем правило дифференцирования неявно заданной функции:

yxyx





xyx

33





y

Ответ.







33



.

yxy



33

xyx

33

.

dxdxydy

yxy



149





yy

13ln33ln33ln3,

