Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
Составим уравнение касательной:
x
x
f
x
x
.
223 xy
Ответ. 72
П. д). Найдем абсциссу точки
откуда, с учетом условия
Найдем производную заданной функции
y .
M :
0
2
310
x ,
0
,
0
x
0
xf
x
10)(x
.
10x
:
y
2
)(
и вычислим ее значение:
1
)1(
f
1
.
3
110
Составим уравнение касательной:
1
3 xy .
)1(
3
Ответ.
П. е). Продифференцируем уравнение
3
10
xy .
3
2
2
y
x
2
a
2
2
a
yy
x
x
,
0
22
b
:
1
2
b
откуда найдем значение производной в произвольной точке эллипса
При
:
),(
yxM
000
My
x
0
производная не существует, углового коэффициен-
00y
2
x
b
0
.
2
y
a
0
та нет и касательной является вертикальная прямая с уравнением
(5)
нение эллипса и найдем
сательные находятся в вершинах эллипса
ния
(см. замечание 0.2 введения). Подставим
xx
0
. Следовательно, вертикальные ка-
ax
0
ax .
Составим уравнение касательной при
2
x
b
yy
0
0
2
y
a
0
50
в урав-
0
y
0
и имеют уравне-
)0,( a
axa
:
0
,
)(
xx
0
y
x
x
0
2
0
xx
.
1
0
2
b
2
x
0
2
a
.
axa
откуда, умножив обе части уравнения на
2
y
или, с учетом равенства
Ответ.
в вершинах эллипса
a
yy
xx
a
2
0
0
2
b
yy
b
0
2
2
x
0
2
a
1
при
xx
a
0
2
b
y
b
0
2
a
2
0
,
1
2
yy
0
2
b
П. ж). Продифференцируем уравнение 1
2
2
a
yy
x
x
,
0
22
b
откуда в произвольной точке гиперболы
2
x
b
y
x
0
.
2
y
a
0
Составим уравнение касательной при
2
x
b
0
yy ,
0
2
y
a
xx
0
0
откуда
2
x
xx
0
0
2
2
a
.
1
ax ||
.
или, с учетом равенства
Ответ. a
в вершинах гиперболы )0,( a,
yy
xx
a
2
0
0
2
b
yy
2
b
x
0
a
при
1
2
y
0
0
2
a
b
2
2
y
0
,
1
2
2
b
yy
xx
a
2
0
0
2
b
0
П. з). Продифференцируем уравнение pxy 22 :
,
22
pyy
x
51
, получим
,
)0,( a
2
2
y
x
2
2
b
a
yxM
),(
000
:
ax ||
0
)(
:
откуда в произвольной точке параболы
x
x
x
f
p
y
x
.
y
0
Составим уравнение касательной при
p
yy
0
y
0
откуда
2
00
или, с учетом равенства
Ответ.
в вершине параболы
0
2
0
,
2 pxy
0
)(00xxpyy при 00x .
t
cosln
,
задана параметрически
2
)(cosln
ty
П. и). Функция
x
Сначала найдем координаты точки
xx
pxpxyyy
)(00xxpyy .
),(
yxM
000
:
0
x
0
,
)(
0
,
0
,
)0,0(
.
, соответ-
),(
yxM
000
ствующей значению
t :
0
3
x ,
0
y .
0
cosln
6
cosln
3
3
ln
2
1
ln
2
Найдем производную функции по формуле (2.9):
t
sin
y
x
t
)ln(cos
t
cosln
2
t
t
cos
sin
cos2
t
t
2
t
t
t
cossin2
2
t
t
sincos
2
t
tg2
tg
.
t
2
2
Подставим в нее значение
t :
0
3
y .
x
52
63
Уравнение касательной примет вид
x
x
f
1
2
.
2ln53ln36
Ответ.
ln xy .
y
П. к). Сначала определим значение
aa
ствующее точке
M
0
22
,
:
22
a
22
a
22
3
ln6
2
tt
, )2,0[
t , соответ-
0
0
3
ta
,cos
0
3
ta
,sin
0
откуда
t . Для вычисления производной воспользуемся резуль-
0
4
татами решения задачи 2.7 б):
ty
tg
4
14
и подставим в него значение
x
t :
0
y .
x
Уравнение касательной примет вид
a
x
2222
Ответ.
a
y .
a
.
xy
2
x
Задача 2.10.
В какой точке касательная к кривой
2
exy
параллельна оси абсцисс?
Решение. При решении воспользуемся геометрическим смыслом
производной: производная функции
y
, вычисленная при
)(
xx
0
равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику
функции в точке
Вычислим производную функции
)(,
xfxM , то есть формулами (1.3) и (1.4).
000
x
2
exy
:
xxxxxx
2222
xxeexxeexexexy
22)()(
.
,
53
Так как касательная параллельна оси Ox, угловой коэффици-
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
f
k
xxxx
x
ент касательной равен
производной к значению
. По формуле (1.3) приравняем значение
0
и найдем значение
0k
, при котором
это равенство выполняется:
x
откуда либо 0
значения функции: 0
x , либо 2
1
y ,
1
x . Вычислим соответствующие им
2
4 ey .
2
02 xxe
,
2
Ответ. Касательная параллельна оси абсцисс в точках
)0,0(1M ,
2
2
.
)4,2(
eM
Задача 2.11.
перпендикулярна прямой
Решение. Вычислим производную функции
Угловой коэффициент
угловой коэффициент касательной через
лярности прямой и касательной 1
В каких точках касательная к кривой
?
2xy
1
y :
1
y .
3
x
k прямой 2
1
2
1
2
3
x
y равен 1. Обозначим
k . В силу перпендику-
2
kk , следовательно,
21
1
k .
По формуле (1.3) приравняем производную к значению
и найдем значения
:
1
2
3
x
,
1
y
3
1
3
k
2
132x , 13
4
x , 22x .
1
Вычислим соответствующие им значения функции: 1
1
y .
2
Ответ. Касательная к кривой
y перпендикулярна пря-
,
y ,
1
31
мой
в точках
2xy
M
,
)1,4(
1
.
)1,2(2M
54
Задача 2.12. Известно, что касательная к параболе
x
x
x
f
k
x
x
yx
yx
x
2
32
xxy параллельна прямой 54
y . Составить уравне-
ние этой касательной.
Решение. Из уравнения прямой 54
коэффициент: 4
k . Так как касательная и прямая параллельны,
1
y найдем ее угловой
то угловой коэффициент касательной k равен 4.
Вычислим производную функции
2
y
Используя формулу (1.3), найдем точку
4
: 422
x , откуда 1
0
чение функции:
0
x . Вычислим соответствующее зна-
0
.
6)1(
fy
)(
22)32()(
xxxxf .
:
)(,
xfxM , в которой
000
Составим уравнение касательной к графику функции в точке
M
:
)6,1(
0
Ответ. 24
y .
.
y
)1(46
Задача 2.13.
2
xxy перпендикулярна прямой 024
В какой точке касательная к параболе
46
? Составить
уравнение этой касательной.
Решение. Запишем уравнение прямой 024
1
1
xy ,
2
4
откуда значение углового коэффициента
1
k . Поскольку каса-
1
4
в виде
тельная перпендикулярна заданной прямой, ее угловой коэффициент
1
.
4
kk
1
Вычисляем производную функции:
2
xxxy
62)46(
),(
и, используя формулу (1.3), находим точку
угловой коэффициент равен k :
x , откуда 10
0
соответствующее значение функции
в которой строим касательную:
M . Составим уравнение
462
y
0
0
и определим точку,
1
)1,1(
yxM , в которой
000
x . Найдем
касательной в этой точке:
y
55
)1(41
или
x
x
x
k
t
t
xx
x
x
x
34
уравнение касательной 34
Ответ. В точке
M
y .
)1,1(0
Задача 2.14.
липсу
Найти угловые коэффициенты касательных к эл-
22
в точках с абсциссой
020824
yxyx
x
Решение. Продифференцируем уравнение эллипса:
,
yyyx
08282
xx
откуда
2
0
При
0
из уравнения эллипса получим уравнение
2
x
0
, решив которое, будем иметь
yy
01284
Тогда в точке )1,2(
Ответ. В точке )1,2(
y
x
M
1
M
1
22
x
88
y
3
, в точке )3,2(
y
x
8
3
k , в точке )3,2(2M
1
8
1
x
y
.
)1(4
y , 3
01
M
2
y
1
Задача 2.15. В какой точке касательная к первой арке циклои-
ttx
ды
Решение. Найдем производную
функции
,sin
(
t
ty
cos1
ttx
cos1
) параллельна оси
]2,0[
,sin
по формуле (2.9):
ty
y
x
t
)cos1(
t
tt
)sin(
t
?
O
параметрически заданной
y
x
t
sin
.
t
cos1
Из условия параллельности касательной и оси
значение ее углового коэффициента:
0
. По формуле (1.3) соста-
Ox
вим уравнение:
t
sin
cos1
,
0
56
y .
.
2
0
y .
02
3
x
.
8
3
k .
2
8
определим
найдем значения
t
xx
x
x
x
откуда
значение
. Подставим его в уравнения функции:
t
0
и определим точку
Ответ.
M
0
, при которых это равенство выполняется:
tt
0
,
)12( k
k
x
0
y
0
M
0
.
)2,(
.
)2,(
,0sintt
,0cos1
. Первой арке соответствует
...,2,1,0
,sin
2cos1
Задача 2.16.
и
2 xy
Под каким углом пересекаются параболы
2
?
xy
Решение. Углом пересечения двух кривых называется острый
угол между касательными, проведенными к кривым в точке их пересечения. Найдем точки пересечения парабол
22
Решая уравнение
1. Рассмотрим точку
касательных
, kk к параболам:
)( xxfy , xxf 2)(
11
22
, получим
2
. Найдем угловые коэффициенты
1
21
2
2)( xxfy
2
, xxf 2)(
1
2
,
,
.
1
fk
1
fk
2
2
и
xy
1
2
;
2)1(
.
2)1(
2
2 xy
Воспользуемся формулой для тангенса острого угла между
двумя прямыми:
kk
4
tg
1
21
,
3
kk
21
откуда
4
arctg .
3
2. Рассмотрим точку
сательных
, kk к параболам:
)( xxfy
11
22
21
2
, xxf 2)(
2
2)( xxfy , xxf 2)(
. Найдем угловые коэффициенты ка-
1
1
2
,
,
fk
1
1
fk
2
2
;
2)1(
.
2)1(
2
.
57
Таким образом,
x
f
X
f
f
f
x
fcf
X
x
x
x
x
x
x
x
X
x
x
x
x
xx
fxf
x
x
f
x
ff
f
f
kk
tg
1
1
4
2
kk
.
3
21
Ответ. В обеих точках кривые пересекаются под углом
4
arctg .
3
§ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Теорема 3.1 (теорема Ферма)
лена на некотором промежутке
1
точке
c принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если
в точке c существует производная
. Пусть функция )(
и в некоторой его внутренней
, то
)(c
. (3.1)
0)( c
Доказательство. Предположим для определенности, что
является наибольшим значением, то есть
)(c
.
По определению производной
cfxcf
cf
lim)(
x
0
)()(
.
Поскольку предел существует, существуют равные друг другу
односторонние пределы выражения
)()(
cfxcf
.
опреде-
при всех
)()(
Пусть
(
0
). Тогда
0
cfxcf
)()(
0
и, следовательно, по теореме о предельном переходе в неравенстве
)()(
cfxcf
lim
0
x
1
Точка c называется внутренней точкой промежутка X, если существует окрестность
)(cV этой точки, целиком лежащая в
: XcV )( .
58
0
.
Если же
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
f
faf
f
(
0
), то
0
cfxcf
)()(
0
и, следовательно,
cfxcf
)()(
lim
x
0
0
.
Поскольку
cfxcf
)()(
,
то
lim
. Теорема доказана.
0)(
c
cfxcf
)()(
lim
xx
00
Теорема 3.1 проиллюстрирована рис. 3.1. В точке, где функ-
ция достигает своего наибольшего значения, касательная к графику
O
параллельна оси
.
y
)(c
ba
О
c
Рис. 3.1
Замечание 3.1. В теореме 3.1 предположение о том, что точка
c есть внутренняя точка промежутка Х, является существенным.
Без этого предположения заключение теоремы может не выполняться.
Теорема 3.2 (теорема Ролля). Пусть функция
на и непрерывна на замкнутом промежутке
водную
Пусть
по крайней мере в открытом промежутке
)(
. Тогда существует такая точка
)()( b
ba,
определе-
)(
и имеет произ-
ba, .
bac ,, что
. (3.2)
0)(
c
59
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]