Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
Таким образом, производная
x
x
x
x
x
f
xxf
x
x
f
x
x
x
x
существует тогда и только
)(
xf
0
тогда, когда существуют и равны обе односторонние производные:
. (1.9)
)()()(
xfxfxf
000
Задачи к § 1
Задача 1.1.
ющих функций при
Установить, существуют ли производные следу-
xx
, и, если они существуют, то найти их,
0
пользуясь определением производной:
4
а)
б)
в)
г)
д)
)( xxf , 16
xf
)(
xf
)(
xf
xf
7
x ;
0
xx
,2,32
sin
x
xx
x
xx
x
x
4
,2,
,2,32
,2,
,2,32
,2,
x
xx
x
x ;
,1,
,1),4(
0
0
3
0
x
2
0
1
x .
0
;
;
)(
x
2
x
2
x
2
)(
2
8
Указание 1.1. При вычислении производной непрерывной
функции по определению 1.1 возникает неопределенность типа
0
. Ее следует раскрыть, заменяя бесконечно малые величины
0
(в произведении и частном) эквивалентными.
Решение
П. а). Согласно определению 1.1 производная
4
f
lim)16(
0
x
7
x
128)16(
.
10
0
x
x
x
x
f
xxf
xxx
f
xxx
x
x
Здесь возникает неопределенность типа
. Чтобы раскрыть
0
эту неопределенность, приведем выражение под знаком предела к
4/7
1)1(
виду
, где
, для чего вынесем общий множитель
0
в числителе за скобку и за знак предела:
4/7
x
1
16
1
.
7
64
Замечая, что при
4/7
x
1
16
1
эквивалентна бесконечно малой величине x
f
lim128)16(
0
x
бесконечно малая функция
0
воспользуемся заменой бесконечно малых величин на эквивалентные и затем сократим числитель и знаменатель на общий множитель
:
f
Ответ.
.
14)16(
П. б). В окрестности точки
. Согласно определению 1.1 производная вычисляется
32)(
7
x
lim128)16(
0
x
64
0
x функция задается формулой
0
14
.
следующим образом:
f
Ответ.
lim)0(
.
2)0(
x
П. в). В окрестности точки
x
0
3023)0(2
функция задается формулой
3
lim
xx
2
2
00
.
,
)(xxf . По определению 1.1 получим:
2
3
x
2
2
lim
00
xx
1
.
2
2
Ответ.
f
1
)3(
f .
3
lim)3(
2
П. г). При
и при
2
функция задана разными форму-
2
лами. Согласно замечанию 1.2 найдем обе односторонние произ-
2
водные при
x :
0
11
2
xxx
xxx
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
xxf
xxf
x
x
1
f
f
lim)2(
lim)2(
2
x
lim
020
xx
2
13)2(2
lim
xx
1
,
2
2
00
.
2
.
Производные слева и справа не равны друг другу, следова-
тельно, производной функции при
Ответ.
не существует.
)2(
П. д). Поскольку функция
1
слева и справа от
x , воспользуемся замечанием 1.2 и найдем
0
20x не существует.
задана разными формулами
)(
обе односторонние производные:
)1(
x
sin
f
f
lim)1(
x
0
lim)1(
x
0
4
2
x
8
sin
4
,
2
)4(
2
.
Каждый из пределов представляет собой неопределенность
типа
.
0
0
Для раскрытия первой неопределенности воспользуемся три-
гонометрической формулой
sin2sinsin
.
cos
2
2
Получим
sin
f
lim2)1(
x
8
0
Замечая, что бесконечно малая при 0
cos
xx
84
.
функция
sin
x
экви-
8
x
валентна своему аргументу
, произведем замену на эквива-
8
лентную бесконечно малую, сократим числитель и знаменатель
дроби на
и, воспользовавшись непрерывностью косинуса, вы-
числим предел:
12
xx
x
xxx
xxf
xxf
x
cos
8
f
lim2)1(
x
cos
.
4
84
xx
4
2
4
8
coslim
00
x
84
Для вычисления одностороннего предела справа раскроем
скобки, приведем подобные члены и сократим числитель и знаменатель дроби на общий множитель
2
x
f
8
lim)1(
)4(
. Тогда получим:
2
2
lim
xx
2
00
8
2
.
8
Так как обе односторонние производные существуют и равны,
то, согласно замечанию 1.2, существует и производная функции
1
x .
при
0
Ответ.
f
)1(
2
.
8
Задача 1.2.
Найти производные следующих функций, пользу-
ясь определением производной:
а)
б)
в)
г)
)(
xexf
5
2
;
)23cos()(
)37ln()(
;
24
;
2)( xxf .
Решение
П. а). Пусть
. Согласно определению 1.1 производная
R
)(
xf
lim
x
0
x
Здесь возникает неопределенность типа
0
. Чтобы раскрыть эту
0
)23cos(2)(3cos
xxx
.
неопределенность, преобразуем выражение, стоящее в числителе,
в произведение тригонометрических функций по формуле
.
sin2coscos
13
sin
2
2
Тогда
x
x
x
x
xxf
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
sin2)23cos(2)(3cos
346
2
sin
3
xxx
.
2
Следовательно,
)(
xf
Замечая, что при
lim
x
sin2
346
2
x
0
бесконечно малая функция
0
3
sin
xxx
2
.
3
sin
2
эквивалентна своему бесконечно малому аргументу
3 x
, восполь-
2
зуемся заменой бесконечно малых величин на эквивалентные и затем сократим числитель и знаменатель на общий множитель
:
3
sin2
)(
xf
lim
x
0
346
2
Вычисляя предел, в силу непрерывности функции
xxx
2
sinlim3
0
x
sin
346
xx
.
2
получим
значение производной
.
)23sin(3)(
x
Ответ.
П. б). Пусть
xx .
3
. Согласно определению 1.1 производная
x
7
xf
)(
lim
x
0
Здесь возникает неопределенность типа
ние, стоящее в числителе, по формуле
lnlnln
Тогда
xxx
ln)37ln()3)(7ln(
14
)23sin(3)23cos(
)37ln()3)(7ln(
xxx
.
x
0
. Преобразуем выраже-
0
.
xx
737
x
37
1ln
x
7
.
x
37
Следовательно,
x
x
x
x
x
x
x
x
7
x
37
.
x
7
x
1ln
7
x
37
x
37
x
на эквивалентную,
При
0
бесконечно малая функция
бесконечно малой
xf
7
x
37
)(
lim
x
0
. Заменив
1ln
1ln
получим
7
x
7
37
.
37
xxx
Ответ.
xf
)(
xx
lim
x
))37(ln(
x
0
7
lim
.
37
7
0
x
37
П. в). Пусть
Здесь возникает неопределенность типа
R
. По определению 1.1 имеем
ee
)(
xf
lim
x
0
x
0
0
xxx
242)(4
.
. Преобразуем выраже-
ние, стоящее в числителе, вынося за скобку множитель
424242)(4
xxxxx
,
)1(
eeee
и заменим бесконечно малую при
вивалентную ей бесконечно малую
и знаменатель на общий множитель
функцию
0
. Сократим числитель
)4(
e
и, вычисляя предел,
получим:
24
x
xf
)(
lim
Ответ.
П. г). Пусть
0
x
4)(
. По определению 1.1 имеем
R
)(
xf
lim
x
Здесь возникает неопределенность типа
xe
x
2424
xx
ee .
5
0
)4(
0
x
2
5
xxx
x
0
. Преобразуем выраже-
0
4)4(lim
ee
2
22)(
.
ние, стоящее в числителе, вынося за скобку множитель
15
эквивалентна
24 x
e :
4
x
на эк-
1
2424
xx
.
5
2
:
2x
5
x
x
t
x
x
xy
x
x
R
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
xxxx
x
x
x
y
n
x
xx
x
5
2
2
5
2
x
5
2
xxxx
5
12
1
x
Заметим, что бесконечно малая при
2
)(2
5
1
xxx
1
2
2
x
эквивалентна бесконечно малой
5
1
222)(
2
xxx
)(2
2
2
2
xx
2
x
2
.
2)(
функция
0
2
x
2
)(2
xxx
)2(5
Произведем замену бесконечно малой на эквивалентную и сократим
числитель и знаменатель на общий множитель
)2(
xxx
2
)2(5
xx
5/42
)2(
Ответ.
5
)(
lim
x
5
2
x
x .
2
2
xxf
0
2
x
2
. Тогда получим:
2
x
x
)2(
5
5/42
.
5
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
2.1. Вычисление производных некоторых основных
элементарных функций
1. Если cons
y , то
. Действительно, по определению
0y
1.1 имеем
cc
0lim
0
x
D
.
– область определения функ-
2. Пусть
y
(
xy
Dx
, где
ции).
Рассмотрим сначала частный случай, когда
y . Тогда
и 1lim0
y
x
x
, так что
, то есть
1
при всех
1
.
Пусть теперь 1
y
lim
. Предположим, что 0
xxx
)(
16
lim
x
xx
00
. Тогда
x
11
x
.
.
Заменяя в числителе дроби бесконечно малое при
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xln
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
n
x
x
x
x
x
ражение
кращая числитель и знаменатель на
Рассмотрим случай
В этом случае при
совпадает со значением
в точке
3. Пусть
x
a
Здесь использована замена выражения
бесконечно малой величиной a
0
4. Пусть
x
Мы заменили бесконечно малую при 0
эквивалентной ей бесконечно малой
эквивалентной бесконечно малой
x
не существует.
0
x
y ln
lim)(ln
11
x
(
ay
aa
(
0a
xxx
, получим:
lim)(
xx
x
. Тогда
0
y
lim
значение производной равно 0. Оно
1
1
при
x
0
x
)(
x
0
. Если
0
1
x
.
.
1
). Тогда
x
a
x
a
limlim)(
x
1
a
x
a
x
lim
x
000
эквивалентной при
1
.
). Тогда
0
x
1ln
x
величину
lim
x
.
xxx
ln)ln(
вы-
0
x
и со-
, то производная
ax
ln
lim
xxx
000
x
x
x
.
aa
ln
1
.
1ln
x
x
5. Пусть
x
lim)(sin
Поскольку величина
x
а
x
x
coslim
0
2
(
si
sin
cos
). Тогда
R
xxx
sin)sin(
lim
xx
00
x
эквивалентна величине
2
, получим:
x
x
x
при 0
x
2
.
,
x
cos
sin2
2
2
17
x
x
x
xvv
x
x
x
v
xvx
xvx
x
xvxuxvx
x
v
x
x
x
v
xux
xu
xvx
xv
x
v
x
v
x
x
t
t
x
v
x
v
xfy
x
f
X
X
x
f
ygx
xf
y
g
cos
2
x
lim)(sin
2
x
0
x
x
2
x
cos
.
6. Рассуждая так же, как в п. 5), получим
xx sincos
.
2.2. Простейшие правила дифференцирования
Теорема 2.1.
ке
производные
1) ))()((
2)
3)
Пусть функции
u
u )()(
u
))()((xv
u
xu
)()(xv
и
)(
uu
и
)(
u
. Тогда в точке x:
)(
;
2
)(
xv
)()()()(
xuxvxvxu
, если
;
)()()()(
имеют в точ-
)(
.
0)(
Доказательство. Докажем п. 3), то есть найдем производную
функции
xu
y . Придадим аргументу
приращение
)()(xv
функции )(
и
u и )(xv получат соответственно приращения u и
,
)()(
)(
)(
xxy
)(
y
u
uxu
. Таким образом,
vxv
)(
uxu
)(
vxv
)()(
)(
xu
)(
xv
. Следовательно,
v
)()(
vxuuxv
,
))()((
vxvxv
откуда
u
xv
y
Поскольку
x
имеет производную, то по теореме 1.1 эта
)(
x
функция непрерывна, и из условия
)()(
v
xu
)()(
x
.
vxvxv
следует, что
0
Тогда
. Тогда
0
.
)(
xu
)(
xv
lim
x
y
0
x
2
)()()()(
xvxuxuxv
)(
xv
.
Для п. 3) теорема доказана. Пп. 1) и 2) доказываются по той
же схеме.
18
Следствие 2.1. Постоянный множитель можно выносить
xukx
t
t
x
v
x
v
xfy
x
f
x
f
ygx
x
fy
y
g
за знак производной, то есть
uk
, где
)())((
cons
k
Доказательство. Это утверждение следует из п. 2) теоремы 2.1,
так как, если
)(
k
cons
, то
.
0)(
Пример 2.1
.
x
sin
cos
x
cos
tg
x
xxxx
1
)sin(sincoscos
cos
.
22
xx
Пример 2.2
ctg
x
cos
sin
x
x
sin
1
.
2
x
Пример 2.3
log
x
a
ln
x
ln
1
ln
x
aa
1
)(ln
ln
.
ax
2.3. Производная обратной функции
Теорема 2.2 (без доказательства).
определена и непрерывна на некотором промежутке
y строго монотонна в этом промежутке, то есть либо для
любых
любых
)(
xx
из X выполнено неравенство )()(
21
из X выполнено неравенство
xx
21
в промежутке Y значений функции
ратная функция
, также строго монотонная и непрерывная.
)(
Обычно обратную функцию обозначают
Пусть функция
X . Пусть
xfxf
, либо для
21
. Тогда
)()(
xfxf
21
существует однозначная об-
)(
1
.
)(
yfx
Теорема проиллюстрирована рис. 2.1.
Теорема 2.3. Пусть функция
ям теоремы 2.2 и в точке
x
имеет производную
0)(
xf
. Тогда и обратная функция
0
и выполняется равенство
yg
)(
0
y
y
0
)(
yg
0
x
19
удовлетворяет услови-
)(
Xx
существует производная
в точке )(
)(
1
. (2.1)
)(
xf
0
xfy
00
)(
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]