Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная функции и ее применение в инженерном вузе. Учебное пособие.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Т.Н. Т и т о в а
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ИНЖЕНЕРНОМ ВУЗЕ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
М о с к в а 2010
УДК 517(075.8)
Титова Т.Н. Производная функции и ее применение в инженерном вузе: Учебн. пос. / Моск. гос. строит. ун-т.-М.: МГСУ, 2010.- 80 с.
Пособие посвящено дифференциальному исчислению функции одной переменной. Рассмотрены основные вопросы теории, разобрано
большое количество примеров и задач.
Пособие предназначено для студентов 1 курса, обучающихся по на-
авлению 270100 «Строительство».
пр
Научный редактор:
канд. физ.-мат. наук, проф. В.Н.Арефьев
Рецензенты:
ведущий научный сотрудник Математического института им.
В.А.Стеклова РАН, докт. физ.-мат. наук О.К.Шейнман,
научный сотрудник лаборатории «Разностные методы»
фак-та ВМК МГУ им. М.В.Ломоносова,
канд. физ.-мат. наук Т.Я. Ершо
ва
2
§1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Δ
+
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Оно возникло при решении ряда задач,
важнейшими из которых является задача о скорости неравномерного движения и задача о касательной к кривой. Производная
широко используется при решении задач математики, физики,
других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.
1.1. За
дача о скорости
Пусть материальная точка движется по некоторой прямой. Через S обозначим расстояние данной точки от некоторого
начального её положения 0. Это расстояние зависит от времени t,
()
т.е.
tSS =
.
Это равенство называется законом движения точки.
Пусть в момент времени t
на расстоянии S
от начального положения, а в некоторый сле-
0
дующий момент времени
SS
на расстоянии
0
от начального положения (рис. 1).
точка занимает положение M0
0
ttt Δ+=
точка займет положение М₁
0
Рис. 1
Рассмотрим среднюю скорость движения точки за время
∆t (на участке M0M₁):
S
Δ
v
ср
Средняя скорость зависит от значения
тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки
в момент времени
t
.
0
.
=
t
Δ
∆t: чем меньше ∆t,
3
Скоростью движения точки в момент времени t0 называ-
Δ
(
−
Δ
(
ется предел средней скорости при
рость через v, получим
vv
==
ср
t
1.2. Определение производной, её механический смысл
Рассмотрим функцию )(xfy = , определенную в некоторой
окрестности точки х.
Пусть аргумент х получил приращение ∆х, тогда функ-
ция получит приращение
Определение. Производной функции )(xf в точке х назы-
вается предел отношения приращения функции к приращению
0→
аргумента при
если этот предел существует.
Обозначения производной:
Если производная существует во всех точках некоторого
промежутка
′
()
xf
цию
называется дифференцированием этой функции.
ла получена формула
Это равенство перепишем в виде
териальной точки в момент времени
по времени
ной.
. Операция нахождения производной от функции f(x)
В задаче о скорости прямолинейного движения точки бы-
Таким образом, скорость прямолинейного движения ма-
x
y
′
()
xf
=
(a,b), то её можно рассматривать как новую функ-
t. В этом заключается механический смысл производ-
Δ
=
x
Δ
v
=
t
()
Δ+=Δ .
00
xx
→Δ→Δ
′′
,),( yxf
S
Δ
lim .
t
→Δ 0
Δ
′
()
.tSv
=
0→Δt . Обозначив эту ско-
S
Δ
.limlim
00
→Δ→Δ
t
)
xfxxfy
()
x
Δ
dy
′
y
,
x
dx
t
t есть производная от пути S
)
xfxxf
−Δ+
,limlim
.
4
1.3. Геометрический смысл производной.
=
α
ϕ
α
ϕ
Уравнение касательной и нормали к кривой
Возьмем на непрерывной кривой L две точки M0 и М₁
(см. рис. 2). Прямую
М0М₁, проходящую через эти точки, назы-
вают секущей. Пусть точка
М
, тогда секущая М
0
М₁ занимает разные положения.
0
М₁ приближается по кривой к точке
М
называ-
0
.
0
Рис. 2
Определение. Касательной к кривой L в точке М
ется предельное положение
М0Т секущей М0М₁, когда точка М₁
неограниченно приближается по кривой к точке
Рассмотрим график непрерывной функции )(
имеющей в точке
М0(х0,f(x0)) невертикальную касательную. Пусть
- угол, образованный касательной с положительным направле-
нием оси
М1(х0+∆х, у0+∆у). Проведем секущую М0М
разованный секущей с положительным направлением оси
Пусть 0
кривой к точке
касательной
Оx, y0=f(x0). Рассмотрим на графике другую точку
. Пусть
1
- угол, об-
Оx.
∆М0М1С видно, что
Из
tg
Δ
ϕ
(см. рис. 3).
=
x
Δ
y
→Δx , тогда точка М₁ неограниченно приближается по
М
, секущая М
0
М0Т, угол
М₁ стремится занять положение
0
→ . Тогда угловой коэффициент ка-
сательной
y
tgtgk
===
ϕα
Δ
limlim
xx
→Δ→Δ
00
Δ
x
=
′
()
. xf
0
xfy
,
5
Рис. 3
(
′
(
′==
α
−
)
Таким образом, значение производной
вому коэффициенту касательной к графику функции
ветствующей точке
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через
точку
уравнение касательной имеет вид
проходящая через точку
этой точке (рис. 4).
6
М0(х0,y0) с заданным угловым коэффициентом k:
Так как для касательной
Нормалью к кривой L в точке М0(х0,y0) называется прямая,
М0(х0, f(х0)).
Уравнение касательной
()
() ()( )
Уравнение нормали
М
′
=
и перпендикулярная касательной в
0
.
xxkyy −=−
00
y0=f(x0),
xxxfxfy −
000
xf
0
. (1)
равно угло-
f(x) в соот-
)
xftgk
, то
0
Рис. 4
(
′
(
(
=
′
(
=
x
Так как нормаль перпендикулярна касательной, то её угловой коэффициент
k
норм
11
.
k
−=−= (если
кас
.
′
)(
xf
0
)
xf
≠0).
0
Поэтому уравнение нормали имеет вид
1
−=−
′
xf
)(
0
)( )
xx
, или
0
−+−
xxxfyxf
.0
(2)
000
() ()
xfy −
0
)()
1.4. Непрерывность функции, имеющей производную
Теорема
x производную, то она в этой точке непрерывна.
0
. Если функция
Доказательство. Пусть функция
′
водную
()
xf
в точке .
0
x Тогда по определению производной
0
Δ
y
0
x
→Δ
Δ
()
xfy = имеет в некоторой точке
)
xfy
имеет произ-
′
=
).(lim
xf
0
По теореме о связи предела и бесконечно малой функции имеем:
7
Δ
Δ
x
y
=Δ⋅
=
Δ
α
x
′
=
xf
Умножив обе части последнего равенства на
∆y=
α
+
0
′
()
xf
0
,)(
где
·∆x+α·∆x.
0lim
0=→Δαx
.
,xΔ получим:
Отсюда следует, что
Следовательно, функция
′
00
→Δ→Δ
xx
()
xfy = непрерывная в точке .0x
+Δ⋅
0
.0))((limlim
xxxfy
Обратная теорема неверна: непрерывная функция может
не иметь производной. В качестве примера рассмотрим функцию
≥
0,
⎧
==
xy (рис. 5).
⎨
⎩
xеслиx
<−
0,
xеслиx
Рис. 5
Эта функция непрерывная. Докажем, что она не имеет
производной в точке х=0. Действительно, в точке х=0 имеем
>Δ
,0,1
Δ
y
=
Δ
x
−Δ+
Δ
x
Отсюда следует, что
fxf
lim
x
→Δ 0
Δ
−Δ+
00
)0()0(
=
x
Δ
x
Δ
y
не существует, т.е. функция y=|x|
x
⎧
=
=
⎨
Δ
x
⎩
Δ
хесли
<Δ−
.0,1
хесли
не имеет производной в точке х=0 и, следовательно, график
8
функции не имеет касательной в точке O(0,0) (график имеет из-
−ΔΔ
Δ
≠
лом в этой точке).
1.5. Производная суммы, произведения и частного функций
точке х
Теорема
, то в этой точке имеют производные их сумма, разность,
0
. Если функции u(x) и v(x) имеют производные в
произведение и частное (при условии, что частное имеет знаменатель v(x
)≠0), причем справедливы следующие формулы:
0
′
′
′
=
±
′
′
=
′
u
⎛
⎜
v
⎝
′
⎞
=
⎟
⎠
;)(
vuvu
±
(3)
′
;)(
vuvuuv
+
′
vuvu
−
. (4)
2
v
Доказательство.
Докажем первую формулу. Пусть у(х)=u(x)±v(x),
приращения функций )(),(),( xvxuxy в точке ,
x соответствую-
0
vuy ,,
щие приращению аргумента .xΔ Тогда
∆y=y(x
=(u(x
Отсюда (при )0
+∆x )- y(x0)=(u(x0+∆x) ± v(x0+∆x)) - (u(x0)±v(x0))=
0
+∆x) - u(x0)) ± (v(x0+∆x) - v(x0))=∆u ± ∆v.
0
v
u
Δx
y
Δ
=
x
Δ
Δ
Δ
±
. Найдем пределы левой и
x
x
Δ
Δ
правой части равенства при ∆x→0:
Δ
Δ
′
=
y
y
=
Δ
x
Δ
⎛
⎜
Δ
⎝
v
u
x
⎞
±
=
⎟
Δ
x
⎠
u
Δ
±
x
Δ
v
Δ
=
0000
xxxx
→Δ→Δ→Δ→Δ
x
Δ
′±′
.limlimlimlim
vu
Аналогично можно доказать остальные формулы.
Теорема. Производная постоянной функции равна нулю:
.0=′c
Постоянный множитель выносится за знак производной:
′
′
.)( uccu
=
Доказательство. Производная постоянной функции по
определению равна
Δ
′
=
c
c
=
Δ
limlim
x
xx
−
cc
.0
=
Δ
x
00
→Δ→Δ
Пусть ),( xcuy = тогда приращение функции
9
=
−
Δ+=Δ )()( xcuxxcuy .))()(( ucxuxxuc
Δ
=
′
=
′
−=′
=
=
′
=
′
=
′
=
′
′
=
Найдем производную .
y
−Δ+
Δ
y
=
Δ
x
uc
Δ
c
=
x
Δ
u
Δ
uc
limlimlim
xxx
→Δ→Δ→Δ
=
x
Δ
000
1.6. Таблица производных
Запишем формулы производных основных элементарных
функций.
1. .0=′C
()
2.
′
1−
aa
=
axx ; в частности ,1=′x
′
′
()
x −=
3.
4.
1
=
,
x
2
′
=
′
=
x
)(log
a
5.
6. .sin)(cos xx
7. =
′
)(tgx
cos
′
ctgx
8.
9.
10.
11.
12.
)(
−
)(arcsin x
)(arccos x
)(arctgx
)(arcctgx
⎞
⎛
⎟
⎜
x
⎠
⎝
1
ln
.cos)(sin xx
11
2
x
′
)(,ln)(
x
ax
1
.
2
x
1
.
2
x
sin
при
2
11x−
− при
11x+
−
11x+
11x−
2
2
.
.
2
.
xxxx
.
eeaaa =
1
′
=
.
)(ln,
x
.1<x
.1<x
10