Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная функции и ее применение в инженерном вузе. Учебное пособие.pdf
Выразим у' из полученного равенства:
⋅
y'(3y2 – 3) = - 2,
y' =
y' =
2
,
2
33
−−y
2
.
2
33
y−
Пример 27. Найти производную функции, заданной неяв-
но уравнением:
x3 + y4 = xy2.
Решение.
Дифференцируем обе части равенства по
x3 + y4)'x = (xy2)'x,
(
x:
3x2 + 4y3·y'= x'·y2 + x· (y2)'
3x2 + 4y3·y' = 1·y2 + x·2y·y'.
Выражаем
у' из полученного равенства:
4y3·y' – 2xy·y' = y2 – 3x
y'(4y3 – 2xy) = y2 – 3x2,
22
3
xy
y' =
−
3
.
xyy
24
−
Пример 28. Найти производную функции, заданной неяв-
но уравнением
y = x + cos(x + y).
Решение.
Дифференцируем обе части равенства по x:
y' = (x + cos(x + y))'x,
sin(x + y)·(x + y)'
sin(x + y) · (1 + y'),
sin(x + y) - y'⋅sin(x + y).
sin(x + y) = 1 – sin(x + y),
sin(x + y)) = 1 – sin(x + y),
)sin(1
y' =
+−
.
)sin(1
yxyx++
Выражаем :y
′
y' = 1 –
y' = 1 –
y' = 1 –
y' + y'
y'(1 +
,
x
2
,
,
x
21
1.10. Метод логарифмического дифференцирования
⋅
Функцию вида
[]
)( xv
,)(
xuy = где u(x)>0, (8)
в том случае, когда основание и показатель являются функциями
от
x, называют степенно-показательной.
Чтобы найти производную от этой функции, сначала прологарифмируем равенство (8), а затем найдём производную полученной неявно заданной функции.
Пример 29. Найти производную степенно-показательной
функции
y = (x2 + 1)
sinx
.
Решение.
Прологарифмируем данное равенство:
lny = ln(x2 + 1)
2
lny = sinx·ln(x
+ 1) (по свойствам логарифмов).
Теперь дифференцируем обе части равенства по
lny)'x = [sinx·ln(x2 + 1)]'x,
(
1
y' = (sinx)'·ln(x2 + 1) + sinx· (ln(x2 + 1))',
sinx
,
x:
y
y'
= cosx·ln(x2 + 1) + sinx·
y
y'
= cosx·ln(x2 + 1) + .
y
1
·2x,
2
1
+x
xx
sin2
2
+⋅x
1
Выражаем :y′
xx
y' = y[cosx·ln(x2 + 1) +
2
sinx
y' = (x
+ 1)
· (cosx·ln(x2 + 1) +
sin2
],
2
1
+⋅x
xx
sin2
⋅
⎞
.
⎟
2
1
x
+
⎠
Пример 30. Найти производную степенно-показательной
функции
22
y = (x + 2)
arcsin2x
.
Решение.
Прологарифмируем данное равенство:
lny = ln(x + 2)
arcsin2x
lny = arcsin2x·ln(x + 2)
Дифференцируем последнее равенство по
(lny)'x = (arcsin2x·ln(x + 2))'x,
y'
= (arcsin2x)'·ln(x + 2) + arcsin2x· (ln(x + 2))',
y
'
y
y
1
= .
2
−
x
41
Выражаем :y′
x:
.
1
2arcsin)2ln(2
⋅++⋅⋅
xx
2
+
x
⎛
x
+
⎜
yy,
=
'
⎜
⎝
xy
+=
)2('
)2ln(2
+
2
x
−
41
⎛
x
2arcsin
⎜
⎜
⎝
x
x
+
)2ln(2
2
x
−
41
⎞
x
2arcsin
⎟
⎟
+
2
⎠
⎞
x
2arcsin
+
x
⎟
.
⎟
+
2
⎠
1.11. Задачи на нахождение касательной и нормали к кривой
Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке
, y0), лежащей на кривой, имеет вид:
Mo(x
0
y – y
= f(x0), угловой коэффициент касательной k
где y
0
= k
0
(x – x0), (1)
кас.
= f '(x0).
кас.
Уравнение нормали в этой же точке имеет вид:
y – y
где ),(
=
k
норм.
0
xfy = угловой коэффициент нормали
00
− (при f '(x
Пример 31.Составить уравнения касательной и нормали
к кривой y = x
= k
1
xf
3
(x – x0), (2)
норм.
) ≠ 0).
)('
0
0
– 2x2 + 3 в точке с абсциссой x0 = 2.
Решение.
Вычислим значение y
= f(x0) = 23 – 2·22 + 3 = 3.
0
Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке
=2:
x
0
23
y' = 3x2 – 4x,
= f '(x0) = 3·22 – 4·2 = 4.
k
кас.
Найденные значения подставим в уравнение (1) и получим уравнение касательной:
y – 3 = 4(x – 2),
y = 4x – 5.
11
.
кас
−=−
4
.
Найдём угловой коэффициент нормали: k
норм.
=
k
Запишем уравнение нормали, подставив найденные значения в
уравнение (2):
1
(
−
y – 3 =
x – 2),
4
x + 4y – 14 = 0.
Пример 32. Составить уравнения касательной и нормали
к кривой y =
5+x в точке с абсциссой x
Решение .Найдём y
= f(x0) = 54 + = 3.
0
= 4.
0
Производная функции имеет вид:
y' =
.
521+x
Вычислим угловой коэффициент касательной:
1
= f '(x0) =
k
кас.
=
.
6
5421+
Составим уравнение касательной по формуле
y – y
0
y – 3 =
= k
(x – x0):
кас.
1
(x – 4), или
6
x – 6y + 14 = 0.
Найдём угловой коэффициент нормали:
=
k
норм.
Запишем уравнение нормали по формуле y – y
y – 3 = - 6(x - 4), или
24
− = - 6.
k
.1кас
6x + y – 27 = 0.
= k
0
норм.
(x – x0):
Уравнение касательной к кривой,
=
ψ
ϕ
ψ
ϕ
π
заданной параметрическими уравнениями
⎧
⎨
==),(
⎩
=
(9)
ψ
tyktyt
0.000
xкас
при t = t
имеет вид (1), если подставить в него
0
x
= ).('),(),(
0
),(tytx
ϕ
Уравнение нормали имеет вид (2), если подставить в него
x
= )(),(
0
tyt
= , угловой коэффициент нормали
000
k
норм.
=
11
−=− (при y'
)('
tyk
0.
xкас
x(t0
) ≠ 0).
Пример 33. Составить уравнения касательной и нормали
к кривой:
=
⎧
⎨
=
⎩
,cos3tytx
при t
,sin2
0
=
.
4
Заметим, что это параметрические уравнения эллипса.
Решение.
Найдём координаты точки касания:
= ϕ(t0) = ,
x
0
y
= ψ(t0) =
0
cos3 =
sin2 ==
π
4
π
4
23
2
22
2
Найдём производную по формуле (6):
'
y
t
'
y
x
'
x
t
t
t
cos2
)'sin2(
===
−
)'cos3(
t
sin3
Вычислим угловой коэффициент касательной:
π
cos2
= y'x(t0) = .
k
кас.
4
sin3
−
2
−=
π
3
4
Составим уравнение касательной по формуле
.2
.
t
25
y – y0 = k
(x – x0):
.кас
y -
⎛
2
2
⎜
⎜
3
⎝
2x + 3y - 6
−−= х
⎞
23
⎟
,
⎟
2
⎠
2 = 0.
или
Найдём угловой коэффициент нормали:
k
= .
норм.
k
31
2
.=−кас
Составим уравнение нормали по формуле
y – y
⎛
3
y -
⎜
2 х , или 6x – 4y -
⎜
2
⎝
= k
0
⎞
23
−=
⎟
⎟
2
⎠
(x – x0):
.норм
.025 =
В том случае, когда уравнение кривой задается в виде
функции, заданной неявно, угловой коэффициент касательной
найдём, подставив в выражение производной координаты точки
касания :),(
yxM
000
′
=
кас
).,(
yxyk
00.
Пример 34. Составить уравнение касательной и нормали
к окружности:
2
в точке ).2,2(
0
(x – 1)
−M
+ (y + 2)2 = 25
Решение.
Продифференцируем равенство по x:
Выразим y':
26
2
((x – 1)
+ (y + 2)2)'x = 0,
2(x – 1) + 2(y + 2) ·y' = 0.
(y + 2) ·y' = 1 – x ;
x
y' =
.
21+−y
Найдём угловой коэффициент касательной
3
21
k
= y'(х0,у0)= .
кас.
+
22
+
=
4
Составим уравнение касательной
= k
3
(x – x0):
кас
+x
),2(
или
y – y
y – 2 =
0
4
3x – 4y + 14 = 0.
Найдём угловой коэффициент нормали:
= .
k
норм.
k
кас
41
−=−
3
.
Составим уравнение нормали
y – y
y – 2 =
= k
0
4
+− x или 4x + 3y + 2 = 0.
),2(
норм.
(x – x0):
3
1.12. Производные высших порядков
Если функция f(x) в каждой точке некоторого промежутка имеет производную, то эта производная f '(x) является новой
функцией на данном промежутке. Если функция f '(x) тоже
имеет производную, то её производная называется второй производной или производной второго порядка и обозначается y" или
f"(x). Таким образом, по определению:
f ″(x) = (f '(x) )'.
Производная от производной второго порядка, если она
существует, называется третьей производной или производной
третьего порядка и обозначается y"' (или f'"(x)):
f ″′(x) = (f ″(x))'.
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n – 1) порядка:
обозначают римскими цифрами или числами в скобках (y
(4)
y
(n)
f
(x) = (f
(n-1)
(x))'.
Начиная с производной четвёртого порядка, производные
– производная четвёртого порядка).
IV
или
27
Выясним механический смысл второй производной. Пусть
закон движения материальной точки по некоторой прямой линии
имеет вид S = S(t). Известно (см. п.1.1), что первая производная
S'(t) равна скорости точки в данный момент времени t:
v(t) = S'(t).
По определению второй производной S"(t) = v'(t), а v'(t) –
скорость изменения v(t) в момент t. Как известно из механики,
величина v′(t) явля
ется ускорением α в момент времени t. Итак,
вторая производная S"(t) от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения точки:
α(t) = S"(t).
1
2
Например, если S =
gt
(g – постоянное ускорение
2
свободного падения), то скорость v(t) = S'(t) = gt, а ускорение
α (t) = v'(t) = S"(t) = g.
Пример 35. Найти производную порядка n от функции
3
y = x
.
Решение. y' = (x
(4)
y
= 0, …, y
(n)
= 0 при n ≥ 4.
Пример 36. Найти общее выражение для производной
порядка n от функции y = e
Решение. y' = (e
(n)
y
= α neαx.
3
)' = 3x2, y" = (3x2)' = 6x, y"' = (6x)' = 6,
αx
αx
)' = αeαx, y" = (αeαx)' = α2eαx, …,
.
Пример 37. Найти четвёртую производную от функции
y = sinx.
Решение. y' = (sinx)' = cosx, y" = (cosx)' = - sinx,
y"' = (- sinx)' = - cosx, y
(4)
= (- cosx)' = sinx.
28
§2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
x
x
2.1. Определение
Функция y = f(x), имеющая производную в точке x, называется дифференцируемой в точке x.
Пусть функция y = f(x) имеет в точке x производную
f '(x) =
lim
→Δx
. Тогда по теореме о связи предела и бесконечно
0
yΔΔ
малой, имеем:
Δ
y
=
f '(x) + α, где
Δ
lim
→Δx
α = 0.
0
Умножив обе части последнего равенства на Δx, получим приращение функции Δy в виде:
Δy = f '(x)·Δx + α·Δx. (10)
Определение. Дифференциалом функции y = f(x) в точке x
называется главная часть её приращения, равная произведению
производной функции на приращение аргумента. Дифференциал
обозначается
dy = f '(x) ·Δx.
Найдём дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции y = x:
dy = dx = (x)'·Δx = Δx.
Таким образом, dx = Δx.
Поэтому дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной:
dy = f '(x)dx. (11)
Из формулы (11) следует равенство
dy
).(' xf
=
dx
dy
Теперь обозначение производной
можно рассматривать как
dx
отношение дифференциалов dy и dx.
Пример 1. Найти дифференциал функции y = tg3x.
Решение. По формуле (11) находим:
1
dy = (tg3x)'dx =
2
·3dx =
x3cos
Пример 2. Найти дифференциал функции y = 3
3
.
2
xdx3cos
arctgx
.
29
Решение. По формуле (11) находим:
⋅
x
dy = (3
arctgx
)'dx = 3
arctgx
·ln3· dx
11+
arctgx
= 3
2
x
3ln
· .
2
1
xdx+
Пример 3. Найти дифференциал функции y = ln(x
Вычислить dy при x = 2, dx = 0,1.
Решение. По формуле (11) находим:
2
dy = (ln(x
2
+ 1))'·dx = dx
x
⋅
2
+1
.
Подставив x = 2, dx = 0,1, получим:
4
dy =
·0,1 = 0,8·0,1 = 0,08.
5
2.2. Геометрический смысл дифференциала функции
Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f(x)
(рис.8). Проведём к графику функции в точке M(x, f(x)) касатель-
ную. Пусть T – точка касательной, соответствующая аргументу x
+ Δx.
Рис.8
Из прямоугольного треугольника MAT имеем:
2
+ 1).
30