Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная функции и ее применение в инженерном вузе. Учебное пособие.pdf
(
)
−
(
)
=
(
′
′
=
(
−
(
+
=
0
- точка
)
,
x
0,2
,
-
1
Следовательно, функция возрастает на интервале
()
убывает на интервалах
)
10=f
максимума,
7. Находим вторую производную:
⎛
4
⎜
′′
y
⎜
⎝
()()
−=
4
−=
4
()
Вторая производная
на рисунке 48 знаки второй производной на каждом интервале.
Следовательно, график функции выпуклый вверх на интерва-
()
лах
абсцисса точки перегиба. Найдем ординату точки перегиба
()
1
=f
Пользуясь данными исследования, строим график функции
(рис.49).
x
−=
()
2
x
+
()
x
+
x
−
22
x
=
+
2
22−=x
. Эти точки разбивают ось ОХ на три интервала. Отметим
2,−∞−
и
414
+⋅
2
()
21
+
. Точка
⎞
⎟
3
⎟
⎠
6
2
()
x
()
x
+
8
=
9
′
()()
−=
4
23
xxx
+⋅−+
232
18
−
.
44
2
)
1,2
, выпуклый вниз на интервале
. Точка
2,−∞−
и
()
2
+
x
()( )
−=
4
0=′′y
при
Рис. 48
8
⎞
⎛
,1M
⎟
⎜
9
⎠
⎝
+∞,0
. Точка
22−=x
– точка разрыва.
()
- точка перегиба.
33
+−+
22
xxxx
6
2
()
x
+
=
xxx
−++
322
6
2
1
x
, не существует при
1
x
1
=
∞,1
71
Рис. 49
=
=
=
′
=
ПРИЛОЖЕНИЕ
Дифференцирование обрат
Теорема.
Пусть функция )(xfy = возрастает (или убывает)
в некоторой окрестности точки
ратную функцию ).( ygx
имеет производную ,0)(
x
Если в точке
′
≠
xfy
0
производную в соответствующей точке ),(
′
′
y
ygx
=
0
1
)(
=
или .
′
)(
xf
0
′
x′=
y
ной функции
x и имеет непрерывную об-
0
x
функция )(xfy
0
то обратная функция имеет
xfy
причем
00
1
(16)
y
x
Доказательство. Придадим аргументу обратной функции
)( ygx = в точке
ция получит приращение
y приращение .0≠Δy Тогда обратная функ-
0
благодаря своей монотонности.
0≠Δx
Поэтому можно написать следующее тождество:
72
1
=
=
π
π
π
π
x
π
x
Так как функция )(ygx
Δ
y
Δ
(17)
.
=
y
Δ
x
Δ
непрерывна, то 0→Δx при .0→Δy
Переходя к пределу при 0→Δy в обеих частях равенства (17),
получим:
Δ
′
=
)(
yg
0
lim
y
→Δ
x
Δ
y
0
1
=
lim
Δ
y
Δ
x
1
=
lim
xy
→Δ→Δ
Δ
y
Δ
x
00
1
=
.
′
)(
xf
0
Производные обрат
ных тригонометрических функций
1. Производная функции .arcsin xy =
Рассмотрим функцию ,arcsin xy = определенную на интер-
вале
.11 <<− x Она является обратной для функции ,sin yx
определенной на интервале .
<<− y Из формулы (16) сле-
22
дует, что
′
=
x
′
xy
=
)(arcsin
′
y
11
=
1
′
)(sin
cos
yyx
1
−
sin1
=
Из основного тригонометрического тождества
22
0cos >y при
1cossin
=+ yy следует, что ,sin1cos
.
<<− y Итак,
2
yy −+= так как
22
1
′
=
x
)(arcsin
1
−
x
2.
Производная функции
Так как
arccos xx −=
2
y =
x
<<−
,arcsin
то
.11,
.arccos
2
π
⎛
′
)(arccos
arcsin
−=
⎜
2
⎝
′
⎞
xx
⎟
⎠
1
−=
2
1
−
x
.11,
<<−
x
1
.
22
xy
−
1
73
3.Производная функции .arctgxy =
=
x
x
=
π
π
x
π
∈
(
ϕ
ψ
′=′
ϕ
ψ
ϕ
Функция ,arctgxy
,+∞<<∞−
является обратной для функции ,tgy
определенная на бесконечной прямой
опре-
деленной на интервале
ет, что
′
arctgxy
=
x
1
=
Итак,
3.
Производная функции .arcctg
Так как
()
Производная функции, заданной параметрическими
функцией у задана параметрическими уравнениями:
где t – вспомогательная переменная, называемая параметром.
Пусть функции
точке :),( bat ∈
= в окрестности точки t имеет обратную функцию
′
)(
=
xytg
1
+
arctgx+=
Теорема
=,,tytx
ϕ
⎧
⎨
=
ψ
⎩
)(tx
).( xgt =
=
1
22
1
+
⎛
′
⎜
⎝
. Пусть зависимость между аргументом х и
()
),,( bat
()
11
=
′
y
.
′
)(
π
−=
2
)
t
=
′
tgyx
)(
⎛
⎜
⎜
⎝
1
.
2
1
x
y =
arctgxarcctgx −=
2
′
⎞
arctgxarcctgx
⎟
⎠
уравнениями
()
и
t
() ()
<<− y . Из формулы (16) следу-
22
cos
−=
1
1
2
,
то
1
=
⎞
⎛
⎟
⎜
⎟
⎜
y
⎠
⎝
1
.
2
x
+
1
cossin
+
2
y
cos
=
22
⎞
yy
⎟
⎟
⎠
имеют производные в некоторой
′
′
=
tt
.0, ≠
txty
Кроме того, функция
74
Тогда определенная параметрическими уравнениями функция
(
ϕ
=
=
′
=
′
′
ψ
=
−
x
α
+
+
=
α
M
MP
)
tx
y=f(x) также имеет производную в точке
'
y
t
'
y =
x
.
'
x
t
, причем
Доказательство.
.dxydy
Рассмотрим дифференциал функции :)( xfy
x
В силу свойства инвариантности формы дифференциала можно
записать равенства:
dy
′
y
x
dx
′
==
равенств получим выражение для производной:
′
.)(,)(, dttdxdttdy
ϕψ
=
′
y
x
Из этих
=
′
ϕ
y
)(
t
t
.
=
′
)(
x
t
t
Наклонные асимптоты
Теорема
. Для того чтобы график функции y=f(x) имел при
x→+∞ наклонную асимптоту y=kx+b , необходимо и достаточ-
но, чтобы существовали пределы
lim
x
+∞→
.))((
lim
x
+∞→
xf
x
(18)
k
;
=
bkxxf
(19)
)(
Лемма. График функции )(xfy = имеет наклонную асим-
птоту bkxy += при
+∞→
тогда и только тогда, когда функ-
ция представима в виде
где
lim
x
=
x
+∞→
),()( xbkxxf
(20)
.0)(
Доказательство леммы.
Пусть ),( yxM - точка, лежащая на графике функции, а
),( yxN - точка, лежащая на асимптоте. Пусть точка P - основа-
ние перпендикуляра, опущенного из точки
Длина отрезка
По определению, прямая bkxy +=
равна расстоянию от точки M до асимптоты.
является наклонной асим-
на асимптоту.
птотой, если
75
.0lim
=
ϕ
Δ
=
α
α
α
=
Пусть −
(рис. 50) найдем:
MP
+∞→
x
угол наклона асимптоты к оси ,Ox тогда из
NM =
Y
MP
cos
O
(21)
.
ϕ
M
·
T
P
·
X
N
·
·
x
MNP
Рис. 50
С другой стороны,
.)()( bkxxfyyTNTMNM +−=−=−=
Равенство (21) выполняется тогда и только тогда, когда
.0)()(limlim =+−=
+∞→+∞→
xx
Из последнего равенства по определению бесконечно малой
функции следует, что
+−
Таким образом, ).()( xbkxxf
Доказательство теоремы.
76
bkxxfNM
+∞→
x
.0)(lim),()()( =
xxbkxxf
++
Необходимость. Пусть график функции )( xfy
=
x
=++
=
α
α
()(
=+=
=
α
α
α
α
α
++=
−∞→x
при
равенство
+∞→
асимптоту .bkxy += Тогда по лемме выполняется
.0)(lim),()(
xxbkxxf
+∞→
x
Найдем пределы:
имеет
)(
xf
lim k
lim
=
x
()
−
)(
++
xbkx
lim
xxx
x
+∞→+∞→+∞→
−++
b
⎛
k
⎜
x
⎝
xxx
)(
αα
x
⎞
;
++=
=
⎟
x
⎠
)
+∞→+∞→+∞→
Достаточность. Из равенства (19) по теореме о связи
предела и бесконечно малой функции следует, что
0)(lim),()( =+=−
xxbkxxf
+∞→
x
и, следовательно, прямая bkxy
ной асимптотой графика функции ).(xfy
.То есть )()( xbkxxf
+= по лемме является наклон-
=
Аналогично доказывается теорема для случая
.)(lim)(lim)(lim bxbkxxbkxkxxf
.
77
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИС
Основной
1.
Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического
анализа. Учебник для вузов. 13 изд., СПб., Лань, 2008.
2.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.
Т.1, М., Интеграл-Пресс, 2006.
3.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1. М.,
Физматлит, 2008.
4.
Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический ана-
лиз. Часть 1. М. , Изд-во Проспект, 2007.
Дополнительный
5.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.
Ч.1.М.:Айрис-пресс, 2007.
6.
Беляева М.А., Бобылева Т.Н., Григорьева А.Д., Мясников А.Г., Пе-
телина В.Д., Зенович Г.И., Ворожейкина О.М. Исследование функций и построение их графиков. Методические указания к выполнению типового расчета. М., МГСУ, 2003.
7.
Беляева М.А., Шматков В.А., Григорьева А.Д. Производная и ее
приложения. Специализированный сборник задач по курсу высшей
математики для самостоятельной работы студентов всех строительных специальностей. М.,МГСУ, 1999.
ОК
78
ОГЛАВЛЕНИЕ
§1. ПР
ОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ..................................................................3
1.1. Задача о скорости.............................................................................3
1.2. Опр
1.3. Ге
и нормали к кривой................................................................................5
1.4. Непрер
1.5. П
1.6. Таблица п
1.7. П
1.8. П
1.9. П
1.10. Мето
1.11. Задачи на нахо
1.12. П
§2. Д
2.1. Определение. ....................................................................................29
2.2. Ге
2.3. Осно
2.4. Применен
§3. СВОЙСТВА Д
3.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа..................................................33
3.2. Пр
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИПРОИЗВОДНЫХ…..39
4.1. Возрастание и убывание функций..................................................39
4.2. Точки ма
4.3. Наиб
4.4. Выпукло
4.5. Асимпто
4.6. Об
ПРИЛОЖЕНИЕ
Дифференцирование обратной функции ..............................................72
Производные об
Производная функции, заданной пар
Наклонные асимпто
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИС
еделение производной, её механический смысл ....................4
ометрический смысл производной. Уравнение касательной
ывность функции, имеющей производную......................7
роизводная суммы, произведения и частного функций..........9
роизводных......................................................................10
роизводная сложной функции....................................................14
роизводная функции, заданной параметрически.....................18
роизводная функции, заданной неявно.....................................19
д логарифмического дифференцирования........................22
ждение касательной и нормали к кривой ....23
роизводные высших порядков................................................27
ИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ........................................................... 29
ометрический смысл дифференциала функции .....................30
вные свойства дифференциалов...........................................31
ие дифференциала к приближенным вычислениям32
ИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ.......................... 33
авило Лопиталя............................................................................37
ксимума и минимума функций .......................................41
ольшее и наименьшее значения функции на отрезке...........49
сть графика функции. Точки перегиба ...........................51
ты графика функции .........................................................56
щая схема исследования функции и построения графика......60
................................................................................................72
ратных тригонометрических функций......................73
аметрическими уравнениями..74
ты............................................................................75
ОК...........................................................78
79
Компьютерная правка и верстка О.В. Суховой
Лицензия ЛР № 020675 от 09.12.1997 г.
Подписано в печать 17.03. 2010 г. Формат 60×84 1/16 Печать офсетная
И-56 Объем 5 п.л. Т. 300 Заказ 115
Московский государственный строительный университет.
Типография МГСУ. 129337, Москва, Ярославское ш., 26
80