Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная функции и ее применение в инженерном вузе. Учебное пособие.pdf
y ' = 1 (a – 2x)2 + x2(a – 2x) (-2) = (a – 2x)( a – 2x – 4x)=
x
x
x
x
= ( a – 2
)( a – 6x).
Находим критические точки. Производная равна нулю при
1
=
а
и
2
2
=
а
.
6
Находим значения функции в критических точках и на концах
отрезка:
а
⎛
⎞
f
= 0; f
⎜
⎟
2
⎝
⎠
Итак, наибольшее значение функции M = f
Если сторона вырезаемых квадратов
а
⎛
⎞
2
=
⎜
⎟
6
⎝
⎠
a3, f(0) = 0.
27
⎛
⎜
⎝
=
а
6
2
⎞
=
⎟
27
⎠
а
, получим короб-
6
a3.
ку наибольшего объёма
2
y =
a3.
27
4.4. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
Определение.
График дифференцируемой функции
y = f(x) называется выпуклым вверх на интервале (а, b), если все
точки графика лежат ниже любой касательной к графику функции на этом на интервале (рис. 28). График дифференцируемой
функции y = f(x) называется выпуклым вниз на интервале (а, b),
если все точки графика лежат выше любой касательной к графику функции на этом интервале (рис.2
9).
Рис. 28
51
Рис. 29
xx+
′
(
)
−∞∈
Теорема. Достаточный признак выпуклости.
Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная
функции f(x) отрицательна, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на
этом интервале выпуклый вверх. Если во всех точках интервала
(a, b) вторая производная функции f(x) положительна, т.е.
f ''(x)>0, то график функции на этом интервале выпуклый вниз.
Пример 6. Доказать, что график функции y = x arctgx
везде выпуклый вниз.
Решение
. Находим первую и вторую производные:
y' = (x
y" =
=
arctgx)' = (x)' arсtgx + x(arсtgx)' = 1 arctg x +
⎛
arctgх
⎜
⎝
1
2
1
x +
+
x
+
+
⎞
⎟
2
1
+
x
⎠
22
21
xx
−+
22
)1(
x
=
=
1
1
+
+
2
x +
22
−++
=
22
)1(11xxx+
;
2
1
22
)'1(1'
xxxx
+−+
)1(2x+
22
=
> 0.
22
)1(
x
Следовательно, по достаточному признаку график функции
выпуклый вниз при ).,( +∞
x
Определение. Точка, отделяющая выпуклую вверх часть
графика непрерывной функции от выпуклой вниз, называется
точкой перегиба графика функции.
52
На рис. 30, 31, 32 точки О, А – точки перегиба.
Если в точке перегиба существует касательная к графику,
то график функции с одной стороны от точки перегиба лежит над
касательной, а с другой стороны – под касательной (рис. 30, 31).
Рис. 30
Теорема. Необходимый признак точки перегиба.
Если х
y = f(x), то вторая производная f "(x
– абсцисса точки перегиба графика функции
0
) равна нулю или не сущест-
0
вует.
Замечание 1. Таким образом, абсциссы точек перегиба гра-
фика функции следует искать среди точек, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
Замечание 2
. Равенство f "(x
) = 0 является необходимым,
0
но не достаточным признаком точки перегиба функции, имеющей вторую производную. Рассмотрим, например, функцию
4
y = x
. Найдём производные: y' = 4x3, y " = 12x2 = 0 при х = 0.
Однако точка О (0; 0) не является точкой перегиба (рис. 33).
53
Рис. 31
54
Рис. 32
Рис. 33
′
′
−
Теорема. Достаточный признак точки перегиба.
Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке х0, имеет вторую
производную в некоторой окрестности точки х
быть может, самой точки х
. Если при переходе через точку х0
0
, за исключением,
0
вторая производная f ''(х) меняет знак, то точка графика функции
f(x0)) – точка перегиба.
М (х
0,
Доказательство. Так как вторая производная )(xf
и справа от точки
x имеет разные знаки, то направление выпук-
0
лости графика функции слева и справа от точки
тогда, по определению, точка графика функции
x различны. Но
0
слева
))(,(
xfxM
00
точка перегиба.
Пример 7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости
вверх и вниз графика функции y=x
Решение
. Находим производные: y=3x
Вторая производная обращается в нуль при x
3
-3x2-12x+3.
2
-6x-12, y"=6x-6.
=1. Так как f "(x)<0
0
при x<1, то график функции выпуклый вверх на интервале
(-∞, 1). Так как f "(х)> 0 при х>1, график функции выпуклый
вниз на интервале (1,+∞). Следовательно, х
перегиба. Найдем ординату y
=13-3 12-12 1+3=-11. Точка
0
=1 – абсцисса точки
0
M(1,-11) – точка перегиба графика функции.
55
4.5. Асимптоты графика функции
∞
=
−=x
−
x
x
Определение.
Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки, лежащей на кривой, до прямой стремится
к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от
начала координат (см. рис. 34). Асимптоты бывают вертикальные и наклонные.
Рис. 34
Вертикальные асимптоты
Прямая x= a является вертикальной асимптотой графика
функции y=f(x), если
lim
xf
0
ax
или
lim
0
+→xfax
.)(
∞=−→)(
Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения аргумента х, при приближении к которым функция f(x)
неограниченно возрастает по модулю. Эти значения нужно искать среди точек разрыва второго рода и на границе области определения функции.
1
Пример 8. График функции
y
имеет вертикальную
2
асимптоту x=2 (рис.35). Действительно,
lim
1
+∞=
2
02+→x
lim
,
1
2
−
02−→x
.
−∞=
56
Рис. 35
−∞=
Точка х=2 – точка разрыва II рода функции.
Пример 9.
асимптоту х=0 (рис.36). Действительно,
График функции y=ln x имеет вертикальную
lim
xln
00+→x
. Об-
ласть определения функции – интервал (0,+∞). Точка х=0 – граница области определения.
Рис. 36
57
Наклонные асимптоты
=
x
−
−
x
−
−
−
x
−
−
x
x
Теорема
. Для того чтобы график функции y=f(x) имел при
x→+∞ (x→-∞) наклонную асимптоту y=kx+b , необходимо и
достаточно, чтобы существовали пределы
)(
lim
x
x
xf
+∞→
x
)(
−∞→
;
k
=
x
x
lim
+∞→
)(
−∞→
−
bkxxf
.))((
Замечание. Горизонтальную асимптоту y=b получим в
случае, когда k=
lim
x
x
xf
; b=
+∞→
0)(=
)( −∞→
x
x
lim
+∞→
)(xf
.
)( −∞→
Теорема доказана в приложении.
12
Пример 10. Найти асимптоты графика функции .
x
=
y
1
Решение
. Функция определена, если знаменатель
.1,01 ≠≠− xx Таким образом, область определения - объеди-
нение интервалов ).,1()1,( +∞∪
∞ Точка х=1 –точка раз-
рыва.
Так как
lim
х
12
+∞=
,
1
01+→x
lim
х
12
01−→x
−∞=
,
1
прямая х=1 является вертикальной асимптотой.
Далее имеем:
12
x
−
)(
k
lim
=
lim
x
xf
==
lim
x
12
−
2
x
x
,0
=
1
∞→
1
−
12
x
−
=
lim
)1(
xx
−
12
x
−
=
2
lim
xxxx
∞→∞→∞→∞→
xx
−
22
xx
2
x
x
=
x
−
22
x
x
так как
lim
2
,0
=
∞→x
lim
1
;0
=x
2
∞→x
58
x
x
x
x
lim
12
−
x
=−=
kxxfb
))((
lim
12
=
lim
−
x
1
−
xx
x
=
1
−
lim
xxxx
−
2
∞→∞→∞→∞→
−
1
xx
Следовательно, прямая y=kx+b, то есть y=2 – горизон-
тальная асимптота (рис. 37).
1
x
=
.2
1
x
Рис. 37
Пример 11.
xy12+
=
.
Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция определена, если знаменатель x ≠ 0.
Таким образом, область определения состоит из двух интервалов
(-∞,0)U(0,+∞). Точка х=0 – точка разрыва. Так как
lim
+→
xx1
00
2
+
+∞=
,
lim
−→
00
2
+
xx1
−∞=
,
прямая x=0 – вертикальная асимптота.
Ищем наклонную асимптоту y=kx+b.
Имеем:
2
)(
k
lim
xf
==
lim
x
1
x
+
lim
xxx
1
⎛
⎜
∞→∞→∞→
⎝
⎞
1
+=
xx
,1
=
⎟
22
⎠
59
b=
x
x
x
222
1
+
x
(lim))((lim
=−
kxxf
lim)
=−
x
1
−+
xx
lim
xxxx
1
==
∞→∞→∞→∞→
Следовательно, прямая y=x – наклонная асимптота (рис. 38).
.0
Рис. 38
4.6. Общая схема исследования функции и построения графика
Исследование функции целесообразно вести в определен-
ной последовательности.
1.
Найти область определения функции, точки разрыва.
2.
Найти вертикальные асимптоты.
3.
Найти точки пересечения графика с осями координат,
интервалы знакопостоянства функции.
4.
Исследовать функцию на четность или нечетность,
найти симметрию графика.
5.
Найти наклонные асимптоты графика.
6.
Найти точки экстремума, интервалы монотонности
функции.
7.
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба гра-
фика функции.
60