1.8. Производная функции, заданной параметрически

Вывод некоторых табличных производных.

=

x

а) Пусть Тогда приращение функции

x

ay = , где a>0, a≠1.

ΔΔ+ xxxxx

aaaaу

Используя определение, найдем производную

lim

x

→Δ

x

000

axa

ln

Δ⋅ Δ

=

x

xx

Δ

y

=

(т.к.

Δx

a ~∆xaln при ∆х→0 по таблице эквивалентных беско-

Δ

limlim'

=

xx

→Δ→Δ

x

Δ

1−

aa

)1(

− =

x

Δ

нечно малых). б) Пусть ,log xy

где 1,0≠> aа .

a

Тогда для любого x>0 приращение функции

xx

xxxy

=−Δ+=Δ

Δ+

x

⎛

+=

⎜

aaaa

⎝

Используя определение, вычислим производную:

Δ

x

⎞

+

1log

⎟

x

⎠

lim

=

x

→Δ→Δ→Δ

Δ

x

000

=

ln

⋅⋅Δ

т.к.

⎛ ⎜

Δ

′

=

y

a

y

=

limlim

xx

Δ

x

Δ

x

⎛ ⎜

⎝

⎞

+

1log(

~

⎟

x

⎠

a

⎝

Δ

x

Δ

при ∆х→0 по таблице эквивалентных

ax

ln

бесконечно малых).

).1( −=−=Δ

x

aa

ln

x

Δ

⎞

.1logloglog)(log

⎟

x

⎠

1

,

ln

axaxx

в) Пусть y=sin x.

Тогда

Δ

x

sin2sin -)Δsin(Δ

xxxy +⋅=+=

cos(

2

Δ

x

)

.

2

По определению найдем производную

(т.к. sin

x

Δ

lim

Δ

2

sin2

2

→Δ→Δ

0x0x

x

⎛

cos

⎜ ⎝

Δ

x

Δ

⎞

x

+⋅

⎟

2

⎠

y

Δ

lim'y

=

xΔ

~

2

при ∆х→0 по таблице эквивалентных беско-

2

Δ

lim

x

→Δ

=

x

2

⋅

0

Δ

x

⎛

xcos

⎜ ⎝

=

⎞

+⋅

⎟

2

⎠

=

,cos

x

нечно малых).

11

x

sin

tgxy

г) Пусть

== .

cos

Тогда по формуле производной частного (4) получим:

′

sin

x

⎞

⎛

′

()

tgx =

=

⎜

cos

⎝

=

⎟

x

⎠

′

()

−

′

)(cossincossin

xxxx

2

)(cos

x

=

22

sincos

+

)(cos

1

xx

cos

.

22

xx

(Здесь применили также тригонометрическое тождество

22

1cossin

=+ xx ).

Вывод производных обратных тригонометрических функций приведен в приложении.

Пример 1. Найти производную функции

3

72sin4-5

++= хxxy .

Решение.

Воспользуемся свойствами (3) и таблицей производных:

33

′

=++−= )'7()2()sin4()5()'72sin45('

2

cos415

1

xx

.

+−=

−

23

′

+

xxxxx

′

xxxxxxy

1

2cos435)'7()'(2)'(sin4)'(5

2

x

=+

0

=++−⋅==++−=

x

Пример 2. Найти производную функции

1

tg3 −⋅+−= .

x

xxxy

421,0arcsin

2

Решение.

Используя свойства (3) и таблицу производных, получим:

1

tg3('

x

=−⋅+−=

xxxy

)'421,0arcsin

2 1

′

=

−

()tg3(

′

x

′

⋅+

=−

xxx

)'4()21,0()arcsin

2

1

)'(tg3

x

=−⋅+−=

)'(4)'2(1,0)'(arcsin

xxx

2

1

3

2

cos

2

x

⋅−= 142ln21,0

2

x

−

1

x

=⋅−⋅+

12

1

′

−=

2

x

12

−

cos

3

2

x

Пример 3. Найти производную функции

y +−=

3

5

x

Решение.

′

⎛

′

y

⎜

3

x

⎝

⎛

′

−

3

() ()

=

⎜

−

62 xxxxxx

⎜ ⎝

4

−

+−=

5

x

1

⎞

−

⎟

5

+

⎟ ⎠

1

⎛

−−−⋅=

6)3(2

⎜

5

⎝

⎞

162

3

⎛

1

⎜ ⎜

3

⎝

6

−

⎞

5

⎟ ⎠

⎜

⎟

⎜

⎠

⎝

′

3

⎞ ⎟

2

=

⎟ ⎠

1

233

Пример 4. Найти производную функции

Решение

. Воспользуемся свойствами (3) и таблицей

производных:

⎛

′

⎜

−=

ln

xy

⎜

⎝

11

⎛ ⎜

x

⎝

⎞

+=

⎟

2

x

⎠

⎞

1

⎞

⋅

⎟

x

⎠

⎛

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎛

ln

xe

−+⋅

⎜ ⎝

1

⎞

−=

ln

xe

⎟

x

⎠

1

⎞

xx

.

e

⋅

⎟

x

⎠

Пример 5. Найти производную функции

2

xxxx+= .

x

162

3

x

−

33

62

⎛

′

−

3

⎜

−

62

⎜ ⎝

1

2

6

′

⎛ ⎜

⎝

.42ln21,0

−⋅+

3

.

x

1

−

5

4

−

ln

3

⎞

1

⎟

2

=

xxxx

+−=

3

1

⎞

−

⎟

5

+

⎟ ⎠

6

5

1

−+⋅

xe

x

⎟ ⎠

3

⎞

⎛

1

⎟

⎜

2

=

⎟

⎜

3

⎠

⎝

6

−

5

1

2

.

xxxxxx ++−=⋅+

2

⎛ ⎜

⎝

⎞

e

⋅

⎟ ⎠

⎞

x

.

e

xy

−=1ln

⎟

x

⎠

xxx

′

)(

=

)cos-)(log3arctg(5y

Решение. По формуле производной произведения

получим:

′

5

⎛

= x

⎜

1

⎝

+

2

+

x

′

+=

⎞

()

⎟

2

⎠

xx

++

xxx

22

1

⎛

xx

)3arctg5(coslog3ln3

⎜

x

2ln

⎝

′

=

)x-xxxxxy

cos)(log3arctg(5 )cos-(log)3arctg(5

+++−

⎞

.sin

⎟ ⎠

13

Пример 6. Найти производную функции

′

x

′

Δ

y

= .

10

xx

x

Решение.

Воспользуемся свойствами (3), (4) и таблицей производных:

12−+

⎛ ⎜

′

=

y

⎜

10

⎝

=

Пример 7. Найти производную функции

⎞

−+

1

⎟

x

=

⎟ ⎠

2

xxx

x

2

10

′

−+

xx

⋅−+−⋅+

10ln10)1(10)12(

222

xxxxxx

x

2

)10(

.

y

xx

′

⋅−+−⋅

)10()1(10)1(

=

.

x

3

x

+

=

3

.

sin

Решение.По формуле производной частного (4) получим:

⎛ ⎜

=

'y

⎜ ⎝

Теорема

⎞

+

3x

⎟

=

⎟

xsin

⎠

=

1.7. Прои

зводная сложной функции

′

+

2

xsin

. Пусть функция u=u(x) имеет производную в

точке х, а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке u=u(x). Тогда сложная функция y=f(u(x)) имеет производную в точке х, которая находиться по формуле:

′

=

x

′

⋅

Доказательство. По определению производной:

′

uf

)(

=

lim

u

→Δ

y

.

u

Δ

0

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции имеем:

Δ

y

′

=

Δ

u

,)(

uf

lim

→Δ

u

.0

=+

αα

0

x3x3x3

⋅+−⋅

′

)x(sin)3x(xsin)3x(

xsin

x3x2

).()( xuufy

xcos)3x(xsin)3ln3x3(

⋅+−⋅+

.

(5)

=

14

Умножив обе части полученного равенства на приращение ,uΔ

+Δ⋅

′

α

Δ

xux

x

Δ

=

α

x

=

⋅

′⋅′

=

получим:

=Δ

Разделим все члены последнего равенства на приращение :x

y

Δ

=

u

′

uf

⋅

Δ

Функция

)(xuu =

непрерывна в точке x по теореме о непре-

рывности функции, имеющей производную, поэтому

0→Δx и

→Δ

x

lim

→Δ

x

Δ

0

x

→Δ

Δ

y

Δ

=

x

Δ

0

′

xu

=

′

у

=

x

0

y

.lim)(

Поэтому

lim(

→Δ

0

x

.0lim

По определению производной

′

uf

.)( uuufy Δ⋅

Δ

⋅+

.)(

α

Δ

при

0→

u

Δ

⋅

x

Δ

u

Δ

=

⋅+

))(

α

x

Δ

lim

→Δ

x

u

+

Δ

x

0

lim

→Δ

⋅

α

0

′

=

uf

⋅

)( xuuf

Пример 8. Найти производную сложной функции

Решение. Положим: u=x

Δ

u

lim

→Δ

xx

y=(x

=

Δ

x

0

2

+1)10.

2

+1. Тогда y=(x2+1)10=u

′

⋅

).()(

Для нахождения производной применим формулу (5):

′

=

x

′⋅′

′

⋅=

92910

.2)1(1010)(

xxuuuuy

⋅+=

Пример 9. Найти производную сложной функции

y=sin3x.

Решение. Положим: u=3x. Тогда y=sin3x=sinu.

По формуле (5) получим:

′

x

Пример 10

y=cos

. Найти производную функции

2

x=(cosx)2.

Решение. Положим: u=cosx. Тогда y=(cosx)

′

=

⋅=

.3cos333coscos)(sin xxuuuuy

2=u2

По формуле (5) производная сложной функции равна:

y´

=(u2)´ ·u´=2u•u´=2cosx·(-sinx)=-2cosx·sinx.

x

Пример 11. Найти производную функции y=arctge

.

10

.

x

.

15

Решение. Положим: u=ex. Тогда y=arctgu.

Производная сложной функции по формуле (5) равна:

1

')'('

uarctguy

=⋅=

1

u

+

x

e

=⋅

'

1

.

22 x

+

e

Пример 12. Найти производную функции xy ln= .

Решение. Положим: u=lnх. Тогда

uy = .

Производная сложной функции равна:

1

')'('

uuy =⋅=⋅=⋅=

u

2

1

'

x

ln2

11

.

xx

ln2

Пример 13. Найти производную функции y=lnarcsinx.

Решение. Положим: u=arcsinx, тогда y=lnu.

Производная сложной функции равна:

'

1

arcsin

1

')'(ln'

uuy

u

Пример 14. Найти производную функции y=tg2

Решение. Положим: u=2

1

⋅=⋅=⋅=

x

1

x

, тогда y=tgu.

=

−

1

22

arcsin1

−

Производная сложной функции равна:

1

')'('

utguy =⋅=⋅=⋅=

cos

u

1

'

Пример 15. Найти производную функции

Решение. Положим: u=

x

2cos

x , тогда у=

x

2ln2

222 x

2cos

2ln2

.

y 10=

u

10 .

Производная сложной функции равна:

uuy

xuu

1

10ln10'10ln10')'10('

2

x

=⋅⋅=⋅⋅=⋅=

2

Пример 16. Найти производную функции

1

= x

y

3

5

2

−

x

−

5

3

−=

.)2(

Решение. Производная сложной функции равна:

1

()() ()()()

'

3

Здесь u=2-x

4

5

3

5

.

′

22

−⋅−−=

1

3

4

55

3

52

5

3

.

xxx

x

.

x

.

10ln10

.

xx

4

−−−

54

4

3

.2

xxxxxxy ⋅−=−⋅−−=

16

Пример 17. Найти производную функции y=tg

xxx

(

′

Решение. Производная сложной функции равна:

2

()() ()

15

⋅=

2

5

xtg

==

2

5cos

15

′

2

53553'

2

5sin

.

4

5cos

1

xtgxtgxtgy

2

5cos

′

⋅⋅=

2

535

xtgx

x

Пример 18. Найти производную функции xy

Решение. Производная сложной функции равна:

y

=

'

=

1

+

sin42

1

x

+

sin4

+⋅

2

x

cossin

′

2

)

x

sin4

xx

=

+

1

2

x

+

sin42

xx

cossin

.

22

x

sin4

()

⋅⋅

Пример 19. Найти производную функции y=lnarctgx

Решение:

′

2

'

y

arctgx

Пример 20. Найти производную функции

4

tgx=(lntgx)4.

y=ln

2

⋅=

1

+

arctgx

11

)

arctgx

x

2

=⋅

xarctgx

2

111

⋅=

2

()

1

+

x

4242

()

xarctgx

1

+⋅

2

)

⋅

x

2

.

Решение.

1

()()() ()

ln4

=

⋅

3

cos

tgx

⋅=

=

2

xtgx

′

3

ln4

tgx

cossin

xx

⋅

33

ln4lnln4'

tgxtgxtgxy

tgx

..,

tgxкт

′

3

ln4

⋅⋅=

sin

x

=

cos

x

tgxtgx

tgx

.

Пример 21. Найти производную функции y=2

Решение.

3arcsin3arcsin

xy

3arcsin.

x

1

2ln2

⋅⋅=

3

=⋅

2

91

−

xx

3arcsin

x

⋅⋅

2

91

xx

−

1

2ln2)'3(arcsin2ln2'

⋅⋅=⋅⋅=

2ln23

.

()

31

x

−

2

3

5x=(tg5x)3.

1

5

2

5cos

x

2

sin4 += .

′

xx

=

sinsin2

2

.

=

11

=⋅⋅=

2

cos

x

arcsin3x

.

′

()

3

x

=

⋅

=⋅⋅=

17

Пример 22. Найти производную функции

′

∈

(

ϕ

=

′

ϕ

ψ

ϕ

(

ϕ

=

3

⎛

=

sinxxey .

⎜ ⎝

⎞

+− 23

⎟ ⎠

3

⎛

Решение.

⎛

=

⎜ ⎝

=

cos'

=

⎜ ⎝

3

⎞

23

⎟ ⎠

3

⎛ ⎜ ⎝

⎞

23

⎟ ⎠

1.8. Производная функции, заданной параметрически

23

3

+−+−

xxxx

3

⎛

⎞

eey

⋅

⎜

⎟

⎝

⎠

323

+−+−

xxxx

()

⎞

+−+− 23

xxxx

=

⎟ ⎠

′

)23(cos

xxee

+−⋅⋅

223

−⋅⋅

xee

=

.33cos

Теорема. Пусть зависимость между аргументом х и функ-

цией у задана параметрическими уравнениями:

⎧ ⎨

=

⎩

ψ

()

),,( bat

()

=,,tytx

ϕ

где t – вспомогательная переменная, называемая параметром.

)

t

Пусть функции точке :),( bat ∈

= в окрестности точки t имеет обратную функцию

)(tx

и )(tψ имеют производные в некоторой

′

′′

() ()

=

tt

.0, ≠

txty

Кроме того, функция

).( xgt =

Тогда определенная параметрическими уравнениями функция

)

tx

y=f(x) также имеет производную в точке

y

'

y = (6)

t

'

x

.

x

'

t

, причем

Теорема доказана в приложении.

Пример 23. Найти производную функции, заданной па-

раметрически:

⎧

⎪ ⎨ ⎪

⎩

Решение. Имеем: .12',53'

3

+=

,5

ttx

2

.

+−=

.2

tty

2

−=+= tytx

tt

18

Следовательно, по формуле (6) производная равна:

'

y

t

'

y

x

==

'

x

t

12

−

t

.

2

53

+

t

Пример 24. Найти производную функции, заданной па-

3

=

,cos3

tx

3

.sin3

ty

раметрически:

⎧

⎪ ⎨ ⎪

⎩

Кривая, определяемая этими уравнениями, называется астроидой.

Решение. Имеем: x'

= 9sin2 t˙cos t.

y'

t

= 9cos2t˙(-sin t) = - 9cos2 tsin t,

t

По формуле (6) производная функции, заданной параметрическими уравнениями, равна:

'y

t

′

y

x

==

'

x

−

t

Пример 25.Пусть

2

cossin9

.2

sincos9

⎧

⎪ ⎨ ⎪

⎩

sin

tt

2

+=

t

=

cos

t

−

t

,)1(

etx

23

t

+−=

.)1(

etty

.

tgt

−=

Найти y'

.

x

.

Решение. Имеем:

=(t2+1)'et+(t2+1)(et)'=2t˙et+(t2+1)et=(t2+2t+1)et ,

x'

t

=(t3-t2+1)'et+(t3-t2+1)(et)'=(3t2-2t)et+(t3-t2+1)et=(t3+2t2-2t+1)et.

y'

t

Производная функции, заданной параметрическими уравнениями, равна:

′

y

t

y'

= .

=

x

′

x

t

23

2

++

t

)122(

+−+

ettt

=

t

)12(

ett

23

+−+

122

ttt

2

tt

++

12

1.9. Производная функции, заданной неявно

Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением:

F(x,y)=0 (7)

Если функция y=f(x), определённая на некотором интервале, такова, что уравнение (7) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество относительно x: F(x, f(x))=0, то функция y=f(x) называется неявной функцией, определённой уравнением (7). Например, уравнение x

2+y2-R2

=0 неявно определяет следующие

функции:

19

y=

′

ϕ

′

⋅

=

′

y=

22

xR − (уравнение верхней полуокружности - рис. 6),

22

(уравнение нижней полуокружности – рис. 7).

xR −−

Производная неявной функции находится по следующему

правилу: дифференцируем уравнение (7) по переменной

x – независимой переменной, а y – функцией от x.

Рис.6 Рис.7

При этом по правилу (5) дифференцирования сложной

′

функции имеем: .)())((

2

Например,

′

x

=

x

′

;2)(

yyy

⋅=

⋅

yyy

′

=

x

;cos)(sin yyy

y)(ln

x

Затем полученное равенство надо разрешить относитель-

но

y'.

Пример 26. Найти производную функции, заданной неяв-

но уравнением:

y3 – 3y + 2x = 0.

Решение

Дифференцируем равенство по

.

x:

(y3 – 3y + 2x)'x = 0,

2

3y

⋅˙y' – 3y' + 2 = 0.

x, считая

y

'

.

y

20