Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная функции и ее применение в инженерном вузе. Учебное пособие.pdf
Определение. Функция f(x), определенная в области,
симметричной относительно начала координат, называется четной, если f(-x)=f(x). График четной функции симметричен отно-
сительно оси ОY. Это значит, что та часть графика, которая соответствует отрицательным значениям х, получается зеркальным
отражением относительно оси ОY той части графика, которая
соответствует положительным значениям x (рис.39).
Например, функция f(x)=x
2=x2
=(-x)
=f(x). Функция f(x)=cos x – четная, так как f(-x)=
Рис. 39
2
– четная, так как f(-x)=
=cos (-x)=cos(x)=f(x).
Определение.
Функция f(x), определенная в области,
симметричной относительно начала координат, называется нечетной, если f(-x)=-f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Это значит, что если какая-либо точка принадлежит графику, то ему принадлежит также точка, симметричная
относительно начала координат. Две точки называются симметричными относительно начала координат, если начало коор
динат
является серединой отрезка, соединяющего эти две точки
(рис.40).
61
x
xxx
−
Рис. 40
Например, f(x)=x
3
– нечетная, так как f(-x)=(-x)3=-=-x3=-f(x).
Функция f(x)=sin x – нечетная, так как f(-x)= sin (-x)= -sin x=-f(x).
Функция
xy12+
=
- нечетная, так как
x
)(
xf −=
=−
22
11)(
+−
+
−=
)(
xf
График этой функции симметричен относительно начала координат (см. рис. 38).
x
Пример 12. Исследовать функцию
y+= и построить
1 x
2
ее график.
Решение.
1. Знаменатель 1+x
2
≠ 0, поэтому область определения
функции – интервал (-∞,+∞). Точек разрыва нет.
2. Вертикальных асимптот нет (т.к. нет точек разрыва).
3. Если x=0, то
точке О(0,0). Если
62
y
0
=y
+
х
2
1
+=x
. График пересекает ось OY в
0
=
2
01
, то x=0. График пересекает ось
0
=
.
OX в точке О(0,0). Функция
(
=
′
х
y
1
+=x
при x>0, следовательно,
0
>
2
график функции расположен выше оси Ox при x>0. Функция
х
y+= < 0 при x<0, следовательно , график функции распо-
1 x
2
ложен ниже оси OX при x<0.
4.
x
−
)(
xf −=
=−
x
−+
x
−=
22
1)(1
x
+
, поэтому функция не-
)(
xf
четная, график симметричен относительно начала координат.
5. Ищем наклонную асимптоту y=kx+b
.Имеем:
)(
xf
lim
k
lim
==
x
kxxfb
x
=
)1(
+
x
lim))((lim
=−=
2
1
+
x
lim
xxx
=
∞→∞→∞→
lim
1
1
+
,
0
=
22
xxx
x
2
x
=
2
1
x
+
2
2
x
x
lim
xxxx
1
x
1
∞→∞→∞→∞→
+
2
x
.0
=
1
Следовательно, прямая y=0 – горизонтальная асимптота.
6. Находим производную
′
′
x
⎛
′
=
y
⎜
⎝
−
1
=
()
+
1
⎞
=
⎟
2
+
1
x
⎠
2
()()
x
=
2
2
x
()
+
1
)( )
2
()
+
1
x
+−
11
xx
.
2
2
x
Находим критические точки. Производная 0
x
=-1. Критические точки разбивают ось OX на три интервала
2
′
22
+−+
11
xxxx
2
=
2
()
()
1
⋅−+
211
xxx
=
2
2
+
x
y при x1=1,
(-∞,-1), (-1,1), (1, +∞). Отметим на рис. 41 знаки произ-
водной на каждом интервале.
Рис. 41
63
Следовательно, x1=1 – точка максимума,
+
′
(
)
(
)
(
)
(
)
=
Критическая точка x
−
1
=−f
)1(
−+
)1(1
(-1,1), убывает на интервалах (-∞,-1), (1,+∞).
7. Находим вторую производную
′
⎛
⎜
′′
=
y
⎜
⎝
=
2
⎞
−
1
x
⎟
=
2
⎟
2
()
+
1
x
⎠
2
2
()()()
()
+
1
1
−=
2
2
()()()()
−
4
2
x
=-1 – точка минимума,
2
. Функция возрастает на интервале
′
2
22
4
2
()
1
x
+
22
+−−+−
212112
xxxxx
=
⎛
1111
+−−+
⎜
⎝
1
1
=f
)1(
2
22
⎞
xxxx
⎟
⎠
=
=
.
2
2
11
()()()
=
=
Вторая производная равна нулю при
ла (-∞,
знаки второй производной на каждом интервале.
лах
тервалах
64
[]
4
2
() ()
1
x
+
3
62
xx
−
3
2
()
1
x
+
Следовательно, график функции выпуклый вверх на интерва-
2
()
32
xx
=
3−
3,−∞−
−
3
2
()
1
x
+
.3,032== xx Эти точки разбивают ось ОX на четыре интерва-
) , (
и
3−
,0) , (0, 3) , (3, ∞). Отметим на рис. 42
3,0
и
0,3−
222
14121
xxxxx
−−+−+
=
()()
=
. График функции выпуклый вниз на ин-
+∞,3
xxx
+−
3
2
()
1
x
+
Рис. 42
. Таким образом,
2
1
x
+
332
.
33
4422
xxxx
+−−−
3
=
31−=x
31−=x
,
0
x
,
,
2
3
(
(
−
x
≠
−
≠
=
x
(
−
x
=
(
)
=
=x
3
Точки
- абсциссы точек перегиба. Найдём ординаты
3
()
3
−
=−f
()
31
−+
⎛
⎜
,3
M
1
−−
⎜
⎝
4
2
3
−=
⎞
⎟
,
⎟
⎠
3
,
4
()
M
2
()
00 =f
,
⎛
0,0
⎜
,
M
,3
3
⎜
4
⎝
)
=f
3
⎞
3
⎟
- точки перегиба.
⎟
⎠
3
()
31
+
Пользуясь данными исследования, строим график функции
(рис. 43).
3
.
=
2
4
Рис. 43
2
)
−
x
Пример 13. Исследовать функцию
y
2
=
и построить её
1
график.
Решение.
1.
Функция определена, если знаменатель
x
,
01
.
1
x
Таким образом, область определения – объединение интервалов
()()
2.
+∞∪∞− ,11,
. Точка
Так как
lim
- точка разрыва функции.
1
x
2
()
01
+→x
2
−−1
+∞=
,
lim
x
01
−→x
,
−∞=
2
)
−12
прямая х=1 – вертикальная асимптота графика функции.
2
()
20
3.
Если
в точке
x
4,0 −A
. Если
0
, то
−
=y
10
−
()
2
−
x
=
y
1
−
x
. График пересекает ось ОY
4
−=
2
0
=
, то
. График пересека-
2
x
65
(
(
2
−
(
−
<
(
−
−
−
≠
+
xxx
−
=
)
2
−
ет ось OX в точке
)
0,2B
. Функция
x
=
y
x
0
>
, при
1>x
1
следовательно, график функции расположен выше оси OX при
2
)
−
2
x
=
. Функция
1>x
y
x
функции расположен ниже оси OX при
)
x
−−
4.
()
xf ≠
=−
2
x
1
0
<
при
, следовательно, график
1x <
1
.
1x
2
()
xf
()()
−
,
xfxf
, поэтому функ-
ция общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).
bkxy
5.
Ищем наклонную асимптоту
)(
xf
lim
k
lim
==
x
2
x
x
lim
=
lim
=
lim
=
2
x
3
+−
1
1
−
x
Прямая
6.
Находим производную
44
x
+−
222
xx
−
22
=−=
kxxfb
44
1
x
−
4
x
.3
−=
xy
)2(
−
x
−
xx
lim
=
∞→∞→
xx
⎛
⎜
lim))((lim
⎜
⎝
22
xxxx
+−+−
=
3
- наклонная асимптота графика функции.
)1(
1
x
=
−
x
lim
lim
xxx
+−
x
1
−
)2(
−
1
=
22
2
∞→∞→∞→
−
44
2
x
,1
=
1
+−
xx
xx
. Имеем:
44
=
x
⎞
⎟
⋅−
lim1
=
x
⎟
∞→∞→∞→
xxx
⎠
43
+−
x
−
x
lim
=
∞→∞→∞→
xxx
1
22
−
x
−
43
x
+
xx
=
1
x
−
xx
)1()2(
−−−
xxx
1
=
,
66
(
′
⎛
=
′
=
+
=
(
−
=
(
(
(
(
′
⎜
′
=
y
⎜
⎝
()()()
=
2
⎞
−
)2(
x
⎟
⎟
−
1
x
⎠
()
−
1
x
()
−
=
−−−−
2122
xxx
′
()( )()
)
2
()
−
1
x
2
()()()()
=
22
()
−
1
x
′
22
−−−−
1212
xxxx
=
−−−−
2122
xxx
=
()( )
=
ские точки разбивают ось
()
x
Находим критические точки. Производная
xxx
1
−
.0,221== xx
Производная не существует при
()()()()
на каждом интервале.
Следовательно,
ская точка
точка 1
()
0,∞−
Находим вторую производную
7.
⎛
()
⎜
′′
=
y
⎜
⎝
()()
=
=
x =0 – точка максимума, 4)0(
2
=x - точка разрыва. Функция возрастает на интервалах
3
()
и
−
()
−
x
.,2 +∞
Функция убывает на интервалах
′
⎛
⎞
xx
2
1
⎜
⎟
=
2
⎟
⎜
⎠
⎝
2
()
()
−
x
1
() ()
−
1
()
2222
+−−−
=
()
x
∞∞− ,2,2,1,1,0,0,
. Отметим на рис. 44 знаки производной
2
x
1
′
2
⎞
−
xx
2
⎟
2
()
⎟
−
x
1
⎠
2
4
22
+−+−−
422222
2
−
xx
.
22
1
−
на четыре интервала
Ox
Рис. 44
- точка минимума,
f . Критическая
′
2
()
−
=
()
xxxxx
xxxxx
()( )()
−−−−−
122122
=
2
=
33
xx
−
1
2
()
()
−
x
1
[]
()
x
.
0
y
при
1
x
. Критиче-
3
)
02=f
. Критиче-
)
1,0
2
)
()
xxxxxx
4
2
()
4
−
1
и
−−−−
)
.2,1
2
)
1212
=
xxxxx
−−−−−
221221
=
67
Вторая производная не существует при
=
(
+
(
)
(
+
=
()
бивает ось ОХ на два интервала
сунке 45 знаки второй производной на каждом интервале.
1,∞−
и
. Эта точка раз-
1
x
)
∞,1
. Отметим на ри-
Рис. 45
Следовательно, график функции выпуклый вверх на интерва-
ле
ка разрыва функции, поэтому точек перегиба нет. График иссле-
дуемой функции изображён на рис. 46.
1,∞−
, выпуклый вниз на интервале
)
∞,1
. Точка
- точ-
1
x
Рис. 46
68
+
=
(
(
−∞−
−
=
−
=
=
−==
+
(
+
−
+
−
−
(
+
Пример 14. Исследовать функцию
её график.
Решение.
Функция определена, если знаменатель
1.
. Таким образом, область определения функции – объеди-
2−≠x
нение интервалов
рыва.
Так как
2.
ная асимптота.
3.
Если
x
0
lim
, то
)( )
02
±−→x
()
+
=y
()
x
=
()
1,0A
точке
пересекает ось ОХ в точке
Функция
функции расположен выше оси ОХ при
()
y <
=
()
x
расположен ниже оси ОХ при
4.
общего вида.
5. Ищем наклонную асимптоту
k
. Если
y >
14
x
+
2
2
+
()
=−
xf ≠
=
lim
x
∞→
y
()
+
x
)
14
x
=
0
при
()
xf
x
2
()
2
x
+
44
х
2
2
x
+−
)
=
lim
∞→x
()
+∞−
,22, U
44xx
+
−∞=
2
2
40
+
1
=
2
20
+
44
+
0
=
, то
2
2
()
0,1−B
.
0
при
, следовательно, график функции
1−<x
()
xf
()()
,
x
=
2
244++xx
y
. Точка
, прямая
. График пересекает ось OY в
, следовательно, график
1−>x
.
1−<x
xfxf
≠−
bkxy+=
lim
∞→x
x4444
3
x
и построить
2
()
244+
x
)
- точка раз-
2
x
- вертикаль-
2
x
График
.1,044
xx
. Функция
1
>x
, поэтому функция
. Имеем
=
xxx
++
,
022≠+x
69
44
xxxxx
+
x
xxx
=
(
′
′
=
′
=
(
−
(
+
=
lim
∞→x
=
lim
Прямая
x
+
33
xx
2
3
x
3
()()
x
+
xx
2
x
0
y
- ось ОХ - горизонтальная асимптота графика
= =
44
++
33
limlim
=−=
kxxfb
44
22
++
lim
=
xx
44
222
lim
∞→x
1
44
+
x
()
2
+
x
x
∞→∞→
1
x
44
+
32
xx
=0,
44
++
2
x
x
44
lim
=
xxx
44
+
2
x
44
++
2
x
x
22
∞→∞→∞→
.0
=
=
++
44
xx
.
функции.
6. Находим производную
⎛
⎜
′
=
y
⎜
()
x
⎝
()()()
4
⋅=
4
=
() ()
⎞
()
+
x
14
⎟
4
2
⎟
+
2
⎠
2
()
x
2
+
xx
222
−−+
x
2
+
()()()()
+
⋅=
xxx
++−+
−=
x
+
′
2212
x
4
2
()
x
+
()()()()
4
⋅=
33
.2
Находим критические точки. Производная
Производная не существует при
бивают ось ОХ на три интервала
()
4
2
()
x
+
22−=x
. Критические точки раз-
2,−∞−
,
2
)
xxxx
2121
++−+
44
2
=
xxx
1222
+−++
=
0
y
при
)
0,2
,
)
∞,0
. Отме-
тим на рисунке 47 знаки производной на каждом интервале.
0
x
.
1
Рис. 47
70